Definitionen WS10/11: Unterschied zwischen den Versionen

Version vom 6. Dezember 2010, 22:09 Uhr

Inhaltsverzeichnis

1 Definitionen

Definitionen

Definition: (n-stellige Relation)

Es seien $M_1,\ M_2,\ M_3,\ ...,\ M_n\ n$ Mengen, wobei keine dieser Mengen die leere Menge ist. Jede Teilmenge aus $M_1 \times M_2 \times M_3 ...\times M_n$ ist eine $\ n-$ stellige Relation.

Definition: (Klasseneinteilung eine Menge)

Es sei $M$ eine Menge und $K=\{ T_1, T_2, T_3, ..., T_n, ...\}$ eine Menge von Teilmengen von $M$ .

$K$ ist eine Klasseneinteilung von $M$ , wenn

notwendige Bedingung 1: Keine der Teilmengen ist die leere Menge.
notwendige Bedingung 2: Je zwei Teilmengen sind disjunkt.
notwendige Bedingung 3: Die Vereinigung aller Teilmengen ergibt wieder die Menge $M$ .

Mengen sind disjukt, wenn die Schnittmenge dieser Mengen die leere Menge ist, bzw. die Mengen keine gemeinsamen Objekte besitzen.

Definition I/2: (kollinear)

Eine Menge von Punkten heißt kollinear, wenn es eine Gerade gibt, die alle Punkte der Menge enthält.

Schreibweise kolinear: koll(A, B, C, ...)

Schreibweise nicht kollinear: nkoll(A, B, C)

Definition I/3: (Inzidenz Punkt Ebene)

Ein Punkt P inzidiert mit einer Ebene E, wenn P ein Element der Ebene E ist.

Definition: (Parallelität von Geraden)

Zwei Geraden sind paralle, wenn sie in derselben Ebene liegen und entweder keinen oder alle Punkte gemeinsam haben.

Definition I/4: (Inzidenz Gerade Ebene)

Eine Gerade g gehört zu einer Ebene E, wenn jeder Punkt von g zu E gehört.

Definition I/5: (Raum)

Die Menge aller Punkte P wird Raum genannt.

Definition I/6: (komplanar)

Eine Menge von Punkten heißt komplanar, wenn es eine Ebene gibt, die alle Punkte der Menge enthält. Schreibweise: komp(A, B, C, D, ...) (analog nkomp(..) für nicht komplanar)

Definition I/7: (komplanar für Geraden)

Zwei Geraden g und h sind komplanar, wenn es eine Ebene gibt, in der beide Geraden vollständig liegen.

Schreibweise: komp(g, h)

Definition I/8: (Geradenparallelität)

Zwei Geraden g und h sind parallel, wenn sie identisch oder komplanar und schnittpunktfrei sind.

In Zeichen: g||h.

Definition I/9: (windschief )

Zwei Geraden g und h sind windschief, wenn sie schnittpunktfrei und nicht parallel sind.

Definition I/10: (parallel für Ebenen)

Zwei Ebene E1 und E2 sind parallel, wenn sie keinen Punkt gemeinsam haben.

Definition II.1: (Abstand)

Der Abstand zweier Punkte $\ A$ und $\ B$ ist die Zahl, die nach dem Abstandsaxiom den Punkten $\ A$ und $\ B$ zugeordnet werden kann.
Schreibweise: $d = \left| AB \right|$ .

Definition II.2: (Zwischenrelation)

Schreibweise: $\operatorname{Zw} \left( A, B, C \right)$

Definition II.3: (Strecke, Endpunkte einer Strecke)

Es seien $\ A$ und $\ B$ zwei verschiedene Punkte. Die Punktmenge, die $\ A$ und $\ B$ sowie alle Punkte, die zwischen $\ A$ und $\ B$ liegen, enthält, heißt Strecke $\overline{AB}$ .

Definition II.4: (Länge einer Strecke)

Es seien $\ A$ und $\ B$ zwei verschiedene Punkte. Der Abstand $\vert AB \vert$ heißt Länge der Strecke $\overline{AB}$ .

Definition II.5: (Halbgerade, bzw. Strahl)

Definition: Halbgerade $AB^+$

$AB^+ := \{ P \mid \operatorname{Zw}(A,P,B) \lor \operatorname{Zw}(A,B,P) \} \cup \{ A,B \}$

Definition: Halbgerade $AB^-$

$AB^-:=\left \{ P|Zw(P,A,B)\right \}\cup \left \{A \right \}$

Definition III.1: (Mittelpunkt einer Strecke)

Wenn ein Punkt $\ M$ der Strecke $\overline{AB}$ zu den Endpunkten $\ A$ und $\ B$ jeweils den selben Abstand hat, dann ist er der Mittelpunkt der Strecke $\overline{AB}$ .

Definition IV.1: (offene Halbebene)

Es sei $\ \Epsilon$ eine Ebene in der die Gerade $\ g$ liegen möge. Ferner sei $\ Q$ ein Punkt der Ebene $\ \Epsilon$ , der nicht zur Geraden $\ g$ gehört.
Unter den offenen Halbebenen $\ gQ^{+}$ und $\ gQ^{-}$ bezüglich der Trägergeraden $\ g$ versteht man die folgenden Teilmengen der Ebene $\ \Epsilon$ ohne die Gerade $\ g$ :

$\ gQ^{+}:= \{P| \neg\exists S \in \{S\}=g\cap\overline {PQ} \}$ oder $\ gQ^{+}:= \{P| \overline {PQ} \cap g= \{ \} \and P \in E/g \}$

$\ gQ^{-}:= \{P| \exists S \in \{S\}=g\cap\overline {PQ} \} \setminus \{ g\}$ oder $\ gQ^{-}:= \{P| \overline {PQ} \cap g \not= \{ \} \and P \in E/g \}$ oder $\ gQ^{-}:= \{P| P \in E/g \and P \not \in gQ^{+} \}$

Definition IV.2: (Halbebene)

Es sei $\ g$ eine Gerade der Ebene $\ \Epsilon$ . $\ gQ^+$ und $\ gQ^-$ seien die beiden offenen Halbebenen von $\ \Epsilon$ bezüglich $\ g$ . Unter den (geschlossenen) Halbebenen von $\ \Epsilon$ bezüglich $\ g$ versteht die beiden Punktmengen, die durch die Vereinigung jeder dieser beiden offenen Halbebene von $\ \Epsilon$ bezüglich der Geraden $\ g$ mit jeweils dieser Geraden $\ g$ entstehen.

$\ gQ^{+}:= \{P| \neg\exists S\,\{S\}=g\cap\overline {PQ} \} \cup \{g\}$

$\ gQ^{-}:= \{P| \exists S\,\{S\}=g\cap\overline {PQ} \}$

Definition IV.3: (konvexe Punktmenge)

Eine Menge $\ M$ von Punkten heißt konvex, wenn mit je zwei Punkten $\ A$ und $\ B$ dieser Menge die gesamte Strecke $\overline{AB}$ zu $\ M$ gehört.

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	::<math>\ gQ^{+}:= \{P\| \neg\exists S\,\{S\}=g\cap\overline {PQ} \} \cup \{g\}</math>		::<math>\ gQ^{+}:= \{P\| \neg\exists S\,\{S\}=g\cap\overline {PQ} \} \cup \{g\}</math>
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	::<math>\ gQ^{-}:= \{P\| \exists S\,\{S\}=g\cap\overline {PQ} \}</math>		::<math>\ gQ^{-}:= \{P\| \exists S\,\{S\}=g\cap\overline {PQ} \}</math>