Diskussion:Lösung von Aufg. 15.1 (SoSe 11): Unterschied zwischen den Versionen
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| + | * Wir haben nirgends definiert, was es bedeutet, ein Kreis <math>k</math> und eine Gerade <math>t</math> berühren einander. | ||
| + | * Absolut korrekt wären die Definitionen also nur dann wenn der Begriff des Schneidens verwendet wird. Der ist über die Idee der Schnittmenge festgelegt: <math>g</math> schneidet <math>k</math> bedeutet, dass die Schnittmenge der Punktmengen <math>g</math> und <math>k</math> nicht leer ist. | ||
| + | * Korrekt wäre also: Wenn die Schnittmenge zwischen einem Kreis <math>k</math> und einer Geraden <math>g</math> genau einen Punkt <math>B</math> enthält, dann ist die Gerade <math>g</math> eine Tangente an den Kreis <math>k</math>. Der Punkt <math>B</math> ist der Berührungspunkt der Tangente <math>g</math> an den Kreis <math>k</math>. | ||
| + | * Wenn wir vorab definieren würden : Die Gerade <math>g</math> berührt den Kreis <math>k</math> in dem Punkt <math>B</math>, wenn <math>k</math> und <math>g</math> komplanar sind und genau den Punkt <math>B</math> gemeinsam haben, könnten wir den Begriff der Kreistangente wie folgt definieren:<br /><br /> | ||
| + | Wenn die Gerade <math>t</math> den Kreis <math>k</math> im Punkt <math>B</math> berührt, dann ist sie die Tangente an <math>k</math> im Punkt <math>B</math>. | ||
| + | * Berühren ist also Schneiden in genau einem Punkt. Dass müsste so explizit aber zunächst festgelegt werden. | ||
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Version vom 26. Juli 2011, 23:30 Uhr
--*m.g.* 00:13, 27. Jul. 2011 (CEST)
Ebene?
Bemerkung 2 von Teufelchen ist zutreffend, wenn wir räumliche Geometrie unterstellen. In allen Fällen müsste nun gefordert werden, dass der Kreis 
und die Tangente 
komplanar sind, d.h. in ein und derselben Ebene liegen. Ansonsten wäre eine Gerade die z.B. senkrecht auf der Ebene des Kreises steht und mit dem Kreis genau einen Punkt gemeinsam hat auch ein Tangente an den Kreis, was ja eigentlich nicht schlimm wäre, jedoch hätten wir dann unendlich viele Tangenten an einen Kreis mit dem Berührungspunkt 
. Man hat sich für die entsprechende Gerade entschieden, die mit dem Kreis in derselben Ebene liegt.
Setzt man ebene Geometrie voraus, kann die Tangente nur mit dem Kreis in derselben Ebene liegen. Aus diesem Grunde muss die Forderung nach Komplanarität von Kreis und Gerade nicht explizit erhoben werden.
Wenn in einer Aufgabe der Klausur nichts anderes gesagt wurde, gilt die räumliche Geometrie.
Berühren oder Schneiden?
- Wir haben nirgends definiert, was es bedeutet, ein Kreis und eine Gerade berühren einander.
- Absolut korrekt wären die Definitionen also nur dann wenn der Begriff des Schneidens verwendet wird. Der ist über die Idee der Schnittmenge festgelegt:
schneidet bedeutet, dass die Schnittmenge der Punktmengen und nicht leer ist.
- Korrekt wäre also: Wenn die Schnittmenge zwischen einem Kreis und einer Geraden genau einen Punkt enthält, dann ist die Gerade eine Tangente an den Kreis . Der Punkt ist der Berührungspunkt der Tangente an den Kreis .
- Wenn wir vorab definieren würden : Die Gerade berührt den Kreis in dem Punkt , wenn und komplanar sind und genau den Punkt gemeinsam haben, könnten wir den Begriff der Kreistangente wie folgt definieren:
Wenn die Gerade den Kreis im Punkt berührt, dann ist sie die Tangente an im Punkt .
- Berühren ist also Schneiden in genau einem Punkt. Dass müsste so explizit aber zunächst festgelegt werden.
