Lösung von Aufg. 8.2: Unterschied zwischen den Versionen
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Beweisen Sie: Zu jeder Strecke <math>\overline{AB}</math> existiert genau eine Strecke <math>\overline{AB^{*}}</math> mit <math>\left| AB^{*} \right| = \frac{1}{\pi} \left| AB \right|</math> und <math>\overline{AB^{*}} \subset \overline{AB}</math>.<br /> | Beweisen Sie: Zu jeder Strecke <math>\overline{AB}</math> existiert genau eine Strecke <math>\overline{AB^{*}}</math> mit <math>\left| AB^{*} \right| = \frac{1}{\pi} \left| AB \right|</math> und <math>\overline{AB^{*}} \subset \overline{AB}</math>.<br /> | ||
+ | == Lösung --[[Benutzer:Schnirch|Schnirch]] 14:05, 14. Dez. 2010 (UTC) == | ||
+ | Voraussetzung: Strecke <math>\overline{AB}\subset AB^+ </math> <br /> | ||
+ | Behauptung: es existiert genau eine Strecke <math>\overline{AB^{*}}</math> mit <math>\left| AB^{*} \right| = \frac{1}{\pi} \left| AB \right|</math> und <math>\overline{AB^{*}} \subset \overline{AB}</math> <br /> | ||
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+ | | es ex. genau ein Punkt <math> B^* \in AB^+ </math> mit <math>\left| AB^{*} \right| = \frac{1}{\pi} \left| AB \right|</math> | ||
+ | | Axiom III.1 | ||
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+ | | <math>\overline{AB^{*}}</math> existiert und ist eindeutig | ||
+ | | (I), Def. Strecke | ||
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+ | ! style="background: #FFDDDD;"|(III) | ||
+ | | <math>\left| AB^{*} \right| < \left| AB \right|</math> | ||
+ | | Rechnen in <math> \mathbb{R} </math> und <math> \frac{1}{\pi} </math> < 1 | ||
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+ | ! style="background: #FFDDDD;"|(IV) | ||
+ | | <math> \operatorname{Zw} \left( A, B^*, B \right) </math> | ||
+ | | (I), (III), Def. Zw | ||
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+ | ! style="background: #FFDDDD;"|(V) | ||
+ | | <math>\overline{AB^{*}} \subset \overline{AB}</math> | ||
+ | | (IV) | ||
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+ | == vorangegangene Lösungsversuche und Diskussionen == | ||
<u>Vor</u>: <math>\overline{AB}</math> <br /> | <u>Vor</u>: <math>\overline{AB}</math> <br /> | ||
<u>Beh:</u> Es existiert <math>\overline{AB^{*}} </math>, <math>\left| AB^{*} \right| = \frac{1}{\pi} \left| AB \right| </math>,<math>\overline{AB^{*}} \subset \overline{AB}</math>.<br /> | <u>Beh:</u> Es existiert <math>\overline{AB^{*}} </math>, <math>\left| AB^{*} \right| = \frac{1}{\pi} \left| AB \right| </math>,<math>\overline{AB^{*}} \subset \overline{AB}</math>.<br /> | ||
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4) <math>\pi</math> ist größer als 1. daraus folgt_____________________Rechnen in R<br /> | 4) <math>\pi</math> ist größer als 1. daraus folgt_____________________Rechnen in R<br /> | ||
− | <math>\frac{1}{\pi} kleiner als 1 ist, daraus folgt wiederum \left| AB^{*} \right|</math> kleiner als <math>\left| AB \right|</math><br /> | + | <math>\frac{1}{\pi} kleiner als 1 ist, daraus folgt wiederum \left| AB^{*} \right|</math> kleiner als <math>\left| AB \right|</math><br /> |
5) Zw(A,B*,B)____________________________4)<br /> | 5) Zw(A,B*,B)____________________________4)<br /> | ||
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6)<math>\left| AB^{*} \right|</math> + <math>\left| BB^{*} \right|</math>= <math>\left| AB\right|</math>_________Def. Zw 5)<br /> | 6)<math>\left| AB^{*} \right|</math> + <math>\left| BB^{*} \right|</math>= <math>\left| AB\right|</math>_________Def. Zw 5)<br /> | ||
− | 7)<math>\overline{AB^{*}} :=(P\ Zw(A,P,B*))\cup AB*</math>________________Def. Strecke<br /> | + | 7)<math>\overline{AB^{*}} :=(P\ Zw(A,P,B*))\cup (AB*)</math>________________Def. Strecke<br /> |
+ | |||
+ | 8)<math>\overline{AB}</math>:= <math>\overline{AB^{*}}\cup</math>(P\ Zw(B*,P,B)<math>\cup (B)</math> _____Def. Strecke<br /> | ||
− | + | 9)<math>\overline{AB^{*}} \subset \overline{AB}</math>_________________________7) und 8) | |
+ | --[[Benutzer:Engel82|Engel82]] 17:55, 3. Dez. 2010 (UTC) | ||
+ | Die Lösung von Engel82 ist super ausführlich und auch korrekt!--[[Benutzer:Schnirch|Schnirch]] 14:04, 14. Dez. 2010 (UTC) | ||
− | + | [[Category:Einführung_Geometrie]] |
Aktuelle Version vom 14. Dezember 2010, 16:06 Uhr
Beweisen Sie: Zu jeder Strecke existiert genau eine Strecke
mit
und
.
Lösung --Schnirch 14:05, 14. Dez. 2010 (UTC)
Voraussetzung: Strecke
Behauptung: es existiert genau eine Strecke mit
und
Nr. | Beweisschritt | Begründung |
---|---|---|
(I) | es ex. genau ein Punkt ![]() ![]() |
Axiom III.1 |
(II) | ![]() |
(I), Def. Strecke |
(III) | ![]() |
Rechnen in ![]() ![]() |
(IV) | ![]() |
(I), (III), Def. Zw |
(V) | ![]() |
(IV) |
vorangegangene Lösungsversuche und Diskussionen
Vor:
Beh: Es existiert ,
,
.
1)___________________laut Vor
2) es existiert ein Strahl AB+_________________Def. Strahl
3) es existiert genau ein Punkt B* auf_______________________Axiom vom Lineal
dem Strahl AB+ für den gilt:
4) ist größer als 1. daraus folgt_____________________Rechnen in R
kleiner als
5) Zw(A,B*,B)____________________________4)
6) +
=
_________Def. Zw 5)
7)________________Def. Strecke
8):=
(P\ Zw(B*,P,B)
_____Def. Strecke
9)_________________________7) und 8)
--Engel82 17:55, 3. Dez. 2010 (UTC)
Die Lösung von Engel82 ist super ausführlich und auch korrekt!--Schnirch 14:04, 14. Dez. 2010 (UTC)