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− | + | :Zu je drei nichtkollinearen Punkten gibt es genau eine Ebene, die diese drei Punkte enthält. Jede Ebene enthält (wenigstens) einen Punkt. | |
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+ | :Wenn zwei Punkte einer Geraden ''g'' in einer Ebene ''E ''liegen, so gehört g zu ''E''. | ||
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− | + | :Wenn zwei Ebenen einen Punkt gemeinsam haben, so haben sie noch mindestens einen weiteren Punkt gemeinsam. | |
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+ | :Zu je zwei Punkten <math>\ A</math> und <math>\ B</math> gibt es eine eindeutig bestimmte nicht negative reelle Zahl <math>\ d</math> mit <math>d=0:\Longleftrightarrow A=B</math>. | ||
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+ | :Für zwei beliebige Punkte <math>\ A</math> und <math>\ B</math> gilt <math>\left| AB \right| = \left| BA \right|</math>. | ||
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+ | ===== Axiom II/3: (Dreiecksungleichung) ===== | ||
+ | :Für drei beliebige Punkte <math>\ A, B</math> und <math>\ C</math> gilt: <math>\left|AB \right|+ \left| BC \right| \geq \left| AC \right|.</math> | ||
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+ | :Falls <math>\operatorname{koll} \left( ABC \right)</math>, dann ist eine der folgenden Gleichungen erfüllt: | ||
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+ | :::<math>\left| AC \right| + \left| CB \right| = \left| AB \right| </math> | ||
+ | :::<math>\left| BA \right| + \left| AC \right| = \left| BC \right| </math><br /> | ||
+ | :Ist umgekehrt eine dieser drei Gleichungen erfüllt, so sind <math>\ A</math>, <math>\ B</math> und <math>\ C</math> kollinear. | ||
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+ | ===== Axiom III.1: (Axiom vom Lineal) ===== | ||
+ | :Zu jeder nicht negativen reelen Zahl <math>\ d</math> gibt es auf jedem Strahl <math>\ p</math> genau einen Punkt, der zum Anfangspunkt von <math>\ p</math> den Abstand <math>\ d</math> hat. | ||
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+ | ===== Axiom III.2: (Das Axiom von Pasch) ===== | ||
+ | :Gegeben sei ein Dreieck <math>\overline{ABC}</math>. Ferner sei <math>\ g</math> eine Gerade, die durch keinen der drei Eckpunkte <math>\ A, B, C</math> geht. Wenn <math>\ g</math> eine der drei Seiten des Dreiecks <math>\overline{ABC}</math> schneidet, dann schneidet <math>\ g</math> genau eine weitere Seite des Dreiecks <math>\overline{ABC}</math>. | ||
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+ | ==== Axiom IV.1: (Winkelmaßaxiom) ==== | ||
+ | ::Zu jedem Winkel <math>\ \alpha</math> gibt es genau eine reelle Zahl <math>\ \omega</math> zwischen 0 und 180. | ||
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+ | ==== Axiom IV.2: (Winkelkonstruktionsaxiom) ==== | ||
+ | :: Es sei <math>\ g \equiv SA</math> eine Gerade in der Ebene <math>\ \Epsilon</math>. Zu jeder reellen Zahl <math>\ \omega</math> mit <math>\ 0 < \omega < 180</math> gibt es in jeder der beiden durch <math>\ g</math> bestimmten Halbebenen der Ebene <math>\ \Epsilon</math> genau einen Strahl <math>\ SB^+</math> mit <math>\ \left| \omega \right| = \left| \angle ASB \right|</math> | ||
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+ | ==== Axiom IV.3: (Winkeladditionsaxiom)==== | ||
+ | ::Wenn der Punkt <math>\ P</math> zum Inneren des Winkels <math>\ \angle ASB</math> gehört , dann gilt <math>\ \left| \angle ASP \right| + \left| \angle PSB \right| = \left| \angle ASB \right|</math>. | ||
+ | |||
+ | ==== Axiom IV.4: (Supplementaxiom) ==== | ||
+ | ::Nebenwinkel sind supplementär. | ||
+ | |||
+ | ==== Axiom V: (Kongruenzaxiom SWS) ==== | ||
+ | ::Wenn für zwei Dreiecke <math>\overline{ABC}</math> und <math>\overline{DEF}</math> die folgenden 3 Kongruenzen | ||
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+ | :::# <math>\overline{AB} \cong \overline{DE}</math> | ||
+ | :::# <math>\overline{AC} \cong \overline{DF}</math> | ||
+ | :::# <math>\angle CAB \cong \angle FDE</math> | ||
+ | ::gelten,<br /> | ||
+ | ::dann sind die beiden Dreiecke <math>\overline{ABC}</math> und <math>\overline{DEF}</math> kongruent zueinander. | ||
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+ | ==== Euklidisches Parallelenaxiom ==== | ||
+ | ::Zu jedem Punkt <math>\ P</math> außerhalb einer Geraden <math>\ g</math> gibt es höchstens eine Gerade <math>\ h</math>, die durch <math>\ P</math> geht und zu <math>\ g</math> parallel ist. |
Version vom 29. Juli 2010, 17:04 Uhr
Axiome
- Inzidenzaxiome:
Axiom I.0:
- Geraden und Ebenen sind Punktmengen.
Axiom I.1: (Axiom von der Geraden)
- Zu zwei beliebigen verschiedenen Punkten gibt es genau eine Gerade, die die beiden Punkte enthält.
Axiom I.2:
- Zu jeder Geraden gibt es wenigstens zwei Punkte, die dieser Geraden angehören.
Axiom I.3:
- Es gibt wenigstens 3 Punkte, die nicht kollinear sind.
Axiom I.4:
- Zu je drei nichtkollinearen Punkten gibt es genau eine Ebene, die diese drei Punkte enthält. Jede Ebene enthält (wenigstens) einen Punkt.
Axiom I.5:
- Wenn zwei Punkte einer Geraden g in einer Ebene E liegen, so gehört g zu E.
Axiom I.6:
- Wenn zwei Ebenen einen Punkt gemeinsam haben, so haben sie noch mindestens einen weiteren Punkt gemeinsam.
Axiom I.7:
- Es gibt vier Punkte, die nicht komplanar sind.
- Abstandsaxiome:
Axiom II.1: (Abstandsaxiom)
- Zu je zwei Punkten
und
gibt es eine eindeutig bestimmte nicht negative reelle Zahl
mit
.
Axiom II.2:
- Für zwei beliebige Punkte
und
gilt
.
Axiom II/3: (Dreiecksungleichung)
- Für drei beliebige Punkte
und
gilt:
- Falls
, dann ist eine der folgenden Gleichungen erfüllt:
- Ist umgekehrt eine dieser drei Gleichungen erfüllt, so sind
,
und
kollinear.
Axiom III.1: (Axiom vom Lineal)
- Zu jeder nicht negativen reelen Zahl
gibt es auf jedem Strahl
genau einen Punkt, der zum Anfangspunkt von
den Abstand
hat.
Axiom III.2: (Das Axiom von Pasch)
- Gegeben sei ein Dreieck
. Ferner sei
eine Gerade, die durch keinen der drei Eckpunkte
geht. Wenn
eine der drei Seiten des Dreiecks
schneidet, dann schneidet
genau eine weitere Seite des Dreiecks
.
Axiom IV.1: (Winkelmaßaxiom)
- Zu jedem Winkel
gibt es genau eine reelle Zahl
zwischen 0 und 180.
- Zu jedem Winkel
Axiom IV.2: (Winkelkonstruktionsaxiom)
- Es sei
eine Gerade in der Ebene
. Zu jeder reellen Zahl
mit
gibt es in jeder der beiden durch
bestimmten Halbebenen der Ebene
genau einen Strahl
mit
- Es sei
Axiom IV.3: (Winkeladditionsaxiom)
- Wenn der Punkt
zum Inneren des Winkels
gehört , dann gilt
.
- Wenn der Punkt
Axiom IV.4: (Supplementaxiom)
- Nebenwinkel sind supplementär.
Axiom V: (Kongruenzaxiom SWS)
- Wenn für zwei Dreiecke
und
die folgenden 3 Kongruenzen
- Wenn für zwei Dreiecke
- gelten,
- dann sind die beiden Dreiecke
und
kongruent zueinander.
Euklidisches Parallelenaxiom
- Zu jedem Punkt
außerhalb einer Geraden
gibt es höchstens eine Gerade
, die durch
geht und zu
parallel ist.
- Zu jedem Punkt