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Unter der Menge aller Punkte wollen wir die Menge aller Pixel eines LCD-Bildschirms <math>B</math> mit FullHD-Auflösung (1920 x 1080) verstehen. Jedes dieser Pixel <math>P </math>hat bezüglich eines bildschirmeigenen Koordinatensystems die Koordinaten <math>\left(x_p, y_p\right)</math>. Wir definieren auf den Pixeln unseres Bildschirms <math>B</math> die folgende Abbildung <math>\varphi</math>: <math>\forall P \in B: \varphi(P)=\left(\operatorname zufallsbereich(0;1920),\operatorname zufallsbereich(0;1080)\right)</math>. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass <math>\varphi</math> einen Fixpunkt hat? | Unter der Menge aller Punkte wollen wir die Menge aller Pixel eines LCD-Bildschirms <math>B</math> mit FullHD-Auflösung (1920 x 1080) verstehen. Jedes dieser Pixel <math>P </math>hat bezüglich eines bildschirmeigenen Koordinatensystems die Koordinaten <math>\left(x_p, y_p\right)</math>. Wir definieren auf den Pixeln unseres Bildschirms <math>B</math> die folgende Abbildung <math>\varphi</math>: <math>\forall P \in B: \varphi(P)=\left(\operatorname zufallsbereich(0;1920),\operatorname zufallsbereich(0;1080)\right)</math>. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass <math>\varphi</math> einen Fixpunkt hat? | ||
| − | + | Naja, nicht sehr groß :-). Ich habe mir zunächst einmal verdeutlicht, was es <math>\varphi</math> eigentlich bedeutet. Wir wählen einen beliebigen Punkt P aus unserer Menge B aus. Nun lottern wir ein wenig (wir bilden ab :-) ) und bei dieser Lotterie besitzt die x-Koordinate 1921 potenzielle Werte. Die y-Koordinate besitzt 1081 potenzielle Werte. Nun ist die Frage, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, dass nach der Lotterie für <math>\varphi (P)</math> genau die gleiche Position (Koordinate oder Tuppel) herauskommt wie die die P hat. | |
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| − | | | + | Wir können jetzt entweder sagen, alles klar: 1921 x 1081 = 2.076.601 Möglichkeiten und wir sind fertig. |
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| + | Oder wir kippen noch ein wenig Didaktik mit hinein und gehen peu à peu vor: Dass (x|0) herauskommt, dafür habe ich 1921 Möglichkeiten. Dass (x|1) herauskommt, dafür habe ich auch 1921 Möglichkeiten, also schon 2 x 1921 Möglichkeiten (bzw. 1921 x 2). Wir führen das fort und kommen schlussendlich auf: 1921 x 1081 = 2.076.601 | ||
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| + | --[[Benutzer:HecklF|Flo60]] 22:02, 16. Nov. 2011 (CET) | ||
==Aufgabe 3.4== | ==Aufgabe 3.4== | ||
Version vom 16. November 2011, 22:02 Uhr
Inhaltsverzeichnis |
Aufgabe 3.1
(alles in ein und derselben Ebene)
Es sei 
ein Kreis mit dem Mittelpunkt 
und dem Radius 
. Ferner sei 
eine Gerade, die durch den Mittelpunkt von k geht. Schließlich sei 
der gemeinsame Schnittpunkt der Senkrechten in auf mit . Wir definieren eine Abbildung 
von 
auf : 
. Ist fixpunktfrei?
Es scheint sich daraufhin herauszulaufen, dass die Schnittpunkte A und B aus 
Fixpunkte bzgl. sind. --Flo60 16:58, 13. Nov. 2011 (CET)
Aufgabe 3.2
Es sei 
. Wir definieren auf 
die folgende Abbildung : 
. Jedes Element des 
fassen wir als Punkt auf. Hat Fixpunkte? Wenn ja welche? (Geogebra hilft)
Also auch hier sieht es so aus, als hätten eine unendliche Anzahl von Fixpunkten oder anders ausgedrückt: sin(x) besitzt bzgl. 
identische Werte für alle 
.
Allerdings habe ich mich persönlich in meinem Leben bisher wenig mit Sinusfunktionen auseinandergesetzt (kurz auf der Realschule um am Dreieck herumzurechnen). Und einfach nur Funktionen im Geogebra eingeben ist auch nicht so der Renner, wenn man nicht weiß, woher sie kommen. Vielleicht kann mal jemand eine Applikation einstellen, die den ganzen Spaß verdeutlicht - dann braucht man nicht lange in der Literatur herumzusuchen.
Aufgabe 3.3
Unter der Menge aller Punkte wollen wir die Menge aller Pixel eines LCD-Bildschirms 
mit FullHD-Auflösung (1920 x 1080) verstehen. Jedes dieser Pixel 
hat bezüglich eines bildschirmeigenen Koordinatensystems die Koordinaten 
. Wir definieren auf den Pixeln unseres Bildschirms die folgende Abbildung : 
. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass einen Fixpunkt hat?
Naja, nicht sehr groß :-). Ich habe mir zunächst einmal verdeutlicht, was es eigentlich bedeutet. Wir wählen einen beliebigen Punkt P aus unserer Menge B aus. Nun lottern wir ein wenig (wir bilden ab :-) ) und bei dieser Lotterie besitzt die x-Koordinate 1921 potenzielle Werte. Die y-Koordinate besitzt 1081 potenzielle Werte. Nun ist die Frage, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, dass nach der Lotterie für 
genau die gleiche Position (Koordinate oder Tuppel) herauskommt wie die die P hat.
Wir können jetzt entweder sagen, alles klar: 1921 x 1081 = 2.076.601 Möglichkeiten und wir sind fertig.
Oder wir kippen noch ein wenig Didaktik mit hinein und gehen peu à peu vor: Dass (x|0) herauskommt, dafür habe ich 1921 Möglichkeiten. Dass (x|1) herauskommt, dafür habe ich auch 1921 Möglichkeiten, also schon 2 x 1921 Möglichkeiten (bzw. 1921 x 2). Wir führen das fort und kommen schlussendlich auf: 1921 x 1081 = 2.076.601
--Flo60 22:02, 16. Nov. 2011 (CET)
Aufgabe 3.4
Beweisen Sie: wenn eine Bewegung zwei verschiedene Fixpunkte 
und hat, dann hat ist die Gerade 
eine Fixpunktgerade bezüglich .
VSS: Es exisitert eine Bewegung mit den Fixpunkten und .
Beh.: ist Fixpunktgerade bezüglich .
oBdA: Es sei ein Punkt : 
! Nr.
! Beschreibung des Schrittes
! Begründung der Korrektheit des Schrittes
|-
| 1.
| 
| gilt, wegen der Relation zwischen.
|-
| 2.
| 
| Relation zwischen bleibt nach der Ausführung der Bewegung erhalten.
|-
| 3.
| 
--> P=P'
| folgt aus (1.) und (2.) und der Vss, dass A und B Fixpunkte sind.
|}
Deshalb wird auch Punkt P bei der Bewegung auf sich selbst abgebildet.
(Ich bin mir nicht sicher, ob ich alles bedacht habe, vielleicht kann noch jemand was dazu sagen/korrigieren. Warum bei der Tabelle über der Spaltenbeschriftung noch 1. und 2. steht ist mir auch schleierhaft.) Pipi Langsocke 12:05, 10. Nov. 2011 (CET)
Aufgabe 3.5
Beweisen Sie: Wenn drei nicht kollineare Punkte 
Fixpunkte der Bewegung sind, so ist die identische Abbildung.
