Lösung von Aufg. 8.1: Unterschied zwischen den Versionen

Aus Geometrie-Wiki
Wechseln zu: Navigation, Suche
 
(9 dazwischenliegende Versionen von 3 Benutzern werden nicht angezeigt)
Zeile 1: Zeile 1:
 
Beweisen Sie: Zu jeder Strecke <math>\overline{AB}</math> existiert genau eine Strecke <math>\overline{AB^{*}}</math> mit <math>\left| AB^{*} \right| = \pi \left| AB \right|</math> und <math>\overline{AB} \subset \overline{AB^{*}}</math>.<br />
 
Beweisen Sie: Zu jeder Strecke <math>\overline{AB}</math> existiert genau eine Strecke <math>\overline{AB^{*}}</math> mit <math>\left| AB^{*} \right| = \pi \left| AB \right|</math> und <math>\overline{AB} \subset \overline{AB^{*}}</math>.<br />
  
 +
== Lösung --[[Benutzer:Schnirch|Schnirch]] 14:00, 14. Dez. 2010 (UTC) ==
 +
Voraussetzung: Strecke <math>\overline{AB}\subset AB^+ </math> <br />
 +
Behauptung: es existiert genau eine Strecke <math>\overline{AB^{*}}</math> mit <math>\left| AB^{*} \right| = \pi \left| AB \right|</math> und <math>\overline{AB} \subset \overline{AB^{*}}</math> <br />
 +
{| class="wikitable "
 +
|+ Beweis
 +
! Nr.
 +
! Beweisschritt
 +
! Begründung
 +
|-
 +
! style="background: #FFDDDD;"|(I)
 +
| es ex. genau ein Punkt <math> B^* \in AB^+ </math> mit <math>\left| AB^{*} \right| = \pi \left| AB \right|</math>
 +
| Axiom III.1
 +
|-
 +
! style="background: #FFDDDD;"|(II)
 +
| <math>\overline{AB^{*}}</math> existiert und ist eindeutig
 +
| (I), Def. Strecke
 +
|-
 +
! style="background: #FFDDDD;"|(III)
 +
| <math>\left| AB^{*} \right| > \left| AB \right|</math>
 +
| Rechnen in <math> \mathbb{R} </math> und <math> \pi </math> > 1
 +
|-
 +
! style="background: #FFDDDD;"|(IV)
 +
| <math> \operatorname{Zw} \left( A, B, B^* \right) </math>
 +
| (I), (III), Def. Zw
 +
|-
 +
! style="background: #FFDDDD;"|(V)
 +
| <math>\overline{AB} \subset \overline{AB^{*}}</math>
 +
| (IV)
 +
|}
 +
==vorangegangene Lösungsversuche und Diskussionen==
 +
<u>Vor:</u> <math>\overline{AB}</math> <br />
 +
<u>Beh:</u> es existiert <math>\overline{AB^{*}}</math> mit <math>\left| AB^{*} \right| = \pi \left| AB \right|</math>;<math>\overline{AB} \subset \overline{AB^{*}}</math>.<br />
  
−
Vor: <math>\overline{AB}</math> <br />
 
−
Beh: es existiert <math>\overline{AB^{*}}</math> mit <math>\left| AB^{*} \right| = \pi \left| AB \right|</math>;<math>\overline{AB} \subset \overline{AB^{*}}</math>.<br />
 
  
 
1)<math>\overline{AB}</math>__________________________________laut Vor<br />
 
1)<math>\overline{AB}</math>__________________________________laut Vor<br />
 
2) es existiert g: <math>A \in g</math> und <math>B \in g</math>_____Axiom I/1<br />
 
2) es existiert g: <math>A \in g</math> und <math>B \in g</math>_____Axiom I/1<br />
−
3) es existier ein Strahl AB+______________________Def. Strahl<br />
+
3) es existiert ein Strahl AB+______________________Def. Strahl<br />
 
4) Auf dem Strahl AB+ mit dem Anfangspunkt A______________________Axiom vom Lineal<br />
 
4) Auf dem Strahl AB+ mit dem Anfangspunkt A______________________Axiom vom Lineal<br />
 
existiert genau ein Punkt B* für den gilt:<br />
 
existiert genau ein Punkt B* für den gilt:<br />
Zeile 13: Zeile 43:
 
5) Zw(A,B, B*), da <math>\pi </math> größer als 1 ist gilt:_____________4)<br />
 
5) Zw(A,B, B*), da <math>\pi </math> größer als 1 ist gilt:_____________4)<br />
 
<math>\overline{AB^{*}}</math> größer als <math>\overline{AB}</math><br />
 
<math>\overline{AB^{*}}</math> größer als <math>\overline{AB}</math><br />
−
6)<math>\left| AB \right|</math>+<math>\left|BB^{*}\right|</math> =<math>\overline{AB^{*}}</math>___________Def. Zw und 5<br />)
+
6)<math>\left| AB \right|</math>+ <math>\left|BB^{*}\right|</math> =<math>\left|AB^{*}\right|</math>___________Def. Zw und 5<br />
−
7)<math>\overline{AB}</math><br /> für die gilt: (P/ Zw(A,P,B)<math>\cup</math>(A,B)________________Def. Strecke und 6)<br />
+
7)<math>\overline{AB}</math> für die gilt: (P/ Zw(A,P,B)<math>\cup</math>(A,B)________________Def. Strecke und 6)<br />
−
8)<math>\overline{AB^{*}}</math> für die gilt:<math>\overline{AB}</math><math>\cup</math> (P/ Zw(B,P,B*)______Def. Strecke<br />
+
8)<math>\overline{AB^{*}}</math> für die gilt:(<math>\overline{AB}</math><math>\cup</math> (P/ Zw(B,P,B*))______Def. Strecke<br />
 
9)<math>\overline{AB} \subset \overline{AB^{*}}</math>.<br />
 
9)<math>\overline{AB} \subset \overline{AB^{*}}</math>.<br />
 
10)Behauptung stimmt--[[Benutzer:Engel82|Engel82]] 19:14, 30. Nov. 2010 (UTC)
 
10)Behauptung stimmt--[[Benutzer:Engel82|Engel82]] 19:14, 30. Nov. 2010 (UTC)
 +
<br />
 +
<br />
 +
Rückfragen zu diesem Beweis:<br />
 +
Woher weiß man, dass die drei Punkte auf ein und derselben Halbgerade liegen? Ist das nicht schon die Behauptung?<br />
 +
das ergibt sich aus 3) und 4)--[[Benutzer:Schnirch|Schnirch]] 14:00, 14. Dez. 2010 (UTC)
 +
Wozu dient Schritt 6)?<br />--[[Benutzer:Jbo-sax|Jbo-sax]] 14:48, 7. Dez. 2010 (UTC)<br />
 +
richtig, dieser Schritt ist überflüssig - siehe Lösung oben--[[Benutzer:Schnirch|Schnirch]] 14:00, 14. Dez. 2010 (UTC)
 +
 +
[[Category:Einführung_Geometrie]]

Aktuelle Version vom 14. Dezember 2010, 15:00 Uhr

Beweisen Sie: Zu jeder Strecke \overline{AB} existiert genau eine Strecke \overline{AB^{*}} mit \left| AB^{*} \right| = \pi \left| AB \right| und \overline{AB} \subset \overline{AB^{*}}.

Lösung --Schnirch 14:00, 14. Dez. 2010 (UTC)

Voraussetzung: Strecke \overline{AB}\subset AB^+
Behauptung: es existiert genau eine Strecke \overline{AB^{*}} mit \left| AB^{*} \right| = \pi \left| AB \right| und \overline{AB} \subset \overline{AB^{*}}

Beweis
Nr. Beweisschritt Begründung
(I) es ex. genau ein Punkt B^* \in AB^+ mit \left| AB^{*} \right| = \pi \left| AB \right| Axiom III.1
(II) \overline{AB^{*}} existiert und ist eindeutig (I), Def. Strecke
(III) \left| AB^{*} \right| > \left| AB \right| Rechnen in \mathbb{R} und \pi > 1
(IV) \operatorname{Zw} \left( A, B, B^* \right) (I), (III), Def. Zw
(V) \overline{AB} \subset \overline{AB^{*}} (IV)

vorangegangene Lösungsversuche und Diskussionen

Vor: \overline{AB}
Beh: es existiert \overline{AB^{*}} mit \left| AB^{*} \right| = \pi \left| AB \right|;\overline{AB} \subset \overline{AB^{*}}.


1)\overline{AB}__________________________________laut Vor
2) es existiert g: A \in g und B \in g_____Axiom I/1
3) es existiert ein Strahl AB+______________________Def. Strahl
4) Auf dem Strahl AB+ mit dem Anfangspunkt A______________________Axiom vom Lineal
existiert genau ein Punkt B* für den gilt:
\left| AB^{*} \right| = \pi \left| AB \right|
5) Zw(A,B, B*), da \pi größer als 1 ist gilt:_____________4)
\overline{AB^{*}} größer als \overline{AB}
6)\left| AB \right|+ \left|BB^{*}\right| =\left|AB^{*}\right|___________Def. Zw und 5
7)\overline{AB} für die gilt: (P/ Zw(A,P,B)\cup(A,B)________________Def. Strecke und 6)
8)\overline{AB^{*}} für die gilt:(\overline{AB}\cup (P/ Zw(B,P,B*))______Def. Strecke
9)\overline{AB} \subset \overline{AB^{*}}.
10)Behauptung stimmt--Engel82 19:14, 30. Nov. 2010 (UTC)

Rückfragen zu diesem Beweis:
Woher weiß man, dass die drei Punkte auf ein und derselben Halbgerade liegen? Ist das nicht schon die Behauptung?

das ergibt sich aus 3) und 4)--Schnirch 14:00, 14. Dez. 2010 (UTC)

Wozu dient Schritt 6)?
--Jbo-sax 14:48, 7. Dez. 2010 (UTC)

richtig, dieser Schritt ist überflüssig - siehe Lösung oben--Schnirch 14:00, 14. Dez. 2010 (UTC)
Von „http://geometrie.zum.de/index.php?title=Lösung_von_Aufg._8.1&oldid=5693“