Lösung von Aufgabe 7.10: Unterschied zwischen den Versionen

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Beweisen Sie: Jede Strecke hat höchstens einen Mittelpunkt.
 
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<span style="color: blue">Die Lösung von Maude001 ist korrekt - super! --[[Benutzer:Schnirch|Schnirch]] 09:57, 8. Jul. 2010 (UTC)
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Voraussetzung: koll(A, M, B), zw (A, M, B), <math>\overline{AM}</math> = <math>\overline{MB}</math>
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zu zeigen: Es gibt nur einen Punkt M, auf den die o.g. Sachverhalte zutreffen.
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M = Mittelpunkt, da
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Definition III.1: (Mittelpunkt einer Strecke)
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<math>\overline{AM}</math> ist eindeutig für <math>\overline{AB}</math> definiert
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Axiom II.1: (Abstandsaxiom)
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--[[Benutzer:Nicola|Nicola]] 13:52, 6. Jun. 2010 (UTC)
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noch ein Versuch:<br />Satz III.1: Jede Strecke hat einen und nur einen Mittelpunkt.<br />1. Existenzbeweis bereits in der Vorlesung geführt.<br />2. Eindeutigkeitsbeweis: Jede Strecke hat höchstens einen Mittelpunkt.<br /> Annahme: Es existieren zwei verschiedene Mittelpunkte <math> M_1 </math> und <math> M_2 </math>, die Element von <math> \overline { AB } </math> sind. <br/>
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| <math>\exist M_1 \in \overline { AB }: \left| AM_1 \right| = \left| M_1B \right| </math><br/><math>\exist M_2 \in \overline { AB }: \left| AM_2 \right| = \left| M_2B \right| </math>
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| Annahme
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| <math> \operatorname{Zw} \left( A, M_1, B \right)</math><br /><math>\operatorname{Zw} \left( A, M_2, B \right)</math>
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| <math> \left| AM_1 \right| + \left| M_1B \right| = \left| AB \right| </math> <br/> <math> \left| AM_2 \right| + \left| M_2B \right| = \left| AB \right| </math>
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| Def (zw), (II)
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| <math> 2\left| AM_1 \right| = \left| AB \right|</math> <br/> <math> 2\left| AM_2 \right| = \left| AB \right|</math>
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| (I), (III), Rechnen in <math> \mathbb{R}  </math>
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| <math> \left| AM_1 \right|= {\left| AB \right| \over 2} </math> <br/> <math> \left| AM_2 \right|= {\left| AB \right| \over 2} </math>
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| Rechnen in <math> \mathbb{R}  </math>, (IV)
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| (V), Rechnen in <math> \mathbb{R}  </math>
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| <math> M_1 \equiv M_2 </math><br/> Widerspruch zur Annahme<math> M_1 \not\equiv  M_2 </math><br/> Es existiert höchstens ein Mittelpunkt der Strecke <math> \overline { AB } </math>.
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--[[Benutzer:Maude001|Maude001]] 13:16, 20. Jun. 2010 (UTC)
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'''Mal eine generelle Frage:''' <br />Ist der Existenzbeweis im Falle des Mittelpunktes nicht schon ausreichend für die Eindeutigkeit des Mittelpunktes? Denn das Axiom II.1 und das Axiom vom Lineal, die für den Existenzbeweis verwendet wurden, machen ja schon <u>eindeutige</u> Aussagen. <br />Bei den Aufgaben Übung 7.1 und 7.2 war zumindest ein Beweis ausreichend. --[[Benutzer:Barbarossa|Barbarossa]] 15:34, 19. Jul. 2010 (UTC)

Aktuelle Version vom 19. Juli 2010, 16:34 Uhr

Beweisen Sie: Jede Strecke hat höchstens einen Mittelpunkt.

Die Lösung von Maude001 ist korrekt - super! --Schnirch 09:57, 8. Jul. 2010 (UTC) 

A--M--B

Voraussetzung: koll(A, M, B), zw (A, M, B), \overline{AM} = \overline{MB}

(gemeint ist: \vert AM \vert = \vert MB \vert) --Sternchen 13:25, 10. Jun. 2010 (UTC)

zu zeigen: Es gibt nur einen Punkt M, auf den die o.g. Sachverhalte zutreffen.

M = Mittelpunkt, da Definition III.1: (Mittelpunkt einer Strecke)

\overline{AM} ist eindeutig für \overline{AB} definiert Axiom II.1: (Abstandsaxiom)

--Nicola 13:52, 6. Jun. 2010 (UTC)


noch ein Versuch:
Satz III.1: Jede Strecke hat einen und nur einen Mittelpunkt.
1. Existenzbeweis bereits in der Vorlesung geführt.
2. Eindeutigkeitsbeweis: Jede Strecke hat höchstens einen Mittelpunkt.
Annahme: Es existieren zwei verschiedene Mittelpunkte M_1 und M_2 , die Element von \overline { AB } sind.

Beweis
Nr. Beweisschritt Begründung
(I) \exist M_1 \in \overline { AB }: \left| AM_1 \right| = \left| M_1B \right|
\exist M_2 \in \overline { AB }: \left| AM_2 \right| = \left| M_2B \right| 		Annahme
(II) \operatorname{Zw} \left( A, M_1, B \right)
\operatorname{Zw} \left( A, M_2, B \right) 		(I), Existenzbeweis, Def. (zw)
(III) \left| AM_1 \right| + \left| M_1B \right| = \left| AB \right|
\left| AM_2 \right| + \left| M_2B \right| = \left| AB \right| 		Def (zw), (II)
(IV) 2\left| AM_1 \right| = \left| AB \right|
2\left| AM_2 \right| = \left| AB \right| 		(I), (III), Rechnen in \mathbb{R}
(V) \left| AM_1 \right|= {\left| AB \right| \over 2}
\left| AM_2 \right|= {\left| AB \right| \over 2} 		Rechnen in \mathbb{R} , (IV)
(VI) \left| AM_1 \right|= \left| AM_2 \right| (V), Rechnen in \mathbb{R}
(VII) M_1 \equiv M_2
Widerspruch zur Annahme M_1 \not\equiv M_2
Es existiert höchstens ein Mittelpunkt der Strecke \overline { AB } . 		(VI)

--Maude001 13:16, 20. Jun. 2010 (UTC)


Mal eine generelle Frage:
Ist der Existenzbeweis im Falle des Mittelpunktes nicht schon ausreichend für die Eindeutigkeit des Mittelpunktes? Denn das Axiom II.1 und das Axiom vom Lineal, die für den Existenzbeweis verwendet wurden, machen ja schon eindeutige Aussagen.
Bei den Aufgaben Übung 7.1 und 7.2 war zumindest ein Beweis ausreichend. --Barbarossa 15:34, 19. Jul. 2010 (UTC)

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