Übungsaufgaben zur Algebra, Serie 1 SoSe 2019: Unterschied zwischen den Versionen

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Wir definieren <math>\mathbb{O}:=\left\{\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} | a,b,c,d \in \mathbb{R} \land a^2+c^2=1 \land b^2+d^2=1 \land ab+cd=0 \right\}</math>
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Wir definieren <math>\mathbb{O}_n:=\left\{\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} | a,b,c,d \in \mathbb{R} \land a^2+c^2=1 \land b^2+d^2=1 \land ab+cd=0 \land ac+bd=0 \right\}</math><br />
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Beweisen Sie: <math>\mathbb{O}_n</math> bildet bzgl. der Matrizenmultiplikation eine Gruppe.
 
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Aktuelle Version vom 21. Mai 2019, 13:13 Uhr

Inhaltsverzeichnis

Aufgabe 01

Beweisen Sie: Die natürlichen Zahlen bilden sowohl bzgl. der Addition als auch bezüglich der Multiplikation keine Gruppe.

Aufgabe 02

Es sei M_{2\times2} die Menge aller 2 \times 2-Matrizen. Beweisen Sie:
\exists E \in M_{2\times2}\forall M \in M_{2\times2} : E \cdot M=M\cdot E= M.

Aufgabe 03

Geben Sie 10 Nullteiler aus M_{2\times2} an.

Aufgabe 04

Es sei D_{45}:= \begin{pmatrix} \frac{1}{2}\sqrt{2} & -\frac{1}{2}\sqrt{2} \\ \frac{1}{2}\sqrt{2} & \frac{1}{2}\sqrt{2} \end{pmatrix}. Ergänzen Sie D:=\{D_{45}, \ldots\} derart, dass [D, \cdot] eine Gruppe ist.

Aufgabe 05

Beweisen Sie:
Die Matrix \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{pmatrix} ist nicht invertierbar.

Aufgabe 06

A:=\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}

Wir definieren die Determinante det(A) wie folgt:
det(A):=|A|:=a \cdot d - b \cdot c
Beweisen Sie: Die Matrizenmultiplikation ist abgeschlossen auf der Menge aller 2\times2-Matrizen, deren Determinante 1 ist.

Aufgabe 07

Wir definieren \mathbb{O}_n:=\left\{\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} | a,b,c,d \in \mathbb{R} \land a^2+c^2=1 \land b^2+d^2=1 \land ab+cd=0 \land ac+bd=0 \right\}
Beweisen Sie: \mathbb{O}_n bildet bzgl. der Matrizenmultiplikation eine Gruppe.

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