Version vom 17. Januar 2021, 13:51 Uhr

Schwacher Außenwinkelsatz

schwacher Außenwinkelsatz?

Starker Außenwinkelsatz

In der Vorlesung wurde angedeutet, dass es im Rahmen der absoluten Geometrie nicht möglich ist, den Satz über die Summe der Größen der Innenwinkel eines Dreiecks zu beweisen. Wenn es richtig ist, was in der Vorlesung gesagt wurde, dann dürfte es in der absoluten Geometrie auch nicht möglich sein, den sogenannten starken Außenwinkelsatz zu beweisen. Die folgende Applikation demonstriert den starken Außenwinkelsatz:

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Egal, wie wir unser Dreieck wählen, es gilt immer .

Allgemeiner formuliert:
Für jedes Dreieck gilt: Die Größe eines jeden Außenwinkels ist immer gleich der Summe der Größen der beiden Innenwinkel des Dreiecks, die zu dem jeweiligen Außenwinkel keine Nebenwinkel sind.

Wie bereits erwähnt, gilt der starke Außenwinkelsatz im Rahmen der absoluten Geometrie nicht. Es gilt jedoch der sogenannte schwache Außenwinkelsatz. Dieser ist selbstverständlich im starken Außenwinkelsatz aufgehoben.

Satz VIII.1: (schwacher Außenwinkelsatz)

Die Größe eines jeden Außenwinkels eines Dreiecks ist jeweils größer als die Größe eines jeden Innenwinkels dieses Dreiecks, der kein Nebenwinkel zu dem gewählten Außenwinkel des Dreiecks ist.

Beweis von Satz VIII.1

Hilfskonstruktion

Der letztendliche Beweis

Es bleibt zu zeigen: , wobei wir in diesem Fall das offene Innere von meinen. Wenn wir das bewiesen haben gilt nämlich nach Satz V.2, dass und somit auch kleiner ist als .
Dass zeigen wir durch einen Widerspruchsbeweis. Zur Erinnerung: Das Innere eines Winkels ist durch die Schnittmenge zweier Halbebenen definiert. Die folgende Applikation zeigt den Widerspruchsbeweis.
Ziehen Sie an dem Punkt und versuchen Sie, den Beweis nachzuvollziehen.

Der letztendliche Beweis, es geht auch einfacher

Da haben wir nun die Lemmata Lemmata zu Winkeln zu den Geschichten aus dem Inneren von Winkeln in diesem Semester extra aufgeführt und dann benutze ich sie nicht.

Kompliment den Studierenden, die entdeckt haben, dass es viel einfacher geht.

Wir sollen also zeigen, dass im Inneren von liegt. Was das bedeutet ist klar:

Teil 1 war einfach, wir haben ja schließlich so konstruiert.

Teil 2 hätten wir gezeigt, wenn wir nachweisen, dass im Inneren von des Winkels liegt. Das Innere von ist schließlich nichts anderes als die Schnittmenge der beiden Halbebene und . Von diesen beiden Halbebenen interessiert uns eigentlich nur . Aber gut, wenn im Inneren von liegen würde, dann würde natürlich auch in liegen.

Unmittelbare Folgerungen aus dem schwachen Außenwinkelsatz

Korollar 1 zum schwachen Außenwinkelsatz

In jedem Dreieck sind mindestens zwei Innenwinkel spitze Winkel.

Übungsaufgabe

Korollar 2 zum schwachen Außenwinkelsatz

Die Summe der Größen zweier Innenwinkel eines Dreiecks ist stets kleiner als 180.