Lösung von Aufg. 7.1: Unterschied zwischen den Versionen

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Es sei <math>\ g</math> eine Gerade und <math>\ P</math> ein Punkt, der nicht zu <math>\ g</math> gehört. Beweisen Sie mittels der Axiome der Inzidenz: Es gibt genau eine Ebene <math>\ \Epsilon</math>, die sowohl alle Punkte von <math>\ g</math> als auch den Punkt <math>\ P</math> enthält.<br />
 
Es sei <math>\ g</math> eine Gerade und <math>\ P</math> ein Punkt, der nicht zu <math>\ g</math> gehört. Beweisen Sie mittels der Axiome der Inzidenz: Es gibt genau eine Ebene <math>\ \Epsilon</math>, die sowohl alle Punkte von <math>\ g</math> als auch den Punkt <math>\ P</math> enthält.<br />
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Vor: g, P ist nicht Element g<br />
 
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Beh: Es existiert genau eine Ebene, g<math>\subset</math>E, <math>P \in E</math><br />
 
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1) <math>A,B \in g</math>  Axiom I/1<br />
 
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2) nkoll(A,P,B)            laut Vor und 1)
 
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3) zu drei nkoll(A,P,B)    Axiom I/4 und 2)
 
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gibt es genau eine Ebene E
 
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4) g<math>\supset E </math>
 
  
  
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<u>Vor</u>: g, P ist nicht Element g<br />
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<u>Beh</u>: Es existiert genau eine Ebene E, g<math>\subset E</math>, <math>P \in E</math><br />
  
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1) <math>A,B \in g</math>_____Axiom I/1<br />
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2) nkoll(A,P,B)_______________laut Vor und 1)<br />
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3) zu drei nkoll(A,P,B)________Axiom I/4 und 2)<br />
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gibt es genau eine Ebene E<br />
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4)<math>g\supset E </math>_________Axiom I/5<br />
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5) Behauptung stimmt
  
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Die Eindeutigkeit das genau eine Ebene E existiert, lässt sich auf das Axiom I/4 zurückführen
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--[[Benutzer:Engel82|Engel82]] 17:11, 23. Nov. 2010 (UTC)<br />
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Die Lösung von Engel82 ist korrekt, prima!--[[Benutzer:Schnirch|Schnirch]] 13:40, 9. Dez. 2010 (UTC)
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In Punkt 4) müsste es <math> g \subset E </math> heißen. --[[Benutzer:Studentxyz|Studentxyz]] 12:38, 16. Jan. 2011 (UTC)
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Lösungsvorschlag 2
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vielen Dank für dieses gescannte Bild. Schritt 2 können Sie weglassen und den ersten Teil in Schritt 4 auch,<br />ansonsten ist alles korrekt!--[[Benutzer:Schnirch|Schnirch]] 13:40, 9. Dez. 2010 (UTC)
  
  
 
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Lösungsvorschlag 3:
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'''Voraussetzung:'''Es sei eine Gerade g und ein Punkt P, <math>P \notin g </math><br /><math>\varepsilon </math> sei die Menge aller Ebenen. <br />
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<br />'''Behauptung:''' <math>\exists ! E \in \varepsilon := g \subset E \and P \in E</math>
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| II, Axiom I.4
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| I, III, Axiom I.5
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| <math>\exists ! E \in \varepsilon := g \subset E \and P \in E</math> 
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| III, IV
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|}
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'''qed.'''
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Stimmt das mit dem := in III und V oder müsste man nur : schreiben, wie im vorigen Lösungsvorschlag?
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</p>--[[Benutzer:Studentxyz|Studentxyz]] 13:25, 16. Jan. 2011 (UTC)
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nur :

Aktuelle Version vom 9. Februar 2011, 17:11 Uhr

Es sei \ g eine Gerade und \ P ein Punkt, der nicht zu \ g gehört. Beweisen Sie mittels der Axiome der Inzidenz: Es gibt genau eine Ebene \ \Epsilon, die sowohl alle Punkte von \ g als auch den Punkt \ P enthält.


Vor: g, P ist nicht Element g
Beh: Es existiert genau eine Ebene E, g\subset E, P \in E

1) A,B \in g_____Axiom I/1
2) nkoll(A,P,B)_______________laut Vor und 1)
3) zu drei nkoll(A,P,B)________Axiom I/4 und 2)
gibt es genau eine Ebene E
4)g\supset E _________Axiom I/5
5) Behauptung stimmt

Die Eindeutigkeit das genau eine Ebene E existiert, lässt sich auf das Axiom I/4 zurückführen --Engel82 17:11, 23. Nov. 2010 (UTC)

Die Lösung von Engel82 ist korrekt, prima!--Schnirch 13:40, 9. Dez. 2010 (UTC)

In Punkt 4) müsste es g \subset E heißen. --Studentxyz 12:38, 16. Jan. 2011 (UTC)

Lösungsvorschlag 2

Scannen0006.jpg 

vielen Dank für dieses gescannte Bild. Schritt 2 können Sie weglassen und den ersten Teil in Schritt 4 auch,
ansonsten ist alles korrekt!--Schnirch 13:40, 9. Dez. 2010 (UTC)

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Lösungsvorschlag 3:

Voraussetzung:Es sei eine Gerade g und ein Punkt P, P \notin g
\varepsilon sei die Menge aller Ebenen.

Behauptung: \exists ! E \in \varepsilon := g \subset E \and P \in E

Beweis
Nr. Beweisschritt Begründung
(I) \exists A,B \in g , A \not= B Axiom I.2
(II) nkoll(A,B,P) I, Vor. (P \notin g ), Def I.2 (kollinear)
(III) \exists ! E \in \varepsilon := A,B,P \in E II, Axiom I.4
(IV) g \subset E I, III, Axiom I.5
(V) \exists ! E \in \varepsilon := g \subset E \and P \in E III, IV

qed.

Stimmt das mit dem := in III und V oder müsste man nur : schreiben, wie im vorigen Lösungsvorschlag?

--Studentxyz 13:25, 16. Jan. 2011 (UTC)

nur :

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