Gruppendefinition (lang): Unterschied zwischen den Versionen
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Eine nichtleere Menge <math>G</math> zusammen mit einer Verknüpfung <math>\oplus</math> heißt Gruppe, wenn gilt: | Eine nichtleere Menge <math>G</math> zusammen mit einer Verknüpfung <math>\oplus</math> heißt Gruppe, wenn gilt: | ||
# <math>\oplus</math> ist abgeschlossen auf <math>G</math>: <math>\forall a, b \in G: a \oplus b \in G</math> | # <math>\oplus</math> ist abgeschlossen auf <math>G</math>: <math>\forall a, b \in G: a \oplus b \in G</math> | ||
− | # <math>\oplus</math> ist assoziativ auf <math>G</math>: <math>\forall a, b, c: (a \oplus b) \oplus | + | # <math>\oplus</math> ist assoziativ auf <math>G</math>: <math>\forall a, b, c \in G: (a \oplus b) \oplus c = a \oplus (b \oplus c)</math> |
# Es gibt in <math>G</math> bzgl. <math>\oplus</math> ein neutrales Element <math>n</math>: <math>\exists n \in G \forall a \in G: a \oplus n = n \oplus a = a</math> | # Es gibt in <math>G</math> bzgl. <math>\oplus</math> ein neutrales Element <math>n</math>: <math>\exists n \in G \forall a \in G: a \oplus n = n \oplus a = a</math> | ||
# Jedes Element aus <math>G</math> hat in <math>G</math> ein inverses Element bzgl. <math>\oplus</math>: <math>\forall a \in G \exists -a \in G: a \oplus -a=-a \oplus a= n</math>. | # Jedes Element aus <math>G</math> hat in <math>G</math> ein inverses Element bzgl. <math>\oplus</math>: <math>\forall a \in G \exists -a \in G: a \oplus -a=-a \oplus a= n</math>. |
Aktuelle Version vom 9. Juli 2018, 13:27 Uhr
DefinitionenDefinition 1: (Algebraische Struktur)Eine Menge Schreibweise: Definition 2: (Halbgruppe)Eine algebraische Struktur
Definition 3: (Monoid)Eine Halbgruppe
Definition 4: (Gruppe)Ein Monoid
Definition 5: (Abelsche Gruppe)Wenn in einer Gruppe BemerkungenAdditiv geschriebene GruppenUnsere bisherigen Definitionen waren in gewisser Weise "multiplikativ" geschrieben. Bezieht man sich auf eine Struktur mit einer Operation, die eher "additiv" zu verstehen ist, spricht man häufig vom neutralen Element Definition 4*: (Gruppe, Langfassung)Eine nichtleere Menge
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