Verschiebungen (2011/12): Unterschied zwischen den Versionen

Version vom 7. Dezember 2011, 19:05 Uhr

Inhaltsverzeichnis

1 Definition: (Verschiebung als NAF zweier Geradenspiegelungen)
2 Eigenschaften von Verschiebungen

Definition: (Verschiebung als NAF zweier Geradenspiegelungen)

Die NAF zweier Geradenspiegelungen $S_b \circ S_a$ mit $a || b$ heißt Verschiebung.

Eigenschaften von Verschiebungen

Die identische Abbildung als Verschiebung

Satz: ( $\operatorname{id}$ als Verschiebung)

Es sei $V=S_b \circ S_a$ eine Verschiebung.

Wenn $a||b$ dann $V=\operatorname{id}$ .

Beweis ( $\operatorname{id}$ als Verschiebung)

Folgt unmittelbar daraus, dass jede Geradenspiegelung selbstinvers ist.

Bringen Sie die beiden Spiegelgeraden miteinander zur Deckung.

Parallelität

Satz: (Parallelität bei Geradenspiegelungen)

Es sei $V=S_b \circ S_a$ eine Verschiebung. Für jede Gerade $g$ und ihr Bild $g'$ bei $V$ gilt: $g||g'$ .

Beweis (Parallelität bei Geradenspiegelungen)

Es sei $V=S_ \circ S_a$ eine Verschiebung ( $a||b$ . Ferner sei $g$ eine beliebige Gerade.

zu zeigen: $S_b \left( S_a \left(g\right) \right)=g' || g$

Fall 1 $g \cap a = \{S_1\}$

Die Gerade $g$ möge also mit der Spiegelachse $a$ genau den Punkt $S_1$ gemeinsam haben. Mit $\alpha$ sei der Winkel zwischen den Geraden $a$ und $g$ bezeichnet.
Weil der Punkt $S_1$ zu $a$ gehört ist er bei $S_a$ ein Fixpunkt.
Weil $S_1$ der einzige Punkt ist, den $g$ mit $a$ gemeinsam hat, ist $S_1$ der einzige zu $g$ gehörige Fixpunkt bei $S_a$
Mit $g^*$ sei das Bild von $g$ bei der Spiegelung an $a$ bezeichnet.
Der Winkel zwischen $g^*$ und $a$ sei mit $\alpha^*$ bezeichnet.
Das Zwischenbild $g^*$ kann nicht parallel zu $b$ sein.
Dementsprechend hat $g^*$ mit $b$ genau einen Punkt gemeinsam. Wir bezeichnen ihn mit $S_2$ .
Der Winkel zwischen $g^*$ und $b$ sei mit $\beta$ bezeichnet.
Als Punkt der Geraden $b$ ist $S_2$ Fixpunkt bei $S_b$ .
Weil $S_2$ der einzige Punkt ist, den $g^*$ mit $b$ gemeinsam hat, ist $S_2$ der einzige zu $g^*$ gehörige Fixpunkt bei $S_b$ .
Das Bild von $g^*$ bei der Spiegelung an $b$ sei mit $g^{**}$ bezeichnet. Es ist identisch mit dem Bild $g'$ von $g$ bei der Verschiebung $S_b \circ S_a$ .
Der Winkel zwischen $g'$ und $b$ sei mit $\beta^*$ bezeichnet.

Aufgabe:

Begründen Sie 6.

Verschiebungsweite

Satz: (über die Verschiebungsweite)

Es sei $V=S_b \circ S_a$ eine Verschiebung $V$ . Für jedes Paar (Originalpunkt $P$ , Bildpunkt $P'$ bei $V$ ) gilt: $|PP'| = 2|ab|$ .

@@ Zeile 36: / Zeile 36: @@
 # Der Winkel zwischen <math>g'</math> und <math>b</math> sei mit <math>\beta^*</math> bezeichnet.
 <ggb_applet width="641" height="451"  version="4.0" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "false" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" />
+<br /><br />
+Aufgabe:
+::Begründen Sie 6.
 === Verschiebungsweite===

Verschiebungen (2011/12): Unterschied zwischen den Versionen

Version vom 7. Dezember 2011, 19:05 Uhr

Inhaltsverzeichnis

Definition: (Verschiebung als NAF zweier Geradenspiegelungen)

Eigenschaften von Verschiebungen