Version vom 21. Januar 2011, 10:08 Uhr

Inhaltsverzeichnis

1 Definitionen (1)
- 1.1 Definition: (n-stellige Relation)
- 1.2 Definition: (Klasseneinteilung eine Menge)
2 Definitionen (2)

Definitionen (1)

Definition: (n-stellige Relation)

Es seien $M_1,\ M_2,\ M_3,\ ...,\ M_n\ n$ Mengen, wobei keine dieser Mengen die leere Menge ist. Jede Teilmenge aus $M_1 \times M_2 \times M_3 ...\times M_n$ ist eine $\ n-$ stellige Relation.

Definition: (Klasseneinteilung eine Menge)

Es sei $M$ eine Menge und $K=\{ T_1, T_2, T_3, ..., T_n, ...\}$ eine Menge von Teilmengen von $M$ .

$K$ ist eine Klasseneinteilung von $M$ , wenn

notwendige Bedingung 1: Keine der Teilmengen ist die leere Menge.
notwendige Bedingung 2: Je zwei Teilmengen sind disjunkt.
notwendige Bedingung 3: Die Vereinigung aller Teilmengen ergibt wieder die Menge $M$ .

Mengen sind disjukt, wenn die Schnittmenge dieser Mengen die leere Menge ist, bzw. die Mengen keine gemeinsamen Objekte besitzen.

Definitionen (2)

Definitionen I

Definition I/2 (kollinear)

Eine Menge von Punkten heißt kollinear, wenn es eine Gerade gibt, die alle Punkte der Menge enthält.

Schreibweise kolinear: koll(A, B, C, ...)

Schreibweise nicht kollinear: nkoll(A, B, C)

Definition I/3 (Inzidenz Punkt Ebene)

Ein Punkt P inzidiert mit einer Ebene E, wenn P ein Element der Ebene E ist.

Definition (Parallelität von Geraden)

Zwei Geraden sind parallel, wenn sie in derselben Ebene liegen und entweder keinen oder alle Punkte gemeinsam haben.

Definition I/4 (Inzidenz Gerade Ebene)

Eine Gerade g gehört zu einer Ebene E, wenn jeder Punkt von g zu E gehört.

Definition I/5 (Raum)

Die Menge aller Punkte P wird Raum genannt.

Definition I/6 (komplanar)

Eine Menge von Punkten heißt komplanar, wenn es eine Ebene gibt, die alle Punkte der Menge enthält.

Schreibweise: komp(A, B, C, D, ...)

analoge Schreibweise: nkomp(A, B, C, D, ...) für nicht komplanar

Definition I/7 (komplanar für Geraden)==

Zwei Geraden g und h sind komplanar, wenn es eine Ebene gibt, in der beide Geraden vollständig liegen.

Schreibweise: komp(g, h)

Definition I/8 (Geradenparallelität)

Zwei Geraden g und h sind parallel, wenn sie identisch oder komplanar und schnittpunktfrei sind.

In Zeichen: g || h.

Definition I/9 (windschief)

Zwei Geraden g und h sind windschief, wenn sie schnittpunktfrei und nicht parallel sind.

Definition I/10 (parallel für Ebenen)

Zwei Ebene E1 und E2 sind parallel, wenn sie keinen Punkt gemeinsam haben.

Definitionen II

Definition II.1 (Abstand)

Der Abstand zweier Punkte $\ A$ und $\ B$ ist die Zahl, die nach dem Abstandsaxiom den Punkten $\ A$ und $\ B$ zugeordnet werden kann.

Schreibweise: $d = \left| AB \right|$ .

Definition II.2 (Zwischenrelation)

Schreibweise: $\operatorname{Zw} \left( A, B, C \right)$

Definition II.3 (Strecke, Endpunkte einer Strecke)

Es seien $\ A$ und $\ B$ zwei verschiedene Punkte. Die Punktmenge, die $\ A$ und $\ B$ sowie alle Punkte, die zwischen $\ A$ und $\ B$ liegen, enthält, heißt Strecke $\overline{AB}$ .

Definition II.4 (Länge einer Strecke)

Es seien $\ A$ und $\ B$ zwei verschiedene Punkte. Der Abstand $\vert AB \vert$ heißt Länge der Strecke $\overline{AB}$ .

Definition II.5 (Halbgerade, bzw. Strahl)

Halbgerade $AB^+$

$AB^+ := \{ P \mid \operatorname{Zw}(A,P,B) \lor \operatorname{Zw}(A,B,P) \} \cup \{ A,B \}$

Halbgerade $AB^-$

$AB^-:=\left \{ P|Zw(P,A,B)\right \}\cup \left \{A \right \}$

Definitionen III

Definition III.1 (Mittelpunkt einer Strecke)

Wenn ein Punkt $\ M$ der Strecke $\overline{AB}$ zu den Endpunkten $\ A$ und $\ B$ jeweils den selben Abstand hat, dann ist er der Mittelpunkt der Strecke $\overline{AB}$ .

Definitionen IV

Definition IV.1 (offene Halbebene)

Es sei $\ \Epsilon$ eine Ebene in der die Gerade $\ g$ liegen möge. Ferner sei $\ Q$ ein Punkt der Ebene $\ \Epsilon$ , der nicht zur Geraden $\ g$ gehört.
Unter den offenen Halbebenen $\ gQ^{+}$ und $\ gQ^{-}$ bezüglich der Trägergeraden $\ g$ versteht man die folgenden Teilmengen der Ebene $\ \Epsilon$ ohne die Gerade $\ g$ :

$\ gQ^{+}:= \{P| \neg\exists S \in \{S\}=g\cap\overline {PQ} \}$ oder $\ gQ^{+}:= \{P| \overline {PQ} \cap g= \{ \} \and P \in E/g \}$

$\ gQ^{-}:= \{P| \exists S \in \{S\}=g\cap\overline {PQ} \} \setminus \{ g\}$ oder $\ gQ^{-}:= \{P| \overline {PQ} \cap g \not= \{ \} \and P \in E/g \}$ oder $\ gQ^{-}:= \{P| P \in E/g \and P \not \in gQ^{+} \}$

Definition IV.2 (Halbebene)

Es sei $\ g$ eine Gerade der Ebene $\ \Epsilon$ . $\ gQ^+$ und $\ gQ^-$ seien die beiden offenen Halbebenen von $\ \Epsilon$ bezüglich $\ g$ . Unter den (geschlossenen) Halbebenen von $\ \Epsilon$ bezüglich $\ g$ versteht die beiden Punktmengen, die durch die Vereinigung jeder dieser beiden offenen Halbebene von $\ \Epsilon$ bezüglich der Geraden $\ g$ mit jeweils dieser Geraden $\ g$ entstehen.

$\ gQ^{+}:= \{P| \neg\exists S\,\{S\}=g\cap\overline {PQ} \} \cup \{g\}$

$\ gQ^{-}:= \{P| \exists S\,\{S\}=g\cap\overline {PQ} \}$

Definition IV.3: (konvexe Punktmenge)

Eine Menge $\ M$ von Punkten heißt konvex, wenn mit je zwei Punkten $\ A$ und $\ B$ dieser Menge die gesamte Strecke $\overline{AB}$ zu $\ M$ gehört.

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-== '''Definitionen''' ==
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-=====Definition: (n-stellige Relation)=====
+= Definitionen (1) =
-:Es seien <math> M_1,\ M_2,\ M_3,\ ...,\ M_n\ n</math> Mengen, wobei keine dieser Mengen die leere Menge ist. Jede Teilmenge aus  <math> M_1 \times M_2 \times M_3 ...\times  M_n </math> ist eine <math>\ n-</math>stellige Relation.
-=====Definition: (Klasseneinteilung eine Menge)=====
+===Definition: (n-stellige Relation)===
-:Es sei <math>M</math> eine Menge und <math>K=\{ T_1, T_2, T_3, ..., T_n, ...\} </math> eine Menge von Teilmengen von <math>M</math>.
+Es seien <math> M_1,\ M_2,\ M_3,\ ...,\ M_n\ n</math> Mengen, wobei keine dieser Mengen die leere Menge ist. Jede Teilmenge aus  <math> M_1 \times M_2 \times M_3 ...\times  M_n </math> ist eine <math>\ n-</math>stellige Relation.
-:<math>K</math> ist eine Klasseneinteilung von <math>M</math>, wenn
+===Definition: (Klasseneinteilung eine Menge)===
+Es sei <math>M</math> eine Menge und <math>K=\{ T_1, T_2, T_3, ..., T_n, ...\} </math> eine Menge von Teilmengen von <math>M</math>.
+<math>K</math> ist eine Klasseneinteilung von <math>M</math>, wenn
 :# notwendige Bedingung 1: Keine der Teilmengen ist die leere Menge.
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 :# notwendige Bedingung 3: Die Vereinigung aller Teilmengen ergibt wieder die Menge <math>M</math>.
-:Mengen sind disjukt, wenn die Schnittmenge dieser Mengen die leere Menge ist, bzw. die Mengen keine gemeinsamen Objekte besitzen.
+Mengen sind disjukt, wenn die Schnittmenge dieser Mengen die leere Menge ist, bzw. die Mengen keine gemeinsamen Objekte besitzen.
+= Definitionen (2) =
+== Definitionen I ==
+===Definition I/2 (kollinear)===
+Eine Menge von Punkten heißt kollinear, wenn es eine Gerade gibt, die alle Punkte der Menge enthält.
+Schreibweise kolinear: koll(A, B, C, ...)
+Schreibweise nicht kollinear: nkoll(A, B, C)
+===Definition I/3 (Inzidenz Punkt Ebene)===
+Ein Punkt P inzidiert mit einer Ebene E, wenn P ein Element der Ebene E ist.
+===Definition (Parallelität von Geraden)===
+Zwei Geraden sind parallel, wenn sie in derselben Ebene liegen und entweder keinen oder alle Punkte gemeinsam haben.
+===Definition I/4 (Inzidenz Gerade Ebene)===
+Eine Gerade g gehört zu einer Ebene E, wenn jeder Punkt von g zu E gehört.
+===Definition I/5 (Raum)===
+Die Menge aller Punkte P wird Raum genannt.
+===Definition I/6 (komplanar)===
+Eine Menge von Punkten heißt komplanar, wenn es eine Ebene gibt, die alle Punkte der Menge enthält.
+Schreibweise: komp(A, B, C, D, ...)
+analoge Schreibweise: nkomp(A, B, C, D, ...) für nicht komplanar
+===Definition I/7 (komplanar für Geraden)=====
+Zwei Geraden g und h sind komplanar, wenn es eine Ebene gibt, in der beide Geraden vollständig liegen.
+Schreibweise: komp(g, h)
+===Definition I/8 (Geradenparallelität)===
+Zwei Geraden g und h sind parallel, wenn sie identisch oder komplanar und schnittpunktfrei sind.
+In Zeichen: g || h.
+===Definition I/9 (windschief)===
+Zwei Geraden g und h sind windschief, wenn sie schnittpunktfrei und nicht parallel sind.
-=====Definition I/2: (kollinear)=====
+===Definition I/10 (parallel für Ebenen)===
-:Eine Menge von Punkten heißt kollinear, wenn es eine Gerade gibt, die alle Punkte der Menge enthält.
+Zwei Ebene E1 und E2 sind parallel, wenn sie keinen Punkt gemeinsam haben.
-:Schreibweise kolinear: koll(A, B, C, ...)
-:Schreibweise nicht kollinear: nkoll(A, B, C)
-=====Definition I/3: (Inzidenz Punkt Ebene)=====
-:Ein Punkt P inzidiert mit einer Ebene E, wenn P ein Element der Ebene E ist.
-=====Definition: (Parallelität von Geraden)=====
-:Zwei Geraden sind paralle, wenn sie in derselben Ebene liegen und entweder keinen oder alle Punkte gemeinsam haben.
-=====Definition I/4: (Inzidenz Gerade Ebene)=====
+== Definitionen II ==
-:Eine Gerade g gehört zu einer Ebene E, wenn jeder Punkt von g zu E gehört.
-=====Definition I/5: (Raum)=====
+=== Definition II.1 (Abstand) ===
-:Die Menge aller Punkte P wird Raum genannt.
+Der Abstand zweier Punkte <math>\ A</math> und <math>\ B</math> ist die Zahl, die nach dem Abstandsaxiom den Punkten <math>\ A</math> und <math>\ B</math> zugeordnet werden kann.
-=====Definition I/6: (komplanar)=====
+Schreibweise: <math>d = \left| AB \right|</math>.
-:Eine Menge von Punkten heißt komplanar, wenn es eine Ebene gibt, die alle Punkte der Menge enthält. Schreibweise: komp(A, B, C, D, ...) (analog nkomp(..) für nicht komplanar)
-=====Definition I/7: (komplanar für Geraden)=====
+=== Definition II.2 (Zwischenrelation) ===
-:Zwei Geraden g und h sind komplanar, wenn es eine Ebene gibt, in der beide Geraden vollständig liegen.
+Ein Punkt <math>\ B</math> liegt zwischen zwei Punkten <math>\ A</math> und <math>\ C</math>, wenn <math> \left| AB \right| + \left| BC \right| = \left| AC \right| </math> gilt und der Punkt <math>\ B</math> sowohl von <math>\ A</math> als auch von <math>\ C</math> verschieden ist.
-:Schreibweise: komp(g, h)
-=====Definition I/8: (Geradenparallelität)=====
+Schreibweise: <math> \operatorname{Zw} \left( A, B, C \right) </math>
-:Zwei Geraden g und h sind parallel, wenn sie identisch oder komplanar und schnittpunktfrei sind.
-:In Zeichen: g||h.
-=====Definition I/9: (windschief )=====
+=== Definition II.3 (Strecke, Endpunkte einer Strecke) ===
-:Zwei Geraden g und h sind windschief, wenn sie schnittpunktfrei und nicht parallel sind.
+Es seien <math>\ A</math> und <math>\ B</math> zwei verschiedene Punkte. Die Punktmenge, die <math>\ A</math> und <math>\ B</math> sowie alle Punkte, die zwischen <math>\ A</math> und <math>\ B</math> liegen, enthält,  heißt Strecke <math>\overline{AB}</math>.
-=====Definition I/10: (parallel für Ebenen)=====
+=== Definition II.4 (Länge einer Strecke) ===
-:Zwei Ebene E1 und E2 sind parallel, wenn sie keinen Punkt gemeinsam haben.
+Es seien <math>\ A</math> und <math>\ B</math> zwei verschiedene Punkte. Der Abstand <math>\vert AB \vert</math> heißt Länge der Strecke <math>\overline{AB}</math>.
+=== Definition II.5 (Halbgerade, bzw. Strahl) ===
+<u>Halbgerade <math>AB^+</math></u>
-===== Definition II.1: (Abstand) =====
+<math>AB^+ := \{ P \mid \operatorname{Zw}(A,P,B) \lor \operatorname{Zw}(A,B,P) \} \cup \{ A,B \}</math>
-:Der Abstand zweier Punkte <math>\ A</math> und <math>\ B</math> ist die Zahl, die nach dem Abstandsaxiom den Punkten <math>\ A</math> und <math>\ B</math> zugeordnet werden kann. <br />Schreibweise: <math>d = \left| AB \right|</math>.
-===== Definition II.2: (Zwischenrelation) =====
+<u>Halbgerade <math>AB^-</math></u>
-:Ein Punkt <math>\ B</math> liegt zwischen zwei Punkten <math>\ A</math> und <math>\ C</math>, wenn <math> \left| AB \right| + \left| BC \right| = \left| AC \right| </math> gilt und der Punkt <math>\ B</math> sowohl von <math>\ A</math> als auch von <math>\ C</math> verschieden ist.
-:Schreibweise: <math> \operatorname{Zw} \left( A, B, C \right) </math>
-===== Definition II.3: (Strecke, Endpunkte einer Strecke) =====
+<math>AB^-:=\left \{ P|Zw(P,A,B)\right \}\cup \left \{A \right \}</math>
-:Es seien <math>\ A</math> und <math>\ B</math> zwei verschiedene Punkte. Die Punktmenge, die <math>\ A</math> und <math>\ B</math> sowie alle Punkte, die zwischen <math>\ A</math> und <math>\ B</math> liegen, enthält,  heißt Strecke <math>\overline{AB}</math>.
-===== Definition II.4: (Länge einer Strecke) =====
-:Es seien <math>\ A</math> und <math>\ B</math> zwei verschiedene Punkte. Der Abstand <math>\vert AB \vert</math> heißt Länge der Strecke <math>\overline{AB}</math>.
-===== Definition II.5: (Halbgerade, bzw. Strahl) =====
-:<u>Definition: Halbgerade <math>AB^+</math></u>
-::<math>AB^+ := \{ P \mid \operatorname{Zw}(A,P,B) \lor \operatorname{Zw}(A,B,P) \} \cup \{ A,B \}</math>
+== Definitionen III ==
-:<u>Definition: Halbgerade <math>AB^-</math></u>
+=== Definition III.1 (Mittelpunkt einer Strecke) ===
-::<math>AB^-:=\left \{ P|Zw(P,A,B)\right \}\cup \left \{A \right \}</math>
+Wenn ein Punkt <math>\ M</math> der Strecke <math>\overline{AB}</math> zu den Endpunkten <math>\ A</math> und <math>\ B</math> jeweils den selben Abstand hat, dann ist er der Mittelpunkt der Strecke <math>\overline{AB}</math>.
-===== Definition III.1: (Mittelpunkt einer Strecke) =====
-:Wenn ein Punkt <math>\ M</math> der Strecke <math>\overline{AB}</math> zu den Endpunkten <math>\ A</math> und <math>\ B</math> jeweils den selben Abstand hat, dann ist er der Mittelpunkt der Strecke <math>\overline{AB}</math>.
+== Definitionen IV ==
-===== Definition IV.1: (offene Halbebene)=====
+=== Definition IV.1 (offene Halbebene)===
-:Es sei <math>\ \Epsilon</math> eine Ebene in der die Gerade <math>\ g</math> liegen möge. Ferner sei <math>\ Q</math> ein Punkt der Ebene <math>\ \Epsilon</math>, der nicht zur Geraden <math>\ g</math>  gehört.<br /> Unter den offenen Halbebenen <math>\ gQ^{+}</math> und <math>\ gQ^{-}</math> bezüglich der Trägergeraden <math>\ g</math> versteht man die folgenden Teilmengen der Ebene <math>\ \Epsilon</math> ohne die Gerade <math>\ g</math> :
+Es sei <math>\ \Epsilon</math> eine Ebene in der die Gerade <math>\ g</math> liegen möge. Ferner sei <math>\ Q</math> ein Punkt der Ebene <math>\ \Epsilon</math>, der nicht zur Geraden <math>\ g</math>  gehört.<br /> Unter den offenen Halbebenen <math>\ gQ^{+}</math> und <math>\ gQ^{-}</math> bezüglich der Trägergeraden <math>\ g</math> versteht man die folgenden Teilmengen der Ebene <math>\ \Epsilon</math> ohne die Gerade <math>\ g</math> :
-::<math>\ gQ^{+}:= \{P| \neg\exists S \in \{S\}=g\cap\overline {PQ} \}</math> oder <math>\ gQ^{+}:= \{P| \overline {PQ} \cap g= \{ \} \and P \in E/g \}</math>
+:<math>\ gQ^{+}:= \{P| \neg\exists S \in \{S\}=g\cap\overline {PQ} \}</math> oder <math>\ gQ^{+}:= \{P| \overline {PQ} \cap g= \{ \} \and P \in E/g \}</math>
-::<math>\ gQ^{-}:= \{P| \exists S \in \{S\}=g\cap\overline {PQ} \} \setminus \{ g\}</math> oder <math>\ gQ^{-}:= \{P| \overline {PQ} \cap g \not= \{ \} \and P \in E/g \}</math> oder <math>\ gQ^{-}:= \{P| P \in E/g \and P \not \in gQ^{+} \} </math>
+:<math>\ gQ^{-}:= \{P| \exists S \in \{S\}=g\cap\overline {PQ} \} \setminus \{ g\}</math> oder <math>\ gQ^{-}:= \{P| \overline {PQ} \cap g \not= \{ \} \and P \in E/g \}</math> oder <math>\ gQ^{-}:= \{P| P \in E/g \and P \not \in gQ^{+} \} </math>
-===== Definition IV.2: (Halbebene) =====
+=== Definition IV.2 (Halbebene) ===
-:Es sei <math>\ g</math> eine Gerade der Ebene <math>\ \Epsilon</math>. <math>\ gQ^+</math> und <math>\ gQ^-</math> seien die beiden offenen Halbebenen von <math>\ \Epsilon</math> bezüglich  <math>\ g</math>. Unter den (geschlossenen) Halbebenen von  <math>\ \Epsilon</math> bezüglich <math>\ g</math> versteht die beiden Punktmengen, die durch die Vereinigung jeder dieser beiden offenen Halbebene von <math>\ \Epsilon</math> bezüglich der Geraden <math>\ g</math> mit jeweils dieser Geraden <math>\ g</math> entstehen.
+Es sei <math>\ g</math> eine Gerade der Ebene <math>\ \Epsilon</math>. <math>\ gQ^+</math> und <math>\ gQ^-</math> seien die beiden offenen Halbebenen von <math>\ \Epsilon</math> bezüglich  <math>\ g</math>. Unter den (geschlossenen) Halbebenen von  <math>\ \Epsilon</math> bezüglich <math>\ g</math> versteht die beiden Punktmengen, die durch die Vereinigung jeder dieser beiden offenen Halbebene von <math>\ \Epsilon</math> bezüglich der Geraden <math>\ g</math> mit jeweils dieser Geraden <math>\ g</math> entstehen.
-::<math>\ gQ^{+}:= \{P| \neg\exists S\,\{S\}=g\cap\overline {PQ} \} \cup  \{g\}</math>
+:<math>\ gQ^{+}:= \{P| \neg\exists S\,\{S\}=g\cap\overline {PQ} \} \cup  \{g\}</math>
-::<math>\ gQ^{-}:= \{P| \exists S\,\{S\}=g\cap\overline {PQ} \}</math>
+:<math>\ gQ^{-}:= \{P| \exists S\,\{S\}=g\cap\overline {PQ} \}</math>
-=====Definition IV.3: (konvexe Punktmenge)=====
+===Definition IV.3: (konvexe Punktmenge)===
-:Eine Menge <math>\ M</math> von Punkten heißt konvex, wenn mit je zwei Punkten <math>\ A</math> und <math>\ B</math> dieser Menge die gesamte Strecke <math>\overline{AB}</math> zu <math>\ M</math> gehört.
+Eine Menge <math>\ M</math> von Punkten heißt konvex, wenn mit je zwei Punkten <math>\ A</math> und <math>\ B</math> dieser Menge die gesamte Strecke <math>\overline{AB}</math> zu <math>\ M</math> gehört.

Definitionen WS10/11: Unterschied zwischen den Versionen