Lösung von Aufg. 11.3: Unterschied zwischen den Versionen
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− | '''Voraussetzung:'''Es sei eine Strecke <math> \overline{AB} </math> und ein Punkt P mit <math> \overline{PA} \cong \overline{PB} </math><br /> | + | <p>'''Voraussetzung:'''Es sei eine Strecke <math> \overline{AB} </math> und ein Punkt P mit <math> \overline{PA} \cong \overline{PB} </math></p><br /> |
− | < | + | <p>'''Behauptung:''' <math>P \in m</math> , m ist Mittelsenkrechte von <math>\overline{AB}</math></p><br /> |
+ | <p>Fall 1: koll(A,B,P)<br />Fall 2: nkoll(A,B,P)</p><br /> | ||
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+ | |+ Beweis zu Fall 1 | ||
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+ | | P ist Mittelpunkt von <math>\overline{AB}</math> | ||
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+ | | <math>P \in m</math> | ||
+ | | I, Def VI.1(Mittelsenkrechte) | ||
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− | |+ Beweis | + | |+ Beweis zu Fall 2 |
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− | | <math>\exists M \in \overline{AB} : \overline{MA} \cong \overline{MB}</math> | + | | <math>\exists ! M \in \overline{AB} : \overline{MA} \cong \overline{MB}</math> |
− | | Def.III.1 (Mittelpunkt) | + | | Satz III.1(Existenz und Eindeutigkeit des Mittelpunkts), Def.III.1 (Mittelpunkt) |
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Version vom 18. Januar 2011, 17:53 Uhr
Beweisen Sie Satz VII.6 a:
- Wenn ein Punkt zu den Endpunkten der Strecke jeweils ein und denselben Abstand hat, so ist er ein Punkt der Mittelsenkrechten von .
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Voraussetzung:Es sei eine Strecke und ein Punkt P mit
Behauptung: , m ist Mittelsenkrechte von
Fall 1: koll(A,B,P)
Fall 2: nkoll(A,B,P)
Nr. | Beweisschritt | Begründung |
---|---|---|
(I) | P ist Mittelpunkt von | Vor.(),Def.III.1 (Mittelpunkt) |
(II) | I, Def VI.1(Mittelsenkrechte) |
Nr. | Beweisschritt | Begründung |
---|---|---|
(I) | ist gleichschenklig | Vor.(), Def.VII.4 (gleichschenkliges Dreieck) |
(II) | I, Satz VII.5 (Basiswinkelsatz) | |
(III) | Satz III.1(Existenz und Eindeutigkeit des Mittelpunkts), Def.III.1 (Mittelpunkt) | |
(IV) | II, III, Vor.(), Axiom V (SWS) | |
(V) | IV, Def.VII.3 (Dreieckskongruenz) | |
(VI) | sind Nebenwinkel | IV, Def.V.4 (Nebenwinkel) |
(VII) | V, VI, Def V.6 (rechter Winkel) | |
(VIII) | VII, Def.V.9 (noch mehr Senkrecht) | |
(IX) | III, VIII, Def.VI.1 (Mittelsenkrechte) | |
(X) | IX |
qed.
--Studentxyz 17:58, 17. Jan. 2011 (UTC)
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