Abstand, Anordnung, Strecke SoSe12: Unterschied zwischen den Versionen
(→Definition II.3 - (Vorschlag Kopernikus zweiter Versuch)) |
*m.g.* (Diskussion | Beiträge) (→Halbgeraden bzw. Strahlen) |
||
(40 dazwischenliegende Versionen von 6 Benutzern werden nicht angezeigt) | |||
Zeile 88: | Zeile 88: | ||
:: Beweis: trivial (Der Leser überzeuge sich davon.) | :: Beweis: trivial (Der Leser überzeuge sich davon.) | ||
+ | |||
+ | {| class="wikitable" | ||
+ | !Nr.!!Beweisschritt!!Begründung | ||
+ | |- | ||
+ | | 1)|| <math>\operatorname{Zw} (A, B, C)</math> || Vor. | ||
+ | |- | ||
+ | | 2) ||<math>\left| AB \right| +\left| BC \right| =\left| AC \right|</math> || 1), Def. Zwischenrelation | ||
+ | |- | ||
+ | | 3) ||<math>\left| BC \right| +\left| AB \right| =\left| AC \right|</math> || 2), Kommutativgesetz | ||
+ | |- | ||
+ | | 4) ||<math>\left| CB \right| +\left| BA \right| =\left| CA \right|</math> || 3), Axiom II/2 | ||
+ | |- | ||
+ | | 5) ||<math>\operatorname(Zw) (C, B, A)</math> || 4), Def. Zwischenrelation | ||
+ | |} | ||
+ | --[[Benutzer:*osterhase*|*osterhase*]] 15:07, 1. Jun. 2012 (CEST)<br /> | ||
+ | Perfekt! --[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 05:51, 3. Jun. 2012 (CEST) | ||
===== Satz II.2: ===== | ===== Satz II.2: ===== | ||
Zeile 95: | Zeile 111: | ||
:: Beweis: trivial (Der Leser überzeuge sich davon.) | :: Beweis: trivial (Der Leser überzeuge sich davon.) | ||
+ | {| class="wikitable" | ||
+ | !Nr. !!Beweisschritt!!Begründung!!Verbesserung | ||
+ | |- | ||
+ | | 1) ||<math> \operatorname{Zw} (A, B, C) </math> || Vor.||i.O. | ||
+ | |- | ||
+ | | 2) ||<math> \left| AB \right| +\left| BC \left| = AC \right| </math> | ||
+ | | 1), Def. Zwischenrelation ||i.O. | ||
+ | |- | ||
+ | | 3) ||<math>\operatorname{koll}(A, B, C)</math> || 2), Axiom II/2||Axiom II/3 (2. Teil) | ||
+ | |} | ||
+ | --[[Benutzer:*osterhase*|*osterhase*]] 14:49, 1. Jun. 2012 (CEST)<br /> | ||
+ | Perfekt! --[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 05:16, 3. Jun. 2012 (CEST)<br />Ich glaube, dass bei Beweisschritt 3) in der Begründung ein kleiner Flüchtigkeitsfehler unterlaufen ist und das Axiom II/3 (Dreiecksungleichung) gemeint war.--[[Benutzer:Nummero6|Tchu Tcha Tcha]] 12:38, 3. Jun. 2012 (CEST)<br /> | ||
+ | @Tchu Tcha Tcha Sie haben natürlich recht. So ist das, manchmal liest man gerade das, was man lesen möchte. Ich habe es oben mal verbessert. | ||
===== Satz II.3 ===== | ===== Satz II.3 ===== | ||
Zeile 103: | Zeile 132: | ||
= Der Begriff der Strecke= | = Der Begriff der Strecke= | ||
− | == | + | ==Wo sind die Definitionsversuche?== |
− | + | Wir haben dem Ringen um die Definitionen eine eigene Datei spendiert: | |
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | ==== Definition II.3 | + | [[Begriff der Strecke, verschiedene Definitionsversuche SoSe_12 ]] |
+ | ==== Definition II.3: (Strecke, Endpunkte einer Strecke) ==== | ||
+ | ::Es seien <math>\ A</math> und <math>\ B</math> zwei verschiedene Punkte. Die Menge aller Punkte, die zwischen den Punkten <math>A</math> und <math>B</math> liegen, heißt offene Strecke <math>\overline{AB}</math>. | ||
+ | :: Die Vereinigungsmenge der offenen Strecke <math>\overline{AB}</math> mit der Menge, die aus den Punkten <math>A</math> und <math>B</math> besteht, heißt Strecke <math>\overline{AB}</math>. | ||
+ | ::Die Punkte <math>A</math> und <math>B</math> heißen Endpunkte der Strecke <math>\overline{AB}</math>. | ||
− | + | Die Definition(en) in formalerer Darstellung: Versuchen Sie zu ergänzen:<br /> | |
− | + | ||
− | <br /> | + | |
− | + | * offene Strecke <math>\overline{AB}:=\left{P|\operatorname{Zw} (A, P, B)\right}</math>} | |
− | + | * Strecke <math>\overline{AB}:=\left{P|\operatorname{Zw} (A, P, B)\right} \cup \left{A, B\right}</math> | |
− | --[[Benutzer: | + | --[[Benutzer:*osterhase*|*osterhase*]] 10:29, 4. Jun. 2012 (CEST) korrekt --[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 08:50, 7. Jun. 2012 (CEST) |
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ==== Definition II.4: (Länge einer Strecke)==== | |
− | :: | + | ::Unter der Länge der Strecke <math>\overline{AB}</math> versteht man den Abstand, den ihre Endpunkte <math>A</math> und <math>B</math> zueinander haben.<br />Kurzschreibweise: <math>\left| \overline{AB} \right|</math> |
+ | Die Definition in formalerer Schreibweise:(Ergänzen Sie selbst)<br /> | ||
+ | |||
+ | * <math>\left| \overline{AB} \right| := </math> | ||
= Halbgeraden bzw. Strahlen = | = Halbgeraden bzw. Strahlen = | ||
Zeile 141: | Zeile 162: | ||
===== Definition II.5: (Halbgerade, bzw. Strahl) ===== | ===== Definition II.5: (Halbgerade, bzw. Strahl) ===== | ||
− | :Definition (Halbgerade <math>AB^+</math>): ( | + | :Definition (Halbgerade <math>AB^+</math>):<math> \ AB^+ := \{P|\operatorname(Zw) (A, P, B) \vee \operatorname(Zw) (A, B, P) \} \cup \{A, B}</math> |
+ | |||
+ | --[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 17:39, 30. Jun. 2013 (CEST) | ||
<!--- Das, was hier drunter steht muss stehen bleiben, also oberhalb dieses Kommentars Änderungen einfügen ---> | <!--- Das, was hier drunter steht muss stehen bleiben, also oberhalb dieses Kommentars Änderungen einfügen ---> |
Aktuelle Version vom 30. Juni 2013, 16:39 Uhr
Strecken, intuitivPunkte, Geraden und Ebenen können wir in unserer Geometrie nicht definieren. Für Strecken wird uns das gelingen. Eine intuitive Vorstellung von Strecken haben wir schon: Eine Strecke ist die kürzeste Verbindung zwischen zwei Punkten. Diese Vorstellung gilt es nun zu präzisieren. Grundlegend dafür, um was für eine konkrete Strecke es sich jeweils handelt scheint die Angabe zweier Punkte zu sein (kürzeste Verbindung zweier Punkte). Das Attribut kürzeste deutet auf das Messen von Längen hin. Das Messen von Längen wird dann auch der Knackpunkt bezüglich einer Definition des Begriffs der Strecke sein. LängenmessungMessen: Andere Länder andere SittenRory, ein irischer Schüler, wechselt für ein Jahr an die IGH im Hasenleiser. Die Beibehaltung gewisser Gewohnheiten aus Irland könnte für Rory in Deutschland Probleme mit sich bringen: In Irland schmeckt das Guinness besser und vor allem wird es in der Maßeinheit Pint ausgeschenkt. Ein Pint ist etwas mehr als ein halber Liter: 0,56826125 l. Rory ist ein sehr ordentlicher Schüler und hat sein Schullineal aus Irland mitgebracht. Zum Messen würde dieses in Deutschland allerdings nur dann etwas nützen, wenn es über eine zweite Skale in cm verfügen würde. Die Idee der LängenmessungStrecken werden bereits in Klasse 1 gemessen. Was ist das eigentlich, das Messen von Strecken. Wie würden Sie es den Schülern der Klassenstufen für die Sie ausgebildet werden erklären? Ergänzen Sie hier: Der Abstand zweier PunkteDie ersten beiden AbstandsaxiomeAxiom II.1: (Abstandsaxiom)
Definition II.1: (Abstand)
Axiom II.2:
Die DreiecksungleichungSchüler entdecken die DreiecksungleichungDreieckskonstruktionen sind seit jeher fester Bestandteil des Geometrieunterrichts in der Schule. Neben solchen allgemeinen Zielen wie Erziehung zur Exaktheit und Sauberkeit bei Konstruktionen, geht es bei diesen Aufgaben auch darum, dass die Schüler die Gesetzmäßigkeiten ihrer Umwelt durch eigene Tätigkeit selbst erfahren. Die einfachsten Dreieckskonstruktionen sind die, bei denen die Längen der drei Seiten eines Dreiecks gegeben sind. In der Sprache der Abstände: Alle drei Abstände die die Eckpunkte des Dreiecks zueinander haben sind gegeben. Abstände sind nach dem Abstandsaxiom reelle Zahlen. (Maßeinheiten wie m und cm sind in der „reinen“ Mathematik irrelevant.)
Aus didaktischer Sicht werden Konstruktionsaufgaben zu einem bestimmten Problemkreis erst dann vollständig, wenn die Schüler sich sowohl mit Aufgaben mit mehreren Lösungsmöglichkeiten als auch mit unlösbaren Aufgaben auseinandersetzen müssen. Experimentieren Sie mit dem folgenden Geogebraapplet und klassifizireren Sie die Typen von Konstruktionsaufgaben, die sich für Dreieckskonstruktionen nach SSS ergeben:
Das Axiom der DreiecksungleichungAxiom II/3: (Dreiecksungleichung)
Übung zum Axiom
Definitionen und SätzeDefinition II.2: (Zwischenrelation)
Unmittelbar einsichtig sind die folgenden beiden Sätze: Satz II.1
Beweis von Satz II.1
--*osterhase* 15:07, 1. Jun. 2012 (CEST) Satz II.2:
Beweis von Satz II.2
--*osterhase* 14:49, 1. Jun. 2012 (CEST) Satz II.3
Beweis von Satz II.3:Übungsaufgabe 5.1 Der Begriff der StreckeWo sind die Definitionsversuche?Wir haben dem Ringen um die Definitionen eine eigene Datei spendiert: Begriff der Strecke, verschiedene Definitionsversuche SoSe_12 Definition II.3: (Strecke, Endpunkte einer Strecke)
Die Definition(en) in formalerer Darstellung: Versuchen Sie zu ergänzen:
}
--*osterhase* 10:29, 4. Jun. 2012 (CEST) korrekt --*m.g.* 08:50, 7. Jun. 2012 (CEST) Definition II.4: (Länge einer Strecke)
Die Definition in formalerer Schreibweise:(Ergänzen Sie selbst) Halbgeraden bzw. StrahlenSo ist es gemeintHinweis: Klicken Sie auf das Symbol rechts oben (neu laden), damit alles richtig angezeigt wird.
Definition II.5: (Halbgerade, bzw. Strahl)
|