Gruppendefinition (kurz): Unterschied zwischen den Versionen

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=Linksinvers gleich Rechtsinvers=
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Es sei <math>[G, \odot]</math> eine Gruppe.<br />
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==Beweis von Satz 1==
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Es sei <math>b</math> das Linksinverse bzgl. <math>\odot</math> von <math>a</math>. Also <math>b\odot a = e</math> ist unsere Voraussetzung.<br />
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Wir multiplizieren <math>b</math> von rechts mit <math>a</math>:
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Mit Gleichung (VI) haben wir gezeigt, dass das Linksinverse von <math>a</math> auch Rechtsinverses von <math>a</math> ist.
  
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=Linkseins gleich Rechtseins=
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==Satz 2==
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Es sei <math>[G, \otimes]</math> eine Gruppe. Wenn <math>e \in G</math> von links multipliziert Einselement von <math>[G, \otimes]</math> ist, dann ist <math>e</math> auch von rechts multipliziert Einselement von <math>G</math>.
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==Beweis von Satz 2==
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Es sei <math>[G, \otimes]</math> Gruppe. Es gelte ferner für das Element <math>e \in G</math> die folgende Eigenschaft: <math>\forall g \in G: e \otimes g = g</math>.<br />
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Wir haben zu zeigen, dass jetzt auch <math>g \otimes e = g</math> für alle <math>g</math> aus <math>G</math> gilt.<br />
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Wir gehen von <math>(I) e \otimes g = g</math>.<br />
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In Gleichung <math>(I)</math> multiplizieren wir von rechts auf beiden Seiten mit <math>g^{-1}\otimes g</math> und erhalten <math>(II)</math>.<br />
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<math>(II) e \otimes g \otimes  (g^{-1}\otimes g) = g \otimes (g^{-1}\otimes g)</math>.<br />
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Aus <math>(II)</math> folgt:<br />
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<math>(III) e \otimes g = g \otimes e</math> q,e.d.
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=Verkürzte Gruppendefinition=
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Wegen der Gültigkeit von Satz 1 und Satz 2 können wir unsere Gruppendefinition kürzer schreiben:
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==Definition 5: Gruppe (verkürzte Schreibweise)==
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Eine nichtleere Menge <math>G</math> zusammen mit einer Verknüpfung <math>\oplus</math> heißt Gruppe, wenn gilt:
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# <math>\oplus</math> ist abgeschlossen auf <math>G</math>: <math>\forall a, b \in G: a \oplus b \in G</math>
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# <math>\oplus</math> ist assoziativ auf <math>G</math>:  <math>\forall a, b, c \in G: (a \oplus b) \oplus c = a \oplus (b \oplus c)</math>
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# Es gibt in <math>G</math> bzgl. <math>\oplus</math> ein neutrales Element <math>n</math>: <math>\exists n \in G \forall a \in G: a \oplus n =  a</math>
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# Jedes Element aus <math>G</math> hat in <math>G</math> ein inverses Element bzgl. <math>\oplus</math>: <math>\forall a \in G \exists -a \in G: a \oplus -a= n</math>.
 
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Aktuelle Version vom 27. Mai 2019, 12:32 Uhr

Inhaltsverzeichnis

Linksinvers gleich Rechtsinvers

Satz 1

Es sei [G, \odot] eine Gruppe.
\forall a \in G: a \odot b = e \land c \odot a = e \Rightarrow b=c

Beweis von Satz 1

Es sei b das Linksinverse bzgl. \odot von a. Also b\odot a = e ist unsere Voraussetzung.
Wir multiplizieren b von rechts mit a:

(I) a \odot b = e \odot a \odot b (Wir haben a mit b von rechts multipliziert
(II) a \odot b = (b^{-1} \odot b)\odot a \odot b (Auch b hat ein Linksinverses b^{-1}
(III) a \odot b = b^{-1} \odot (b\odot a) \odot b (Assoziativität)
(IV) a \odot b = b^{-1} \odot e \odot b (b ist das Linksinverse von a)
(V) a \odot b = b^{-1} \odot b (Eigenschaften des Einselements)
(VI) a \odot b = e (b^{-1} ist das Linksinverse von b

Mit Gleichung (VI) haben wir gezeigt, dass das Linksinverse von a auch Rechtsinverses von a ist.

Linkseins gleich Rechtseins

Satz 2

Es sei [G, \otimes] eine Gruppe. Wenn e \in G von links multipliziert Einselement von [G, \otimes] ist, dann ist e auch von rechts multipliziert Einselement von G.

Beweis von Satz 2

Es sei [G, \otimes] Gruppe. Es gelte ferner für das Element e \in G die folgende Eigenschaft: \forall g \in G: e \otimes g = g.
Wir haben zu zeigen, dass jetzt auch g \otimes e = g für alle g aus G gilt.
Wir gehen von (I) e \otimes g = g.
In Gleichung (I) multiplizieren wir von rechts auf beiden Seiten mit g^{-1}\otimes g und erhalten (II).
(II) e \otimes g \otimes (g^{-1}\otimes g) = g \otimes (g^{-1}\otimes g).
Aus (II) folgt:
(III) e \otimes g = g \otimes e q,e.d.

Verkürzte Gruppendefinition

Wegen der Gültigkeit von Satz 1 und Satz 2 können wir unsere Gruppendefinition kürzer schreiben:

Definition 5: Gruppe (verkürzte Schreibweise)

Eine nichtleere Menge G zusammen mit einer Verknüpfung \oplus heißt Gruppe, wenn gilt:

  1. \oplus ist abgeschlossen auf G: \forall a, b \in G: a \oplus b \in G
  2. \oplus ist assoziativ auf G: \forall a, b, c \in G: (a \oplus b) \oplus c = a \oplus (b \oplus c)
  3. Es gibt in G bzgl. \oplus ein neutrales Element n: \exists n \in G \forall a \in G: a \oplus n = a
  4. Jedes Element aus G hat in G ein inverses Element bzgl. \oplus: \forall a \in G \exists -a \in G: a \oplus -a= n.
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