Aktuelle Version vom 8. Mai 2021, 14:03 Uhr

Inhaltsverzeichnis

1 Implikationen
- 1.1 Generelle Kennzeichnung von Implikationen
- 1.2 Beispiele

Implikationen

Generelle Kennzeichnung von Implikationen

Implikationen sind spezielle mathematische Aussagen, deren Typ sich kurz wie folgt darstellen bzw. beschreiben lässt:

Wenn $a$ dann $b$ .
Aus $a$ folgt $b$ .
$a$ impliziert $b$ .
$b$ ist eine Folgerung aus $a$ .
Unter der Voraussetzung, dass $a$ gilt, gilt auch $b$ .
$a$ ist hinreichend dafür, dass $b$ gilt.
$a \Rightarrow b$

Die Aussage $a$ heißt in der Implikation $a \Rightarrow b$ Voraussetzung, die Aussage $b$ wird Behauptung genannt.

Beispiele

Implikation 1: Satz zur Teilbarkeit durch 3

Wenn die Quersumme $\overline{a}$ einer natürlichen Zahl $a$ durch $3$ teilbar ist, dann ist auch die Zahl $a$ durch $3$ teilbar.

In Formelsprache: $\forall a \in \mathbb{N}: 3|\overline{a} \Rightarrow 3|a$

Voraussetzung: $3|\overline{a}$
Behauptung: $3|a$

Implikation 2: Satz zur Teilbarkeit von Summen

Für alle natürlichen Zahlen $a,b,t$ gilt:

Wenn $t$ die Zahlen $a$ und $b$ teilt, dann teilt $t$ auch die Summe $a+b$ .

In Formelsprache:

$\forall a,b,t \in \mathbb{N}:$

$t|a \land t|b \Rightarrow t|(a+b)$

Voraussetzung: Wir haben zwei Voraussetzungen die durch das logische und zu einer Voraussetzung zusammengefasst werden:

V₁: $t|a$

V₂: $t|b$

V: $t|a \land t|b$

Behauptung:

$t|(a+b)$

Implikation 3: Nebenwinkelsatz

Wenn $\alpha$ und $\beta$ Nebenwinkel sind, dann ist die Summe ihrer Größen $180^\circ$

In anderer Formulierung ohne wenn-dann:

Nebenwinkel ergänzen sich zu $180^\circ$

Voraussetzung:

$\alpha$ und $\beta$ sind Nebenwinkel

Behauptung:

$\alpha$ und $\beta$ sind supplementär.

Implikation 4: Scheitelwinkelsatz

Wenn die beiden Winkel $\alpha$ und $\beta$ Scheitelwinkel sind, dann haben sie dieselbe Größe.

alternative Formulierung ohne wenn-dann:

Scheitelwinkel haben dieselbe Größe. oder

Scheitelwinkel sind kongruent zueinander.

Voraussetzung

$\alpha$ und $\beta$ sind Scheitelwinkel

Behauptung

$|\alpha|=|\beta|$ bzw. $\alpha \cong \beta$

Implikation 5: Nonsens

Wenn die Gerade $g$ durch keinen der Eckpunkte des Dreiecks $\overline{ABC}$ geht und jede der drei Seiten $\overline{AB}, \overline{BC}, \overline{AC}$ geht, dann ist $\sqrt{2}$ eine rationale Zahl.

Voraussetzung:

$\text{nkoll}(A,B,C) \land A,B,C \not\in g \land g \cap \overline{AB} \not= \empty \land g \cap \overline{BC} \not= \empty \land g \cap \overline{AC} \not= \empty$

Behauptung:

$\exist n,m \in \mathbb{N}: \frac{n}{m} = \sqrt{2}$

Implikation 6: Satz des Thales

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 ===Implikation 6: Satz des Thales===
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Implikationen SoSe 2018: Unterschied zwischen den Versionen

Aktuelle Version vom 8. Mai 2021, 14:03 Uhr

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Implikationen

Generelle Kennzeichnung von Implikationen

Beispiele

Implikation 1: Satz zur Teilbarkeit durch 3

Implikation 2: Satz zur Teilbarkeit von Summen

Implikation 3: Nebenwinkelsatz

Implikation 4: Scheitelwinkelsatz

Implikation 5: Nonsens

Implikation 6: Satz des Thales

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