Beweisen SoSe 12 S: Unterschied zwischen den Versionen

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Aus der Schule kennen Sie bereits den so genannten ''Wechselwinkelsatz''. <br />
 
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==Notwenig, hinreichend, notwendig und hinreichend==
 
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===Aufgaben zum Einstieg===
 
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{Welche Aussagen sind wahr? }
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{Welche der folgenden Aussagen sind wahr? <br /> Die Eigenschaft eines Vierecks, zwei Paare paralleler Seiten zu haben, ist ...  }
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+ Die Eigenschaft eines Vierecks einen rechten Innenwinkel zu haben ist notwenig dafür, dass das Viereck ein Quadrat ist.
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+ Die Eigenschaft eines Vierecks konvex zu sein, ist notwendig dafür, dass das Viereck eine Raute ist.  
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-  '''notwendig''' dafür, dass das Viereck ein '''Trapez''' ist.
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- Die Eigenschaft eines Vierecks, zwei Paare paralleler Seiten zu haben, ist notwenig dafür, dass das Viereck ein Trapez ist.
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+ '''hinreichend''' dafür, dass das Viereck ein '''Trapez''' ist.
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+ Die Eigenschaft eines Vierecks, zwei Paare paralleler Seiten zu haben, ist hinreichend dafür, dass das Viereck ein Trapez ist.
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-  '''notwendig und hinreichend''' dafür, dass das Viereck eine '''Trapez''' ist.
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- Die Eigenschaft eines Vierecks, zwei Paare paralleler Seiten zu haben, ist notwenig und hinreichend dafür, dass das Viereck eine Trapez ist.
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- ein '''Kriterium''' dafür, dass das Viereck ein '''Trapez''' ist.
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- Die Eigenschaft eines Vierecks, zwei Paare paralleler Seiten zu haben, ist ein Kriterium dafür, dass das Viereck ein Trapez ist.
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+ '''notwendig''' dafür, dass das Viereck ein '''Parallelogramm''' ist.
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+ Die Eigenschaft eines Vierecks, zwei Paare paralleler Seiten zu haben, ist ein Kriterium dafür, dass das Viereck ein Parallelogramm ist.
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+  '''hinreichend''' dafür, dass das Viereck ein '''Parallelogramm''' ist.
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+ Die Eigenschaft eines Vierecks, zwei Paare paralleler Seiten zu haben, ist notwenig dafür, dass das Viereck ein Rechteck ist.
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+  ein '''Kriterium''' dafür, dass das Viereck ein '''Parallelogramm''' ist.
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- Die Eigenschaft eines Vierecks, zwei Paare paralleler Seiten zu haben, ist hinreichend dafür, dass das Viereck ein Parallelogramm ist.
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+ '''notwendig und hinreichend''' dafür, dass das Viereck ein '''Parallelogramm''' ist.
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- Ein Viereck ist genau dann ein Rechteck, wenn es zwei Paare paralleler Seiten hat.
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-  '''hinreichend''' dafür, dass das Viereck ein '''Rechteck''' ist.
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- ein '''Kriterium''' dafür, dass das Viereck ein '''Rechteck''' ist.
 
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====Das Ganze noch mal in Wenn ... Dann ...====
 
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{ Welche Aussagen sind wahr?}
 
{ Welche Aussagen sind wahr?}
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- Wenn ein Viereck einen rechten Innenwinkel hat, dann ist es ein Quadrat.
 
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- Wenn ein Viereck konvex ist, dann ist es eine Raute.
 
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+ Wenn ein Viereck zwei Paare paralleler Seiten hat, dann ist es ein Trapez.
 
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- Ein Viereck ist genau dann ein Trapez, wenn es Zwei Paare paralleler Seiten hat.
 
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+ Wenn ein Viereck zwei Paare paralleler Seiten hat, dann ist es ein Parallelogramm.
 
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+ Ein Viereck ist genau dann ein Parallelogramm, wenn es zwei Paare paralleler seiten hat.
 
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- Wenn ein Viereck zwei Paare paralleler Seiten hat, dann ist es ein Rechteck.
 
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- Ein Viereck ist genau dann ein Rechteck, wenn es zwei Paare paralleler Seiten hat.
 
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- Ein Viereck ist ''genau dann'' ein '''Trapez''', ''wenn'' es '''zwei Paare paralleler Seiten''' hat.
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+ ''Wenn'' ein Viereck '''zwei Paare paralleler Seiten''' hat, ''dann'' ist es ein '''Parallelogramm'''.
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- ''Wenn'' ein Viereck '''zwei Paare paralleler Seiten''' hat, ''dann'' ist es ein '''Rechteck'''.
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- Ein Viereck ist ''genau dann'' ein '''Rechteck''', ''wenn'' es '''zwei Paare paralleler Seiten''' hat.
 
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An dieser Stelle ist es sinnvoll zwei wichtige Begriffe der mathematischen Logik einzuführen: '''hinreichende''' und '''notwendige Bedingung'''<br /> Lassen Sie uns die Begriffe an einem  alltäglichen Beispiel erläutern:<br />
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==== Erkennen Sie den Zusammenhang?====
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{ Welche Aussagen sind wahr? <br /> Die Voraussetzung in einer wahren Implikation ist immer ...}
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- eine notwendige Bedingung für die Behauptung der Implikation.
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+ eine hinreichende Bedingung für die Behauptung der Implikation.
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- eine notwendige und hinreichende Bedingung für die Behauptung der Implikation.
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- ein Kriterium für die Behauptung.
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===Erklärung der Begriffe===
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An dieser Stelle ist es sinnvoll, zwei wichtige Begriffe der mathematischen Logik einzuführen: '''hinreichende''' und '''notwendige Bedingung'''<br /> Lassen Sie uns die Begriffe an einem  alltäglichen Beispiel erläutern:<br />
 
Wir nehmen mal den folgenden Satz: Wenn die Deckenlampe leuchtet, dann ist das Zimmer hell. <br\>
 
Wir nehmen mal den folgenden Satz: Wenn die Deckenlampe leuchtet, dann ist das Zimmer hell. <br\>
 
Es handelt sich hierbei um eine Implikation in der Form: Voraussetzung (Die Deckenlampe leuchtet)<math>\Rightarrow </math> Behauptung (Das Zimmer ist hell).<br\>
 
Es handelt sich hierbei um eine Implikation in der Form: Voraussetzung (Die Deckenlampe leuchtet)<math>\Rightarrow </math> Behauptung (Das Zimmer ist hell).<br\>
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==Beweise==
 
==Beweise==
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===Beispiel: Wir beweisen den Basiswinkelsatz===
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====Der Satz====
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<u>Satz: (Basiswinkelsatz)</u>
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:::Es sei <math>\overline{ABC}</math> ein Dreieck mit den schulüblichen Bezeichnungen (s. Skizze).
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:::: Wenn <math>a \tilde= b</math>, dann <math>\alpha \tilde= \beta</math>.
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====Direkter Beweis====
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Voraussetzung: <math>a \tilde= b</math><br />
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Behauptung:  <math>\alpha \tilde= \beta</math><br />
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Beweis:<br />
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Hilfskonstruktion: Es sei <math>M</math> der Mittelpunkt der Seite <math>\overline{AB}=c</math>. (Die Existenz dieses Punktes ist gesichert.) Wegen seiner Eigenschaft, der Mittelpunkt von <math>\overline{AB}</math> zu sein, hat der Punkt <math>M</math> zu den Endpunkten der Strecke <math>\overline{AB}</math> ein und denselben Abstand:
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<math>|AM|=|BM|</math> bzw. <math>\overline{AM} \tilde= \overline{BM}</math>.
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Weil die Strecke <math>\overline{MC}</math> wie jede Strecke zu sich selbst kongruent ist und die Seiten <math>a</math> und <math>b</math> nach Vorausetzung zueinander kongruent sind, sind nun die Teildreiecke <math>\overline{AMC}</math> und <math>\overline{BMC}</math> nach SSS zueinander kongruent. Aus dieser Dreieckskongruenz folgt die Kongruenz der Winkel <math>\alpha</math> und <math>\beta</math>.
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q.e.d.
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====Indirekter Beweis====
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Wir schicken zunächst den folgenden bekannten Satz voraus:
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Satz (*): In jedem Dreieck liegt dem größeren Winkel auch die größere Seite gegenüber.
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Voraussetzung: <math>a \tilde= b</math><br />
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Behauptung:  <math>\alpha \tilde= \beta</math><br />
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Zum Beweis der Behauptung nehmen wir an, dass unter der Voraussetzung <math>a \tilde= b</math><br /> die Negation der Behauptung gilt.<br />
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Annahme: <math>\alpha \not{\tilde=} \beta</math><br />
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Wenn die Winkel <math>\alpha</math> und <math>\beta</math> nicht kongruent sind, dann ist entweder der Winkel <math>\alpha</math> größer als der Winkel <math>\beta</math> oder umgekehrt der Winkel <math>\beta</math> größer als der Winkel <math>\alpha</math>. Sollte <math>|\alpha| > |\beta|</math> gelten, dann wäre nach (*) die Seite <math>a</math> länger als die Seite <math>b</math>. Wäre <math>|\beta| > |\alpha|</math>, dann müsste wiederum nach (*) die Seite <math>b</math> länger als die Seite <math>a</math> sein. Beides wäre ein Widerspruch zu unserer Voraussetzung <math>|a|=|b|</math>. Unsere Annahme ist somit zu verwerfen.
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===Ein wenig Theorie zum Beweisen===
 
Mathematische Sätze lassen sich im Unterschied zu Definitionen beweisen. Um einen Satz zu beweisen können verschiedene Beweistechniken angewendet werden.<br />Grundsätzlich unterscheidet man '''direkte''' von '''indirekten Beweisen'''. Außerdem gibt es noch so genannte '''Induktionsbeweise''' (vollständige Induktion, Wohlordnungsprinzip).<br /><br />
 
Mathematische Sätze lassen sich im Unterschied zu Definitionen beweisen. Um einen Satz zu beweisen können verschiedene Beweistechniken angewendet werden.<br />Grundsätzlich unterscheidet man '''direkte''' von '''indirekten Beweisen'''. Außerdem gibt es noch so genannte '''Induktionsbeweise''' (vollständige Induktion, Wohlordnungsprinzip).<br /><br />
 
'''Direkter Beweis'''<br />
 
'''Direkter Beweis'''<br />
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Aktuelle Version vom 4. Mai 2012, 13:41 Uhr

Inhaltsverzeichnis

Implikationen

Aus der Schule kennen Sie bereits den so genannten Wechselwinkelsatz.
Wechselwinkelsatz:
 Wechselwinkel an geschnittenen Parallelen sind kongruent zueinander.

Betrachten wir diesen Satz etwas genauer: Es wird hier behauptet, dass Wechselwinkel kongruent zueinander sind (Behauptung), unter der Bedingung, dass die Wechselwinkel an geschnittenen parallelen Geraden betrachtet werden (Voraussetzung). Wir können den Satz also in eine Voraussetzung (A) und eine Behauptung (B) aufteilen.
In der Mathematik gehen wir davon aus, dass Sätze wahr sind, d. h. wenn die Voraussetzung erfüllt ist, muss auch die Behauptung notwendigerweise wahr sein.
Aussagenlogisch haben wir es somit mit einer Implikation zu tun:
formal: \ A \Rightarrow B

Es seien a und b zwei verschiedene Geraden, die durch eine dritte Gerade c geschnitten werden.
 Wenn zwei geschnittene Geraden paralell zueinander sind, so sind die entstehenden Wechselwinkel kongruent.--Braindead 14:33, 21. Apr. 2012 (CEST)

Wir können aus jedem Satz auch eine Umkehrung bilden (die nicht unbedingt wahr sein muss), d. h. wir formulieren die Behauptung als Voraussetzung und die Vorausetzung als Behauptung:
formal:\ B \Rightarrow A

Aufgabe: Formulieren Sie hier die Umkehrung des Wechselwinkelsatzes:

Wenn die bei dem Schnitt entstehenden Wechselwinkel kongruent sind, dann sind die Geraden a und b parallel zu einander.--Braindead 13:42, 21. Apr. 2012 (CEST)

Ist ein Satz und seine Umkehrung wahr, dann sind Voraussetzung und Behauptung äquivalent, formal kann man dann schreiben: \ A \Leftrightarrow B

Aufgabe: Formulieren Sie den Wechselwinkelsatz und seine Umkehrung in einem Satz als Äquivalenz:

Umkehrung als Äquivalenz:

Genau dann, wenn die bei dem Schnitt entstehenden Wechselwinkel kongruent zueinander sind, dann sind die Geraden a und b parallel zu einander.--Braindead 14:23, 21. Apr. 2012 (CEST)

Notwenig, hinreichend, notwendig und hinreichend

Aufgaben zum Einstieg

Zwei Paare paralleler Seiten sind notwendig, hinreichend, notwendig und hinreichend für .. ?

1. Welche der folgenden Aussagen sind wahr?
Die Eigenschaft eines Vierecks, zwei Paare paralleler Seiten zu haben, ist ...

notwendig dafür, dass das Viereck ein Trapez ist.
hinreichend dafür, dass das Viereck ein Trapez ist.
notwendig und hinreichend dafür, dass das Viereck eine Trapez ist.
ein Kriterium dafür, dass das Viereck ein Trapez ist.
notwendig dafür, dass das Viereck ein Parallelogramm ist.
hinreichend dafür, dass das Viereck ein Parallelogramm ist.
ein Kriterium dafür, dass das Viereck ein Parallelogramm ist.
notwendig und hinreichend dafür, dass das Viereck ein Parallelogramm ist.
hinreichend dafür, dass das Viereck ein Rechteck ist.
notwendig dafür, dass das Viereck ein Rechteck ist.
notwendig und hinreichend dafür, dass das Viereck ein Rechteck ist.
ein Kriterium dafür, dass das Viereck ein Rechteck ist.

Punkte: 0 / 0


Das Ganze noch mal in Wenn ... Dann ...

1. Welche Aussagen sind wahr?

Wenn ein Viereck zwei Paare paralleler Seiten hat, dann ist es ein Trapez.
Ein Viereck ist genau dann ein Trapez, wenn es zwei Paare paralleler Seiten hat.
Wenn ein Viereck zwei Paare paralleler Seiten hat, dann ist es ein Parallelogramm.
Ein Viereck ist genau dann ein Parallelogramm, wenn es zwei Paare paralleler Seiten hat.
Wenn ein Viereck zwei Paare paralleler Seiten hat, dann ist es ein Rechteck.
Ein Viereck ist genau dann ein Rechteck, wenn es zwei Paare paralleler Seiten hat.

Punkte: 0 / 0


Erkennen Sie den Zusammenhang?

1. Welche Aussagen sind wahr?
Die Voraussetzung in einer wahren Implikation ist immer ...

eine notwendige Bedingung für die Behauptung der Implikation.
eine hinreichende Bedingung für die Behauptung der Implikation.
eine notwendige und hinreichende Bedingung für die Behauptung der Implikation.
ein Kriterium für die Behauptung.

Punkte: 0 / 0

Erklärung der Begriffe

An dieser Stelle ist es sinnvoll, zwei wichtige Begriffe der mathematischen Logik einzuführen: hinreichende und notwendige Bedingung
Lassen Sie uns die Begriffe an einem alltäglichen Beispiel erläutern:
Wir nehmen mal den folgenden Satz: Wenn die Deckenlampe leuchtet, dann ist das Zimmer hell.
Es handelt sich hierbei um eine Implikation in der Form: Voraussetzung (Die Deckenlampe leuchtet)\Rightarrow Behauptung (Das Zimmer ist hell).
Die Voraussetzung ist dabei die hinreichende Bedingung für die Behauptung, denn es genügt, für die Zimmerhelligkeit die Deckenbeleuchtung einzuschalten, man könnte das Zimmer aber z. B. ja auch durch eine Kerze beleuchten. Es ist also nicht unbedingt notwendig die Deckenlampe einzuschalten um das Zimmer hell zu bekommen. Umgekehrt ist die Behauptung notwendige Bedingung der Voraussetzung, denn wenn die Deckenlampe leuchtet, dann wird notwendigerweise das Zimmer hell.
Diesen Zusammenhang zwischen hinreichender Bedingung und Voraussetzung bzw. notwendiger Bedingung und Behauptung einer Implikation trifft auf alle Implikationen zu.
Ist nun auch die Umkehrung einer Implikation wahr, dann wird in der Umkehrung aus der Voraussetzung die Behauptung und aus der Behauptung die Voraussetzung. Damit tauschen sich aber dann auch jeweils die hinreichende und notwendige Bedingung, so dass jeweils die eine Teilaussage des Satzes sowohl hinreichende als auch notwendige Bedingung für die zweite Teilaussage ist. Die Voraussetzung ist dann also hinreichende als auch notwendige Bedingung für die Behauptung und die Behauptung hinreichende und notwendige Bedingung für die Voraussetzung.
Wir können damit die Implikation und ihre Umkehrung in einem neuen Satz als Äquivalenzaussage formulieren und haben zugleich ein so genanntes Kriterium (hinreichende und notwendige Bedingung) gefunden.

Beweise

Beispiel: Wir beweisen den Basiswinkelsatz

Der Satz

Satz: (Basiswinkelsatz)

Es sei \overline{ABC} ein Dreieck mit den schulüblichen Bezeichnungen (s. Skizze).
Wenn a \tilde= b, dann \alpha \tilde= \beta.

Direkter Beweis

Voraussetzung: a \tilde= b
Behauptung: \alpha \tilde= \beta
Beweis:
Hilfskonstruktion: Es sei M der Mittelpunkt der Seite \overline{AB}=c. (Die Existenz dieses Punktes ist gesichert.) Wegen seiner Eigenschaft, der Mittelpunkt von \overline{AB} zu sein, hat der Punkt M zu den Endpunkten der Strecke \overline{AB} ein und denselben Abstand: |AM|=|BM| bzw. \overline{AM} \tilde= \overline{BM}. Weil die Strecke \overline{MC} wie jede Strecke zu sich selbst kongruent ist und die Seiten a und b nach Vorausetzung zueinander kongruent sind, sind nun die Teildreiecke \overline{AMC} und \overline{BMC} nach SSS zueinander kongruent. Aus dieser Dreieckskongruenz folgt die Kongruenz der Winkel \alpha und \beta.

q.e.d.

Indirekter Beweis

Wir schicken zunächst den folgenden bekannten Satz voraus: Satz (*): In jedem Dreieck liegt dem größeren Winkel auch die größere Seite gegenüber. Voraussetzung: a \tilde= b
Behauptung: \alpha \tilde= \beta
Zum Beweis der Behauptung nehmen wir an, dass unter der Voraussetzung a \tilde= b
die Negation der Behauptung gilt.
Annahme: \alpha \not{\tilde=} \beta
Wenn die Winkel \alpha und \beta nicht kongruent sind, dann ist entweder der Winkel \alpha größer als der Winkel \beta oder umgekehrt der Winkel \beta größer als der Winkel \alpha. Sollte |\alpha| > |\beta| gelten, dann wäre nach (*) die Seite a länger als die Seite b. Wäre |\beta| > |\alpha|, dann müsste wiederum nach (*) die Seite b länger als die Seite a sein. Beides wäre ein Widerspruch zu unserer Voraussetzung |a|=|b|. Unsere Annahme ist somit zu verwerfen.

Ein wenig Theorie zum Beweisen

Mathematische Sätze lassen sich im Unterschied zu Definitionen beweisen. Um einen Satz zu beweisen können verschiedene Beweistechniken angewendet werden.
Grundsätzlich unterscheidet man direkte von indirekten Beweisen. Außerdem gibt es noch so genannte Induktionsbeweise (vollständige Induktion, Wohlordnungsprinzip).

Direkter Beweis
Die Voraussetzung (A) eines Satzes wird solange durch Implikationen umgeformt, bis die Behauptung (B) herauskommt, z.B.:
\ A \Rightarrow C \Rightarrow D \Rightarrow B

Indirekter Beweis
Beim indirekten Beweisen unterscheidet man Widerspruchsbeweise (1) von Beweisen durch Kontraposition (2).

  1. Widerspruchsbeweis:
    Beim Widerspruchsbeweis nimmt man das Gegenteil der Behauptung an (Annahme) und führt diese Annahme zu einem Widerspruch (meist zur Voraussetzung oder zu einem bereits bewiesenen Satz).
    (warum dieser Zusammenhang gilt können Sie sich durch Aussagenlogik klar machen. (siehe auch: Gorski, Müller-Philipp: Leitfaden Arithmetik).
  2. Beweis durch Kontraposition:
    Beim Beweisen durch Kontraposition nutzt man den folgenden Zusammenhang aus:
    \ (\ A \Rightarrow B) \Leftrightarrow \ (\neg B \Rightarrow \neg A)
    (warum dieser Zusammenhang gilt können Sie sich durch Aussagenlogik klar machen. (siehe auch: Gorski, Müller-Philipp: Leitfaden Arithmetik).
    Wenn man also die Behauptung negiert und daraus zeigen kann, dass die negierte Voraussetzung wahr ist, dann hat man auch den ursprünglichen Satz bewiesen.

Aufgabe: Formulieren Sie die Kontraposition des Wechselwinkelsatzes.

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