Gruppendefinition (kurz): Unterschied zwischen den Versionen
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<math>\forall a \in G: a \odot b = e \land c \odot a = e \Rightarrow b=c</math> | <math>\forall a \in G: a \odot b = e \land c \odot a = e \Rightarrow b=c</math> | ||
==Beweis von Satz 1== | ==Beweis von Satz 1== | ||
− | Es sei <math>b</math> das Linksinverse bzgl. <math>\odot</math> von <math>a</math>. <br /> | + | Es sei <math>b</math> das Linksinverse bzgl. <math>\odot</math> von <math>a</math>. Also <math>b\odot a = e</math> ist unsere Voraussetzung.<br /> |
Wir multiplizieren <math>b</math> von rechts mit <math>a</math>: | Wir multiplizieren <math>b</math> von rechts mit <math>a</math>: | ||
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Eine nichtleere Menge <math>G</math> zusammen mit einer Verknüpfung <math>\oplus</math> heißt Gruppe, wenn gilt: | Eine nichtleere Menge <math>G</math> zusammen mit einer Verknüpfung <math>\oplus</math> heißt Gruppe, wenn gilt: | ||
# <math>\oplus</math> ist abgeschlossen auf <math>G</math>: <math>\forall a, b \in G: a \oplus b \in G</math> | # <math>\oplus</math> ist abgeschlossen auf <math>G</math>: <math>\forall a, b \in G: a \oplus b \in G</math> | ||
− | # <math>\oplus</math> ist assoziativ auf <math>G</math>: <math>\forall a, b, c: (a \oplus b) \oplus | + | # <math>\oplus</math> ist assoziativ auf <math>G</math>: <math>\forall a, b, c \in G: (a \oplus b) \oplus c = a \oplus (b \oplus c)</math> |
# Es gibt in <math>G</math> bzgl. <math>\oplus</math> ein neutrales Element <math>n</math>: <math>\exists n \in G \forall a \in G: a \oplus n = a</math> | # Es gibt in <math>G</math> bzgl. <math>\oplus</math> ein neutrales Element <math>n</math>: <math>\exists n \in G \forall a \in G: a \oplus n = a</math> | ||
# Jedes Element aus <math>G</math> hat in <math>G</math> ein inverses Element bzgl. <math>\oplus</math>: <math>\forall a \in G \exists -a \in G: a \oplus -a= n</math>. | # Jedes Element aus <math>G</math> hat in <math>G</math> ein inverses Element bzgl. <math>\oplus</math>: <math>\forall a \in G \exists -a \in G: a \oplus -a= n</math>. |
Aktuelle Version vom 27. Mai 2019, 13:32 Uhr
Linksinvers gleich RechtsinversSatz 1Es sei Beweis von Satz 1Es sei
Mit Gleichung (VI) haben wir gezeigt, dass das Linksinverse von Linkseins gleich RechtseinsSatz 2Es sei Beweis von Satz 2Es sei Verkürzte GruppendefinitionWegen der Gültigkeit von Satz 1 und Satz 2 können wir unsere Gruppendefinition kürzer schreiben: Definition 5: Gruppe (verkürzte Schreibweise)Eine nichtleere Menge
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