Wurzel aus 2 ist irrational: Unterschied zwischen den Versionen

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Annahme: <math>\sqrt{2}</math> ist rational.<br />
 
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d.h. <math>\sqrt{2}=\frac{p}{q}, p,q \in \mathbb{N}</math>.
 
d.h. <math>\sqrt{2}=\frac{p}{q}, p,q \in \mathbb{N}</math>.
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Beweis durch Widerspruch. <br />
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Annahme: <math>\sqrt{2}</math> = rational
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D.h. <math>\exists</math> p,q <math>\in</math> <math>\mathbb{N}</math> : <math>\frac{p}{q}</math> = <math>\sqrt{2}</math> , mit p,q sind teilerfremd. <br />
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<math>\Rightarrow</math> <math>\frac{p^2}{q^2}</math> = 2 <br />
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<math>p^2</math> ist gerade. <math>\Rightarrow</math> p=2n, mit n <math>\in</math> <math>\mathbb{N}</math> <br />
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<math>\Rightarrow</math> <math>(2n)^2</math> = <math>2q^2</math> <br />
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<math>\Rightarrow</math> <math>4n^2</math> = <math>2q^2</math> <br />
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<math>\Rightarrow</math> <math>2n^2</math> = <math>q^2</math> <br />
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<math>\Rightarrow</math> q ist ebenfalls gerade <math>\Rightarrow</math> p und q sind nicht teilerfremd. <br />
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<math>\Rightarrow</math> <math>\frac{p^2}{q^2}</math> ist kürzbar. <br />
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<math>\Rightarrow</math> <math>\sqrt{2}</math> = irrational <br />

Aktuelle Version vom 31. Oktober 2019, 08:48 Uhr

Satz: Die Wurzel aus 2 ist irrational

Annahme: \sqrt{2} ist rational.
d.h. \sqrt{2}=\frac{p}{q}, p,q \in \mathbb{N}.

Beweis durch Widerspruch.
Annahme: \sqrt{2} = rational

D.h. \exists p,q \in \mathbb{N} : \frac{p}{q} = \sqrt{2} , mit p,q sind teilerfremd.

\Rightarrow \frac{p^2}{q^2} = 2
\Rightarrow p^2 = 2q^2
p^2 ist gerade. \Rightarrow p=2n, mit n \in \mathbb{N}
\Rightarrow (2n)^2 = 2q^2
\Rightarrow 4n^2 = 2q^2
\Rightarrow 2n^2 = q^2
\Rightarrow q ist ebenfalls gerade \Rightarrow p und q sind nicht teilerfremd.
\Rightarrow \frac{p^2}{q^2} ist kürzbar.
\Rightarrow \sqrt{2} = irrational

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