Lösung von Aufg. 7.3: Unterschied zwischen den Versionen

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::Es gibt drei der Punkte vier Punkte <math>\ A, B, C, D</math>, die kollinear sind. Es mögen dieses o.B.d.A. die Punkte ...<br />
 
::Es gibt drei der Punkte vier Punkte <math>\ A, B, C, D</math>, die kollinear sind. Es mögen dieses o.B.d.A. die Punkte ...<br />
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== Lösung: --[[Benutzer:Schnirch|Schnirch]] 13:48, 9. Dez. 2010 (UTC)==
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zu 1) Wenn vier Punkte nicht in einer Ebene liegen, dann gibt es keine drei, die auf einer Geraden liegen.<br />
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zu 2) Von vier Punkten, die nicht komplanar sind, gibt es keine drei, die kollinear sind.<br />
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zu 3):<br />
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Voraussetzung: <math>\operatorname{nkomp}(A,B,C,D)</math><br />
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Behauptung: Je drei der Punkte <math>A,B,C,D </math> sind nicht kollinear.<br />
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Annahme: Es gibt drei kollineare Punkte, oBdA sei <math>\operatorname{koll}(A,B,C)</math><br />
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Beweis:<br />
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|1) Es gibt eine Gerade <math>\ g</math> mit <math>A,B,C \in g</math>
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|Fall 1: <math>D\notin g </math>
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|2) Es gibt eine Ebene <math>\ E</math> mit <math>A,B,D \in E</math>
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|3) <math>C \in E</math>
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|4) <math>(A,B,C,D) \in E</math>
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|6) <math>\operatorname{koll}(A,B,C,D)</math>
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|7) es gibt einen Punkt <math>F</math>, der nicht auf der Geraden <math>g</math> liegt
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|8) es existiert genau eine Ebene <math>E</math> mit <math>(A,B,F) \in E</math>
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|9) mit <math>A,B \in E</math> gilt auch <math>C,D \in E</math>
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Annahme ist zu verwerfen! Behauptung stimmt!
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==vorangegangene Diskussion und Lösungsvorschläge==
  
 
1) Wenn vier Punkte nicht in einer Ebene liegen, dann liegen je drei von ihnen nicht auf einer Geraden.<br />
 
1) Wenn vier Punkte nicht in einer Ebene liegen, dann liegen je drei von ihnen nicht auf einer Geraden.<br />
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3) Zu je drei nichtkollinearen Punkten___________Axiom I/4 und 2)<br />
 
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o.B.d.A A,B,C gibt es genau eine Ebene E
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o.B.d.A A,B,E gibt es genau eine Ebene E<br />
  
 
4) mit <math>A,B \in E</math> gilt________________Axiom I/5 und 3)<br />)
 
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8) Behauptung stimmt<br />  
 
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****Bei Schritt 3 muss es doch A,B und E heißen, oder? Denn die Punkte A,B,C sind ja nach Annahme kollinear? --[[Benutzer:Halikarnaz|Halikarnaz]] 23:19, 30. Nov. 2010 (UTC)<br />
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Stimmt, war ein Schreibfehler.--[[Benutzer:Engel82|Engel82]] 17:26, 3. Dez. 2010 (UTC)
  
  
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6) Widerspruch zur Voraussetzung nkomp(A,B,C,D)<br />
 
6) Widerspruch zur Voraussetzung nkomp(A,B,C,D)<br />
 
7) Annahme ist zu verwerfen<br />
 
7) Annahme ist zu verwerfen<br />
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8) Behauptung stimmt<br />--[[Benutzer:Engel82|Engel82]] 18:25, 23. Nov. 2010 (UTC)
 
   
 
   
  

Aktuelle Version vom 9. Dezember 2010, 14:49 Uhr

Satz:

Wenn vier Punkte nicht komplanar sind, sind je drei von ihnen nicht kollinear.
  1. Formulieren Sie den Satz noch einmal, ohne die Bezeichnungen komplanar und kollinear zu verwenden.
  2. Formulieren Sie den Satz noch einmal, ohne wenn-dann zu gebrauchen.
  3. Beweisen Sie den Satz. Hier ein Anfang für den Beweis:

Beweis

Es seien \ A, B, C und \ D drei Punkte, die nicht komplanar sind.

zu zeigen

...

Annahme:

Es gibt drei der Punkte vier Punkte \ A, B, C, D, die kollinear sind. Es mögen dieses o.B.d.A. die Punkte ...

Lösung: --Schnirch 13:48, 9. Dez. 2010 (UTC)

zu 1) Wenn vier Punkte nicht in einer Ebene liegen, dann gibt es keine drei, die auf einer Geraden liegen.
zu 2) Von vier Punkten, die nicht komplanar sind, gibt es keine drei, die kollinear sind.
zu 3):
Voraussetzung: \operatorname{nkomp}(A,B,C,D)
Behauptung: Je drei der Punkte A,B,C,D sind nicht kollinear.
Annahme: Es gibt drei kollineare Punkte, oBdA sei \operatorname{koll}(A,B,C)
Beweis:

Schritt Begründung
1) Es gibt eine Gerade \ g mit A,B,C \in g Annahme
Fall 1: D\notin g
2) Es gibt eine Ebene \ E mit A,B,D \in E Axiom I/4
3) C \in E (1),(2), Axiom I/5
4) (A,B,C,D) \in E (2),(3)
5) \operatorname{komp}(A,B,C,D) (4)
Widerspruch zur Voraussetzung
Fall 2: D\in g
6) \operatorname{koll}(A,B,C,D)
7) es gibt einen Punkt F, der nicht auf der Geraden g liegt Axiom I/3
8) es existiert genau eine Ebene E mit (A,B,F) \in E Axiom I/4
9) mit A,B \in E gilt auch C,D \in E Axiom I/5
10) \operatorname{komp}(A,B,C,D) (9)
Widerspruch zur Voraussetzung

Annahme ist zu verwerfen! Behauptung stimmt!

vorangegangene Diskussion und Lösungsvorschläge

1) Wenn vier Punkte nicht in einer Ebene liegen, dann liegen je drei von ihnen nicht auf einer Geraden.

2) Vier Punkte sind nicht komplanar, falls je drei von ihnen nicht kollinear sind.

Vor: nkomp(A,B,C,D)
Beh: nkoll(A,B,C)

Annahme: koll(A,B,C)

Es gibt eine Gerade g mit A,B,C \in g

1.Fall: D \in g

1) koll(A,B,C,D)________________________________laut Annahme

2) es existiert ein Punkt E mit_________________Axiom I/3
der Eigenschaft, dass E nicht Element von g ist

3) Zu je drei nichtkollinearen Punkten___________Axiom I/4 und 2)
o.B.d.A A,B,E gibt es genau eine Ebene E

4) mit A,B \in E gilt________________Axiom I/5 und 3)
) auch C,D \in E

5) komp(A,B,C,D)__________________________________4)

6) Widerspruch zur Voraussetzung nkomp(A,B,C,D)

7) Annahme ist zu verwerfen
8) Behauptung stimmt


        • Bei Schritt 3 muss es doch A,B und E heißen, oder? Denn die Punkte A,B,C sind ja nach Annahme kollinear? --Halikarnaz 23:19, 30. Nov. 2010 (UTC)

Stimmt, war ein Schreibfehler.--Engel82 17:26, 3. Dez. 2010 (UTC)


2. Fall D ist nicht Element g

1) koll(A,B,C)___________________________laut Annahme
2) D ist nicht Element g_________________laut Annahme
3) es existiert genau eine Ebene___________I/4 und 1) und 2)
E mit A,B,D \in E 4) g \subset E_________________I/5 und 3)
5) komp(A, B,C,D)_________________________4)
6) Widerspruch zur Voraussetzung nkomp(A,B,C,D)
7) Annahme ist zu verwerfen
8) Behauptung stimmt
--Engel82 18:25, 23. Nov. 2010 (UTC)

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