Axiome WS10/11: Unterschied zwischen den Versionen
Aus Geometrie-Wiki
(→Axiome) |
(→Axiome) |
||
| Zeile 45: | Zeile 45: | ||
===== Axiom II.2: ===== | ===== Axiom II.2: ===== | ||
:Für zwei beliebige Punkte <math>\ A</math> und <math>\ B</math> gilt <math>\left| AB \right| = \left| BA \right|</math>. | :Für zwei beliebige Punkte <math>\ A</math> und <math>\ B</math> gilt <math>\left| AB \right| = \left| BA \right|</math>. | ||
| + | |||
| + | ===== Axiom II/3: (Dreiecksungleichung) ===== | ||
| + | ::Für drei beliebige Punkte <math>\ A, B</math> und <math>\ C</math> gilt: <math>\left|AB \right|+ \left| BC \right| \geq \left| AC \right|.</math> | ||
| + | |||
| + | ::Falls <math>\operatorname{koll} \left( ABC \right)</math>, dann ist eine der folgenden Gleichungen erfüllt: | ||
| + | |||
| + | ::::<math>\left| AB \right| + \left| BC \right| = \left| AC \right| </math> | ||
| + | ::::<math>\left| AC \right| + \left| CB \right| = \left| AB \right| </math> | ||
| + | ::::<math>\left| BA \right| + \left| AC \right| = \left| BC \right| </math><br /> | ||
| + | ::Ist umgekehrt eine dieser drei Gleichungen erfüllt, so sind <math>\ A</math>, <math>\ B</math> und <math>\ C</math> kollinear. | ||
Version vom 21. November 2010, 12:47 Uhr
Inhaltsverzeichnis |
Axiome
Hier geht es zu den Definitionen WS10/11
Hier geht es zu den Sätze WS10/11
- Inzidenzaxiome:
AXIOM I/0
- Geraden sind Punktmengen.
AXIOM I/1 (Axiom von der Geraden)
- Zu zwei beliebigen verschiedenen Punkten gibt es genau eine Gerade, die die beiden Punkte enthält.
- weitere Bezeichnungsmöglichkeit von Geraden
- Eine Gerade g, die durch zwei verschiedene Punkte A und B eindeutig bestimmt ist wird auch mit AB bezeichnet.
AXIOM I/2
- Zu jeder Geraden gibt es wenigstens zwei Punkte, die dieser Geraden angehören.
AXIOM I/3
- Es gibt wenigstens 3 Punkte, die nicht kollinear sind.
Axiom I/4
- Zu je drei nichtkollinearen Punkten gibt es genau eine Ebene, die diese drei Punkte enthält. Jede Ebene enthält (wenigstens) einen Punkt.
Axiom I/5
- Wenn zwei Punkte einer Geraden g in einer Ebene E liegen, so gehört g zu E.
Axiom I/6
- Wenn zwei Ebenen einen Punkt gemeinsam haben, so haben sie noch mindestens einen weiteren Punkt gemeinsam.
Axiom I/7
- Es gibt vier Punkte, die nicht komplanar sind.
- Abstandsaxiome:
Axiom II.1: (Abstandsaxiom)
- Zu je zwei Punkten
und 
gibt es eine eindeutig bestimmte nicht negative reelle Zahl 
mit 
.
Axiom II.2:
- Für zwei beliebige Punkte und gilt
.
Axiom II/3: (Dreiecksungleichung)
- Für drei beliebige Punkte
und 
gilt: 
- Für drei beliebige Punkte
- Falls
, dann ist eine der folgenden Gleichungen erfüllt:
- Falls
- Ist umgekehrt eine dieser drei Gleichungen erfüllt, so sind , und kollinear.
