Lösung von Aufg. 9.1 (SoSe 11): Unterschied zwischen den Versionen

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Sei <math>\overline{AB}</math> eine Strecke, betrachte <math>\ AB^{+}</math> <math> \Rightarrow</math> (n. Abstandsaxiom) es existiert GENAU ein B* mit <math>\left| AB^* \right|  = \pi * \left| AB \right|</math> und B* <math>\in  \ AB^{+}</math> <br \>
 
Sei <math>\overline{AB}</math> eine Strecke, betrachte <math>\ AB^{+}</math> <math> \Rightarrow</math> (n. Abstandsaxiom) es existiert GENAU ein B* mit <math>\left| AB^* \right|  = \pi * \left| AB \right|</math> und B* <math>\in  \ AB^{+}</math> <br \>
 
da <math>\operatorname{koll}(A, B, B^*)</math> gilt, gilt genau eine der folgenden Gleichungen: <br \>
 
da <math>\operatorname{koll}(A, B, B^*)</math> gilt, gilt genau eine der folgenden Gleichungen: <br \>
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(i)  <math>\operatorname(Zw) (A, B, B^*)</math> ><math>\Leftrightarrow \left| AB \right| +\left| BB^* \right|=\left| AB^* \right|</math> <br \>
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(i)  <math>\operatorname(Zw) (A, B, B^*)</math> <math>\Leftrightarrow \left| AB \right| +\left| BB^* \right|=\left| AB^* \right|</math> <br \>
 
(ii)  <math>\operatorname(Zw) (A, B^*, B)</math> <math>\Leftrightarrow \left| AB^* \right| +\left| B^*B \right|=\left| AB \right|</math>  <math>\Rightarrow \pi *\left| AB \right| < \left| AB \right|</math> , da <math>\left| BB^* \right| > 0</math> Widerspruch!<br\>
 
(ii)  <math>\operatorname(Zw) (A, B^*, B)</math> <math>\Leftrightarrow \left| AB^* \right| +\left| B^*B \right|=\left| AB \right|</math>  <math>\Rightarrow \pi *\left| AB \right| < \left| AB \right|</math> , da <math>\left| BB^* \right| > 0</math> Widerspruch!<br\>
 
(iii) <math>\operatorname(Zw) (B^*, A, B)</math> <math>\Leftrightarrow \left| BA \right| +\left| AB^* \right|=\left| BB^* \right|</math>  Ist zu verwerfen da nach Definition von <math>\ AB^{+}</math>  nicht möglich  <br\>
 
(iii) <math>\operatorname(Zw) (B^*, A, B)</math> <math>\Leftrightarrow \left| BA \right| +\left| AB^* \right|=\left| BB^* \right|</math>  Ist zu verwerfen da nach Definition von <math>\ AB^{+}</math>  nicht möglich  <br\>

Aktuelle Version vom 19. Juni 2011, 14:32 Uhr

Beweisen Sie: Zu jeder Strecke \overline{AB} existiert genau eine Strecke \overline{AB^{*}} mit \left| AB^{*} \right| = \pi \left| AB \right| und \overline{AB} \subset \overline{AB^{*}}.


Kann mir jemand helfen? Ich weiß nicht, was Voraussetzung und was Behauptung ist in diesem Beweis. Kann es sein, dass die Behauptung aus zwei Teilen besteht 1) \left| AB^{*} \right| = \pi \left| AB \right| und 2) \overline{AB} \subset \overline{AB^{*}} ?

Verwendet man hier das Abstandsaxiom und ist dabei der Abstand d = \pi \left| AB \right| ?

Vielen Dank schonmal :) --Bubble 17:36, 7. Jun. 2011 (CEST) - Ja, das Abstandsaxiom verwendet mal auf jeden Fall!--Tutorin Anne 11:03, 11. Jun. 2011 (CEST)

Ich würde sagen die Vor: \overline{AB} Und du hast recht, es sind zwei Behauptungen. Aber ich habe sie in einem Beweis bewiesen, da man von der ersten Beh auf die zweite Beh kommt. Aber sicher bin ich mir auch nicht.--Vollyschwamm 19:01, 7. Jun. 2011 (CEST)

So jetzt nochmal, bevor wieder alles abstürzt :-)

Hier mein Beweisvorschlag, jedoch aus Gründen der schnelleren Schreibweise im Excel erstellt. Problem hierbei ist jedoch, dass Strecken nicht überstrichen werden können. Sie tauchen hier nun (wie in der Schule) in eckigen Klammern auf.


Beweis 9 1.jpg



--Flo60 23:50, 7. Jun. 2011 (CEST)

Es ist gut, den Beweis in einen Existenz und Eindeutigkeit zu spalten. Richtig ist auch, dass bei der Existenz beide Behauptungen gelten müssen. Bei Schritt d) meinst du Flo60 vermutlich nicht kleiner 1 sondern größer 1, oder? Pi ist größer 1! Hier reicht ein oder zwei zusätzliche Schritte, um zu begründen, dass dann die Zwischenrelation gilt. Welche sind das???
Zu Teil 2, Eindeutigkeit: Ich verstehe unter \pi , die Kreiszahl pi ( ca. 3,1...). Daher macht es keinen Sinn in Schritt II und III von zwei verschiedenen Pi auszugehen. Das ist ja ein Widerspurch in sich (Axiom vom Lineal). Du hast im Existenzbeweis ein B* so geschaffen, dass dieser auf dem Strahl AB+ liegt. Für die Annahme könnt ihr (also nicht nur Flo!) für B** zeigen, dass dieser nirgends anders liegen kann. Probiert's mal!--Tutorin Anne 11:03, 11. Jun. 2011 (CEST)

Lösung zu Aufgabe 9.1:

zz: Es existiert genau ein B* mit \overline{AB^*} = \overline{AB} * \pi \ \wedge \overline{AB} \subset\overline{AB^*}

Sei \overline{AB} eine Strecke, betrachte \ AB^{+} \Rightarrow (n. Abstandsaxiom) es existiert GENAU ein B* mit \left| AB^* \right| = \pi * \left| AB \right| und B* \in \ AB^{+}
da \operatorname{koll}(A, B, B^*) gilt, gilt genau eine der folgenden Gleichungen:
(i) \operatorname(Zw) (A, B, B^*) \Leftrightarrow \left| AB \right| +\left| BB^* \right|=\left| AB^* \right|
(ii) \operatorname(Zw) (A, B^*, B) \Leftrightarrow \left| AB^* \right| +\left| B^*B \right|=\left| AB \right| \Rightarrow \pi *\left| AB \right| < \left| AB \right| , da \left| BB^* \right| > 0 Widerspruch!
(iii) \operatorname(Zw) (B^*, A, B) \Leftrightarrow \left| BA \right| +\left| AB^* \right|=\left| BB^* \right| Ist zu verwerfen da nach Definition von \ AB^{+} nicht möglich
\Rightarrow (i) und nur (i) ist wahr
\Rightarrow nach Definition von Strecke und \operatorname(Zw) die Behauptung
--Peterpummel 15:31, 19. Jun. 2011 (CEST)

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