Lösung von Aufg. 8.1: Unterschied zwischen den Versionen

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Beweisen Sie: Zu jeder Strecke <math>\overline{AB}</math> existiert genau eine Strecke <math>\overline{AB^{*}}</math> mit <math>\left| AB^{*} \right| = \pi \left| AB \right|</math> und <math>\overline{AB} \subset \overline{AB^{*}}</math>.<br />
 
Beweisen Sie: Zu jeder Strecke <math>\overline{AB}</math> existiert genau eine Strecke <math>\overline{AB^{*}}</math> mit <math>\left| AB^{*} \right| = \pi \left| AB \right|</math> und <math>\overline{AB} \subset \overline{AB^{*}}</math>.<br />
  
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== Lösung --[[Benutzer:Schnirch|Schnirch]] 14:00, 14. Dez. 2010 (UTC) ==
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Voraussetzung: Strecke <math>\overline{AB}\subset AB^+ </math> <br />
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Behauptung: es existiert genau eine Strecke <math>\overline{AB^{*}}</math> mit <math>\left| AB^{*} \right| = \pi \left| AB \right|</math> und <math>\overline{AB} \subset \overline{AB^{*}}</math> <br />
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==vorangegangene Lösungsversuche und Diskussionen==
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<u>Vor:</u> <math>\overline{AB}</math> <br />
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<u>Beh:</u> es existiert <math>\overline{AB^{*}}</math> mit <math>\left| AB^{*} \right| = \pi \left| AB \right|</math>;<math>\overline{AB} \subset \overline{AB^{*}}</math>.<br />
  
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Vor: <math>\overline{AB}</math>
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1)<math>\overline{AB}</math>__________________________________laut Vor<br />
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2) es existiert g: <math>A \in g</math> und <math>B \in g</math>_____Axiom I/1<br />
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3) es existiert ein Strahl AB+______________________Def. Strahl<br />
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4) Auf dem Strahl AB+ mit dem Anfangspunkt A______________________Axiom vom Lineal<br />
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existiert genau ein Punkt B* für den gilt:<br />
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<math>\left| AB^{*} \right| = \pi \left| AB \right|</math><br />
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5) Zw(A,B, B*), da <math>\pi </math> größer als 1 ist gilt:_____________4)<br />
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<math>\overline{AB^{*}}</math> größer als <math>\overline{AB}</math><br />
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6)<math>\left| AB \right|</math>+ <math>\left|BB^{*}\right|</math> =<math>\left|AB^{*}\right|</math>___________Def. Zw und 5<br />
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7)<math>\overline{AB}</math> für die gilt: (P/ Zw(A,P,B)<math>\cup</math>(A,B)________________Def. Strecke und 6)<br />
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8)<math>\overline{AB^{*}}</math> für die gilt:(<math>\overline{AB}</math><math>\cup</math> (P/ Zw(B,P,B*))______Def. Strecke<br />
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9)<math>\overline{AB} \subset \overline{AB^{*}}</math>.<br />
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10)Behauptung stimmt--[[Benutzer:Engel82|Engel82]] 19:14, 30. Nov. 2010 (UTC)
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Rückfragen zu diesem Beweis:<br />
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Woher weiß man, dass die drei Punkte auf ein und derselben Halbgerade liegen? Ist das nicht schon die Behauptung?<br />
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das ergibt sich aus 3) und 4)--[[Benutzer:Schnirch|Schnirch]] 14:00, 14. Dez. 2010 (UTC)
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Wozu dient Schritt 6)?<br />--[[Benutzer:Jbo-sax|Jbo-sax]] 14:48, 7. Dez. 2010 (UTC)<br />
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richtig, dieser Schritt ist überflüssig - siehe Lösung oben--[[Benutzer:Schnirch|Schnirch]] 14:00, 14. Dez. 2010 (UTC)
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[[Category:Einführung_Geometrie]]

Aktuelle Version vom 14. Dezember 2010, 15:00 Uhr

Beweisen Sie: Zu jeder Strecke \overline{AB} existiert genau eine Strecke \overline{AB^{*}} mit \left| AB^{*} \right| = \pi \left| AB \right| und \overline{AB} \subset \overline{AB^{*}}.

Lösung --Schnirch 14:00, 14. Dez. 2010 (UTC)

Voraussetzung: Strecke \overline{AB}\subset AB^+
Behauptung: es existiert genau eine Strecke \overline{AB^{*}} mit \left| AB^{*} \right| = \pi \left| AB \right| und \overline{AB} \subset \overline{AB^{*}}

Beweis
Nr. Beweisschritt Begründung
(I) es ex. genau ein Punkt B^* \in AB^+ mit \left| AB^{*} \right| = \pi \left| AB \right| Axiom III.1
(II) \overline{AB^{*}} existiert und ist eindeutig (I), Def. Strecke
(III) \left| AB^{*} \right| > \left| AB \right| Rechnen in \mathbb{R} und \pi > 1
(IV) \operatorname{Zw} \left( A, B, B^* \right) (I), (III), Def. Zw
(V) \overline{AB} \subset \overline{AB^{*}} (IV)

vorangegangene Lösungsversuche und Diskussionen

Vor: \overline{AB}
Beh: es existiert \overline{AB^{*}} mit \left| AB^{*} \right| = \pi \left| AB \right|;\overline{AB} \subset \overline{AB^{*}}.


1)\overline{AB}__________________________________laut Vor
2) es existiert g: A \in g und B \in g_____Axiom I/1
3) es existiert ein Strahl AB+______________________Def. Strahl
4) Auf dem Strahl AB+ mit dem Anfangspunkt A______________________Axiom vom Lineal
existiert genau ein Punkt B* für den gilt:
\left| AB^{*} \right| = \pi \left| AB \right|
5) Zw(A,B, B*), da \pi größer als 1 ist gilt:_____________4)
\overline{AB^{*}} größer als \overline{AB}
6)\left| AB \right|+ \left|BB^{*}\right| =\left|AB^{*}\right|___________Def. Zw und 5
7)\overline{AB} für die gilt: (P/ Zw(A,P,B)\cup(A,B)________________Def. Strecke und 6)
8)\overline{AB^{*}} für die gilt:(\overline{AB}\cup (P/ Zw(B,P,B*))______Def. Strecke
9)\overline{AB} \subset \overline{AB^{*}}.
10)Behauptung stimmt--Engel82 19:14, 30. Nov. 2010 (UTC)

Rückfragen zu diesem Beweis:
Woher weiß man, dass die drei Punkte auf ein und derselben Halbgerade liegen? Ist das nicht schon die Behauptung?

das ergibt sich aus 3) und 4)--Schnirch 14:00, 14. Dez. 2010 (UTC)

Wozu dient Schritt 6)?
--Jbo-sax 14:48, 7. Dez. 2010 (UTC)

richtig, dieser Schritt ist überflüssig - siehe Lösung oben--Schnirch 14:00, 14. Dez. 2010 (UTC)
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