GeometrieUndUnterrichtSS2019 07: Unterschied zwischen den Versionen

Die SuS stehen vor dieser Aufgabe: Gibt es Dreiecke, welche die Bedingung , erfüllen? Wenn ja welche? Begründe deine Antwort.

• Handelt es sich hierbei um ein Problem? Wenn ja, zu welcher Kategorie von Problem kann die Aufgabe zugeordnet werden? Nenne noch andere Problemkategorien.
• Analysiere das Problem: Welche Schritte sollten beim Lösen des und auch jedes anderen Problems durchlaufen werden? Welche heuristischen Strategien können bei diesem konkreten Problem hilfreich sein?
• Wo liegen die größten Hürden beim Lösen des Problems für SuS? Wie kann ihnen beim Problemlösen geholfen werden?

• Da eine Problem nur von dem Problemlösenden zu einem solchen erkoren werden kann, ist der Kenntnisstand des Problemlösenden der entscheidende Faktor zur Problemidentifizierung. So erachte ich die Aufgabe für SuS der 7. Klasse durchaus als eine recht anspruchsvolle Problemstellung. Das Problem lässt sich so wie es oben formuliert wurde der Kategorie Existenzproblem/Anzahlproblem zuordnen, doch lässt es sich sicherlich auch als von Beweis- und Konstruktionsproblem formulieren. Weiterhin gibt es Optimierungs-, Modellierungs- und Berechnungsprobleme.
• Zunächst einmal muss das Problem verstanden und durchdrungen werden. Bekannt sind der Gegenstand, nämlich Dreiecke, sowie Bedingungen für die Winkel des Dreiecks, wobei die Bedingung a priori nicht ausreicht um alle Winkel zu bestimmen (3 Unbekannte, 1 Gleichung). Für geübte Gleichungssystemanwender ergibt sich durch die Analyse schon der Hinweis eine zweite Bestimmungsgleichung zu finden.
  

Beim Entwickeln eines Lösungsplans liegt es nahe zunächst einmal zu Rekapitulieren, welche Regeln/Formeln/Verfahren/Sätze in dem Kontext „Dreieck und Winkel im Dreieck“ bekannt sind. Hierzu zählen in Klasse 7 beispielsweise der Satz von der Winkelsumme im Dreieck, der Satz des Gleichschenkligen Dreiecks und der Satz des Thales. Außerdem ist es sinnvoll beim Annähern an einen Lösungsweg heuristischen Strategien wie das konkret-experimentelles Lösen und das Spezialisieren des Problems zu verwenden, um Protyp-Dreiecke z.B. gleichschenkliche, gleichseitige oder rechtwinklige Dreiecke auf die Bedingung zu testen. Dadurch wird min. ein Dreieck gefunden, d.h. die Existenz bewiesen, und noch dazu die Vermutung, dass alle rechtwinklige Dreiecke die Bedinung erfüllen, gewonnen. Für die Begründung dieser Vermutung ist es insbesondere wichtig das Probelm auf ein Berechnungsproblem bzw. das Lösen von einem Gleichungssystem zu reduzieren. Die zweite Gleichung für die drei Winkelvariablen erhalten wir aus dem Satz von der Winkelsumme im Dreieck:

1. in 2:

In der Rückschau, ein nicht zu vernachlässigender Schritt des Lösungsprozesses, wird über das Problem reflektiert. So deckt sich dieser Lösungsweg inhaltlich mit dem Beweis des Satz des Thales. Außerdem ist ersichtlich, dass zur Bestimmung von und noch eine weitere Bedingung/ Gleichung gestellt werden muss. Für den oben beschriebenen Lösungsweg wurde "nur" der Satz von der Winkelsumme im Dreieck und Äquivalenzumformungen gebraucht.

• Meiner Meinung nach können die SuS sehr schnell durch Ausprobieren auf die rechtwinklige Dreiecke kommen, doch stellt der Lösungsweg mit Hilfe von Gleichungsystemen eine große Hürde da; selbst dann noch, wenn die SuS zuvor Äquivalenzumformungen und Lösen von Gleichungssystemen trainiert haben. Das Arbeiten mit Variablen und das Einsetzen von Gleichungen muss häufig geübt werden und wird erst nach mehrjähirger Übung von den meisten SuS verstanden. Auch die Idee bei einer Geometrieaufgabe algebraische Hilfsmittel zu nutzen ist nicht intuitiv. Hier fände ich einen (optionalen) Tipp wie "Stelle zwei Gleichungen mit und auf" oder "Nutze den Satz der Winkelsumme im Dreieck" hilfreich.

Zur Beantwortung der Aufgabe sind die erlernten Problemkategorien auf ein konkrete Fragstellung anzuwenden und die Phasen des Problemlösens an dem Problem zu näher erläutern. Zuletzt wird eine didaktische Analyse des Problems gefordert.

Betrachten Sie die folgende Aufgabe für SuS der achten Klasse:

Skizze

Bestimme das Volumen des geometrischen Objekts, welches die orangene Grundfläche hat und eine Höhe von 5 cm aufweist.

1. Handelt es sich bei dieser Aufgabe um ein Problem? Wenn ja, welche Art von Problemlöseaufgabe liegt vor?
2. Welche Inhaltsbereiche tangiert die Aufgabe? Welche Begriffe und Konzepte werden angesprochen oder vertieft?
3. Nennen Sie mögliche Probleme, die SuS im Umgang mit dieser Aufgabe haben könnten und wie diesen begegnet werden kann.

1. Es handelt sich in erster Linie um ein Berechnungsproblem, da hier eine unbekannte Größe rechnerisch und auf der Grundlage geometrischer Kenntnisse ermittelt werden soll.
2. Insbesondere werden die Begriffe Flächeninhalt und Volumen aufgegriffen und vertieft. Zudem müssen die SuS für die Lösung der Aufgabe auf das Konzept des Zerlegens einer Fläche in bekannte geometrische Objekte (hier Dreiecke und Parallelogramme) zurückgreifen, welches im Kontext von Flächeninhaltsbestimmungen wahrscheinlich bereits angesprochen worden ist. Dabei wiederholen die SuS natürlich auch die Begriffe des Dreiecks und Parallelogramms und das Vorgehen bei der Bestimmung der entsprechenden Flächeninhalte. Die Lösung der Aufgabe kann auf zwei Arten erfolgen: entweder bestimmt man zunächst den Inhalt der orangenen Fläche (und zerlegt sie dafür in 12 gleichseitige Dreieicke) und dann das gesamte Volument, oder man zerlegt die Fläche erst in die Dreiecke, bildet dann 12 Prismen, deren Volumen man dann aufaddiert. In beiden Fällen verwenden die SuS alle genannten Begriffe und Konzepte. Außerdem ist eine hohe Abstraktionsfähigkeit gefragt, da die Zeichnung lediglich die Grundfläche liefert und der Transfer ins Dreidimensionale von den SuS geleistet werden muss.
3. Dies halte ich neben der Zerlegung der Grundfläche für die größte Schwierigkeit an der Aufgabe. Dass das Prinzip der Zerlegung quasi auch dreidimensional, also mit Prismen, durchgeführt werden kann, ist möglicherweise nicht jedem Schüler sofort ersichtlich. Auch die Idee zur Zerlegung in Dreiecke könnte für Schwierigkeiten sorgen, insbesondere wenn der Ansatz zuvor nicht ausreichend behandelt worden ist. Ebenso sind mangelnde Kenntnisse von Dreiecken, Parallelogrammen und deren Flächeninhalten mögliche Hindernisse bei der Bearbeitung des Problems. Sollten die SuS die Idee mit dem Zerlegen nicht von selbst haben, so könnte man ggf. einen Hinweis geben oder an das Vorgehen bei Flächeninhalten von Rechtecken erinnern bzw. wie dieses möglicherweise hergeleitet wurde. Sollten die SuS Schwierigkeiten haben, sich das dreidimensionale Objekt vorzustellen, so wäre eine Zeichnung oder ein Modell hilfreich, welches die Struktur anschaulich macht.

Die Aufgabe greift die unterschiedlichen Arten von Problemen im Kontext des Geometrieunterrichts auf und vertieft durch die Anwendung an einem konkreten Beispiel. Auch die theoretischen Grundlagen zu Grundbegriffen und -Konzepten der Geometrie werden angesprochen und mann muss sich damit auseinandersetzen, auf welchem Stand die SuS in der 8. Klasse sind, bzw. welche Schwierigkeiten eine solche Aufgabe mit sich bringt.

Betrachtet wird folgende Situation: (In der Unterstufe) Bei 𝑛 Geraden (𝑛> 1) kann es maximal 𝑘 = 1 + 2 +⋯+ (𝑛−1) Schnittpunkte geben.

1. Stellt diese Situation ein Problem dar? (Beründung)
2. Welche Problemkategorie liegt hier vor und aus welchen Gründen?
3. Gibt es spezielle geometrisch-heuristischen Strategien oder kann diese Aufgabe anhand allg. heursitischer Strategien gelöst werden? Welche Strategien würden Sie verwenden?

1. Die Problemdefinition ist abhängig vom Subjekt und dem Vorwissen. In der Unterstufe kann nicht von einer Routine Aufgabe ausgegangen werden. Alleine die algebraische Schreibweise deutet hierauf hin. Die SuS kennen keine Lösung bzw. eine Operatorkette und müssen den "Algorithmus" finden um den Zielzustand zu erreichen.
2. Es liegt ein Beweisproblem vor, da eine Aussage bewiesen werden muss und ein Anzahlproblem vor, da die Frage "Wie viele Schnittpunkte gibt es" beantwortet werden müssen.
3. Es gibt allg. Strategie um dieses Problem zu lösen. Gezielt geometirsche Stratgien gibt es hierbei weniger. Diese beziehen sich eher auf Zerlergung, Ergänzung von Hilfslinien, Suche nach geeigneten Objekten (Dreiecke, Parallelen), Ergänzung etc. die geeigneten allg. Strategien wären konkret-experimentelles Lösen oder die Nutzung von Darstellungen und Darstellungswechse wie beispielsweise eine Tabelle. ( Siehe F. 21. http://www.dms.uni-landau.de/roth/lehre/skripte/did_geometrie/did_geometrie_5_problemloesen.pdf )

Die Aufgabe thematisiert die Unterscheidung Problem - Routineaufgabe und geht spezieller auf die Problemkategorien ein. Anschließend werden die Stratgien zur Problemlösung behandelt.

Betrachte folgendes Problem:
Gegeben seien drei parallele Geraden a, b, c. Es soll ein gleichseitiges Dreieck ABC konstruiert werden, dessen Eckpunkte jeweils auf einer der drei gegebenen parallelen Geraden liegen.

• Welche der heuristischen Strategien kann angewandt werden, um ein solches Dreieck zu konstruieren?
• Wie kann man vorgehen, um dieses Problem zu Lösen?

Bei diesem Problem bietet sich die (n-1)-Methode, also das Weglassen einer Bedingung an.
Lege einen der Eckpunkte (O.E.) A auf die parallele Gerade a. Setze nun den Eckpunkt B beliebig auf b, um dann zu der Seite AB ein gleichseitiges Dreieck zu konstruieren. Daraus ergibt sich der Eckpunkt C, der vermutlich noch nicht auf c liegt. Verschiebe nun B auf b so, dass C auf c liegt.

(n-1)-Methode

Um diese Prüfungsfrage zu beantworten müssen die verschiedenen heuristischen Strategien bekannt sein. Zusätzlich wird durch ein konkretes Beispiel fachliches Geometrie-Wissen integriert.

Finden Sie die folgende Aufgabenstellung als Klausuraufgabe geeignet?

Ist die folgende Aussage wahr, oder falsch? Begründe!

Wenn zwei Geraden und parallel sind, dann bildet die Gerade IMMER die Mittelparallele von den Geraden und einer weiteren parallelen Geraden , wenn die Gerade doppelt so weit von entfernt ist, wie von der Geraden .

Um diese Aufgabenstellung zu beantworten, müssen die SuS die genaue Definition einer Mittelparallelen kennen.

Sind zwei parallele Geraden und gegeben, so ist ihre Mittelparallele die Gerade, die von und jeweils den gleichen Abstand hat.

Hier gibt es aber auch gleich eine Schwierigkeit. Viele SuS werden wahrscheinlich argumentieren, dass wenn ich eine Gerade habe, die von zwei weiteren Geraden den gleichen Abstand hat, es sich um eine Mittelparallele handelt. Sie gehen davon aus, dass die Mittelparallele ist und legen auf die andere Seite wie . Nachmessen zeigt, dass die Abstandsvoraussetzungen erfüllt sind. Die Aussage scheint also zu stimmen.

Dies ist jedoch nicht der Fall! In dieser Situation soll nämlich die Gerade so konstruiert werden, dass gerade NICHT die Mittelparallele ist. Wichtig in diesem Zusammenhang ist das Wort 'immer' aus der Aufgabenstellung. Mit etwas überlegen, kann man nämlich leicht ein Gegenbeispiel konstruieren, wenn man die Gerade zwischen die Geraden und legt. Dies muss nur von den SuS erkannt werden.

Die Aufgabe erscheint nicht sonderlich geeignet, da gerade das exakte Wissen über die Definition von Mittelparallele zum falschen Ergebnis führen kann. Genauso hat das finden des Gegenbeispiels sehr wahrscheinlich nichts, mit dem im Unterricht behandelten Wissen über Geometrie zu tun. Es wird hier nämlich, anders als es die Aufgabe vermuten lässt NICHTS so konstruiert, dass es sich bei der Geraden um eine Mittelparallele handelt.

Um diese Prüfungsfrage beantworten zu können, muss sich der Prüfling über das Verständnis des Begriffs Mittelparallele für SuS im klaren sein und den Denkansatz der SuS beim Beginn einer Konstruktion nachvollziehen können.

Folgende Aufgabe wird Schülern der Oberstufe gestellt:
Finde ein Verfahren zur Bestimmung des Abstands zwischen zwei windschiefen Geraden.

• In wie fern handelt es sich bei der gegebenen Aufgabe um ein Problem?
• Welche Lösungsstrategien können Schüler verfolgen?
• In wie weit unterscheidet sich die Aufgabe von dem Auftrag, den Abstand zweier Geraden gegeben einem geeigneten Verfahren auszurechnen?

• Ob es sich bei der gegebenen Aufgabe um ein Problem handelt, hängt vom Vorwissen der Schülerinnen und Schüler ab. Im Falle, dass sie die Formel bereits kennen, erübrigt sich das Problem. Andernfalls, können die Schülerinnen und Schüler die Aufgabe nur mit Hilfe einiger erfordelichen Grundvorstellungen lösen. Ein klassischer analytischer Weg führt über die Minimierung der Abstandsfunktion zweier allgemeiner Punkte auf den Geraden. In diesem Fall müsste jedoch bezüglich zwei Parametern optimiert werden. Dieser Weg kann in der Schule auf Grund des mangelnden Vorwissens nicht genutzt werden. Damit lässt sich die Aufgabe auch nicht als Routineproblem auffassen, das einem klassischen Optimierungsschema folgt. Vielmehr ist hier ein geometrischer Ansatz gefragt. Mit Hilfe geeigneter geometrischer Grundvorstellungen müssen die Schülerinnen und Schüler den Weg von den gegebenen Voraussetzungen zum Ziel selbst finden. Damit stellt die Aufgabe für sie ein Problem dar.
• Das Problem lässt sich geometrisch auf mindestens zwei Wegen lösen. Einer dieser Wege führt über das Vorwissen/die Heuristik, dass der Abstandsvektor senkrecht auf beiden Geraden stehen muss, sein Skalarprodukt mit den jeweiligen Richtungsvektoren also Null sein muss. Dadurch ergibt sich ein Gleichungssystem, dessen Lösung die gesuchten Parameter sind, welche angeben, welche Punkte durch den Abstandsvektor zu verbinden sind. Schließlich ist die Länge dieses Vektors der Abstand. Alternativ kann die Aufgabe mit Hilfe einer Hilfsebene gelöst werden. Legt man eine Ebene durch eine der Geraden, die Parallel zur zweiten Ebene ist, sind alle Punkte dieser zweiten Geraden gleich weit von der Hilfseben entfernt. Kennen die Schüler die Hesse'sche Normalform für Ebenen, so wissen sie auch, dass sich damit leicht der Abstand zwischen Ebene und einem Punkt ausrechnen lässt. Sie können also eine konkrete Formel angeben, welche den Abstand zwischen der Hilfsebene und einem beliebigen Punkt angibt.
• Diese Berechnungsaufgabe würde viel mehr einem Routine-Problem entsprechen, da die Schüler den erwarteten Lösungsweg bzw. einen "Problem-Löse-Algorithmus" für die Aufgabe kennen. Im Gegensatz dazu verlangt die vorherige Aufgabe neben geeignetem Vorwissen, einigen Transfer und Kreativität ab. Die Schüler kennen für die ursprüngliche Aufgabe keine fertige Methode vom Anfangs in den Zielzustand zu gelangen.

• Charakterisierung eines Problems wird diskutiert
• Mögliche Lösungsstrategien werden erörtert
• Unterschiede zwischen Problem und Routine-Problem werden herausgearbeitet