Das Euklidische Parallelenaxiom: Unterschied zwischen den Versionen
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| − | Es seien <math> a </math> und <math> b </math> zwei zueinander parallele Geraden, die durch eine dritte Gerade <math> c </math> geschnitten werden. Die bei diesem Schnitt entstehenden Wechselwinkel sind kongruent.<br /> | + | Es seien <math> a </math> und <math> b </math> zwei zueinander parallele Geraden, die durch eine dritte Gerade <math> c </math> geschnitten werden. Die bei diesem Schnitt entstehenden Wechselwinkel sind kongruent zueinander.<br /> |
Die Umkehrung würde doch auch gehen, oder?<br /> | Die Umkehrung würde doch auch gehen, oder?<br /> | ||
Versuch:<br /> | Versuch:<br /> | ||
| − | Es seien <math> a </math> und <math> b </math> zwei verschiedene Geraden, durch durch eine weitere Gerade <math> c </math> geschnitten werden. Wenn die bei diesem Schnitt entstehenden Wechselwinkel kongruent zueinander sind, so sind die Geraden <math> a </math> und <math> b </math> parallel zueinander. --[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 16:33, 16. Jul. 2010 (UTC) | + | Es seien <math> a </math> und <math> b </math> zwei verschiedene Geraden, durch durch eine weitere Gerade <math> c </math> geschnitten werden. Wenn die bei diesem Schnitt entstehenden Wechselwinkel kongruent zueinander sind, so sind die Geraden <math> a </math> und <math> b </math> parallel zueinander. <br /> |
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=== Der Satz über die entgegengesetzt liegenden Winkel an geschnittenen Parallelen === | === Der Satz über die entgegengesetzt liegenden Winkel an geschnittenen Parallelen === | ||
Version vom 16. Juli 2010, 18:35 Uhr
Inhaltsverzeichnis[Verbergen] |
Geschichte des Parallelenaxioms
Vater und Sohn Bolyai
Du darfst die Parallelen nicht auf jenem Wege versuchen; ich kenne
diesen Weg bis an sein Ende — auch ich habe diese bodenlose Nacht
durchmessen, jedes Licht, jede Freude meines Lebens sind in ihr ausgelöscht worden — ich beschwöre Dich bei Gott — laß die Lehre von
den Parallelen in Frieden. . . sie kann Dich um all Deine Ruhe, Deine
Gesundheit und um Dein ganzes Lebensglück bringen. . . .Wenn
ich die Parallelen hätte entdecken können, so wäre ich ein Engel geworden.
. . . Es ist unbegreiflich, daß diese unabwendbare Dunkelheit,
diese ewige Sonnenfinsternis, dieser Makel der Geometrie zugelassen
wurde, diese ewige Wolke an der jungfräulichen Wahrheit.
Farkas Bolyai (in einem Brief an seinen Sohn Janos Bolyai, 1820)
([1], S. 162)
http://de.wikipedia.org/wiki/Farkas_Bolyai
http://de.wikipedia.org/wiki/Janos_Bolyai
Carl Friedrich Gauß
http://de.wikipedia.org/wiki/Carl_Friedrich_Gau%C3%9F
Николай Иванович Лобачевский
http://de.wikipedia.org/wiki/Lobatschewski
Das Euklidische Parallelenaxiom
EP
- Zu jedem Punkt
außerhalb einer Geraden 
gibt es höchstens eine Gerade 
, die durch geht und zu parallel ist.
- Zu jedem Punkt
Sätze über Winkel an geschnittenen Parallelen
Der Stufenwinkelsatz
Satz XII.1: (Stufenwinkelsatz)
Es seien 
und 
zwei zueinander parallele Geraden, die durch eine dritte Gerade 
geschnitten werden. Die bei diesem Schnitt entstehenden Stufenwinkel sind kongruent.--Löwenzahn 16:33, 16. Jul. 2010 (UTC)
Der Wechselwinkelsatz
Satz XII.2: (Wechselwinkelsatz)
Es seien und zwei zueinander parallele Geraden, die durch eine dritte Gerade geschnitten werden. Die bei diesem Schnitt entstehenden Wechselwinkel sind kongruent zueinander.
Die Umkehrung würde doch auch gehen, oder?
Versuch:
Es seien und zwei verschiedene Geraden, durch durch eine weitere Gerade geschnitten werden. Wenn die bei diesem Schnitt entstehenden Wechselwinkel kongruent zueinander sind, so sind die Geraden und parallel zueinander.
Ist das ok?--Löwenzahn 16:33, 16. Jul. 2010 (UTC)
Der Satz über die entgegengesetzt liegenden Winkel an geschnittenen Parallelen
Satz XII.3
Es seien und zwei zueinander parallele Geraden, die durch eine dritte Gerade geschnitten werden. Die bei diesem Schnitt entstehenden entgegengesetzt liegenden Winkel sind kongruent zueinander.
Ist das ok? --Löwenzahn 16:34, 16. Jul. 2010 (UTC)
