Halbebenen und das Axiom von Pasch SS 2012: Unterschied zwischen den Versionen
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= Halbebenen und das Axiom von Pasch = | = Halbebenen und das Axiom von Pasch = | ||
== Halbebenen == | == Halbebenen == | ||
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Wir konstatieren: | Wir konstatieren: | ||
− | ::Eine Gerade wird durch einen | + | ::Eine Gerade wird durch einen Punkt in zwei Halbgeraden eingeteilt.<br /> |
− | ::Eine Ebene wird durch eine | + | ::Eine Ebene wird durch eine Gerade in zwei Halbebenen eingeteilt. |
− | ::Eine Gerade ist ein | + | ::Eine Gerade ist ein eindimensionales Objekt.<br /> |
− | ::Eine Ebene ist ein | + | ::Eine Ebene ist ein zweidimensionales Objekt. |
− | ::Im Fall dieser Geradenteilung ist der Trenner ein | + | ::Im Fall dieser Geradenteilung ist der Trenner ein nulldimensionales geometrisches Objekt.<br /> |
− | ::Im Fall dieser Ebenenteilung ist der Trenner ein | + | ::Im Fall dieser Ebenenteilung ist der Trenner ein eindimensionales geometrisches Objekt. |
− | ::Wenn also n die Dimension des geometrischen Objekts ist, das geteilt wird, dann hat der Trenner die Dimension | + | ::Wenn also n die Dimension des geometrischen Objekts ist, das geteilt wird, dann hat der Trenner die Dimension n-1 . |
Geradenteilung: | Geradenteilung: | ||
:Es seien <math>\ g</math> eine Gerade und <math>\ T</math> ein Punkt auf ihr. Ferner sei <math>\ Q</math> ein von <math>\ T</math> verschiedener Punkt der Geraden <math>\ g</math>. Die Menge <math>\ g \setminus T</math> wird durch durch den Trenner <math>\ T</math> in genau zwei Klassen eingeteilt: | :Es seien <math>\ g</math> eine Gerade und <math>\ T</math> ein Punkt auf ihr. Ferner sei <math>\ Q</math> ein von <math>\ T</math> verschiedener Punkt der Geraden <math>\ g</math>. Die Menge <math>\ g \setminus T</math> wird durch durch den Trenner <math>\ T</math> in genau zwei Klassen eingeteilt: | ||
− | ::# Die Menge aller Punkte von <math>\ g \setminus T</math>, die mit <math>\ Q</math> auf derselben | + | ::# Die Menge aller Punkte von <math>\ g \setminus T</math>, die mit <math>\ Q</math> auf derselben Seite bezüglich <math>T</math> liegen (<math>\ TQ^{+}</math>) . |
− | ::# Die Menge aller Punkte von <math>\ g \setminus T</math>, die mit <math>\ Q</math> nicht auf derselben | + | ::# Die Menge aller Punkte von <math>\ g \setminus T</math>, die mit <math>\ Q</math> nicht auf derselben Seite bezüglich <math>T</math> liegen (<math>\ TQ^{-}</math>) . |
+ | --[[Benutzer:Snooth|Snooth]] 23:52, 5. Jun. 2012 (CEST) | ||
Ebenenteilung: | Ebenenteilung: | ||
− | :Es seien <math>\ | + | :Es seien <math>\ E</math> eine Ebene und <math>\ t</math> eine Gerade, die vollständig in <math>\ E</math> liegt. Ferner sei <math>\ Q</math> ein nicht zu <math>\ t</math> gehörender Punkt der Ebene <math>\ E</math>. Die Menge <math>\ E \setminus t</math> wird durch durch den Trenner <math>\ t</math> in genau zwei Klassen eingeteilt: |
− | ::# Die Menge aller Punkte von <math>\ | + | ::# Die Menge aller Punkte von <math>\ E \setminus t</math>, die mit <math>\ Q</math> auf derselben Seite bezüglich <math>t</math> liegen (<math>\ tQ^{+}</math>) . |
− | ::# Die Menge aller Punkte von <math>\ | + | ::# Die Menge aller Punkte von <math>\ E \setminus t</math>, die mit <math>\ Q</math> nicht auf derselben Seite bezüglich <math>t</math> liegen (<math>\ tQ^{-}</math>) . |
+ | --[[Benutzer:Snooth|Snooth]] 23:52, 5. Jun. 2012 (CEST)<br /> | ||
+ | sehr gut, genau dasselbe, nur eine Dimension höher --[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 15:22, 7. Jun. 2012 (CEST) | ||
=== Definition des Begriffs der Halbebene === | === Definition des Begriffs der Halbebene === | ||
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{| | {| | ||
|- | |- | ||
− | | Zu unsere Vorstellung von der Eigenschaften einer beliebigen Ebene <math> | + | | Zu unsere Vorstellung von der Eigenschaften einer beliebigen Ebene <math>E</math> gehört u.a., dass jede Gerade <math>g</math>, die zu unserer jeweiligen Ebene <math>E</math> gehört, diese in zwei ''Hälften'' bzw. zwei ''Seiten'' einteilt. Zur Kennzeichnung der beiden ''Seiten'' von <math>E</math> bezüglich der Geraden <math>g</math> verwenden wir einen Punkt <math>Q \in E</math>, welcher nicht zu <math>g</math> gehören sollte. |
|[[Bild:Halbebene_00.png| 100 px]] | |[[Bild:Halbebene_00.png| 100 px]] | ||
|- | |- | ||
− | | Zu der einen ''Hälfte'' von <math> | + | | Zu der einen ''Hälfte'' von <math>E</math> bezüglich <math>g</math> gehören alle die Punkte aus <math>E \setminus g</math>, die mit <math>Q</math> auf derselben Seite von <math>g</math> liegen. Alle anderen Punkte aus <math>E \setminus g</math> gehören zur anderen Seite von <math>E</math> bezüglich <math>g</math>. |
| [[Bild:Halbebene_01.png | 100 px]] | | [[Bild:Halbebene_01.png | 100 px]] | ||
|} | |} | ||
+ | |||
==== Offene Halbebenen ==== | ==== Offene Halbebenen ==== | ||
− | Die beiden Seiten, in die die Menge der Punkte einer Ebene <math>\ | + | Die beiden Seiten, in die die Menge der Punkte einer Ebene <math>\ E</math>, die nicht auf einer Geraden <math>\ g</math> dieser Ebene liegen, durch diese Gerade <math>\ g</math> eingeteilt wird, heißen offene Halbebenen von <math>\ E</math> bezüglich der Trägergeraden <math>\ g</math>. Der nicht zu <math>\ g</math> gehörende Referenzpunkt <math>\ Q \in E</math> bietet uns eine Möglichkeit zur Bezeichnung der beiden offenen Halbebenen. Die offene Halbebene, zu der alle Punkte gehören, die bezüglich <math>\ g</math> mit <math>\ Q</math> auf derselben Seite liegen, wird mit <math>\ gQ^{+}</math> bezeichnet, die andere offene Halbebene von <math>\ E</math> bezüglich <math>\ g</math> und <math>\ Q</math> mit <math>\ gQ^{-}</math>. |
− | Obige Ausführungen können als informelle Definition des Begriffs offene Halbebene dienen. Hinsichtlich wirklicher mathematischer Exaktheit der Festlegung, was denn eine offene Halbene sein möge, bedarf es einer genauereren Erklärung, was denn darunter zu verstehen wäre, dass zwei Punkte <math>\ P</math> und <math> \ Q</math> einer Ebene <math>\ | + | Obige Ausführungen können als informelle Definition des Begriffs offene Halbebene dienen. Hinsichtlich wirklicher mathematischer Exaktheit der Festlegung, was denn eine offene Halbene sein möge, bedarf es einer genauereren Erklärung, was denn darunter zu verstehen wäre, dass zwei Punkte <math>\ P</math> und <math> \ Q</math> einer Ebene <math>\ E</math> auf ein und derselben bzw. auf zwei verschiedenen Seiten dieser Ebene bezüglich einer Geraden <math>\ g</math> liegen. |
===== Definition IV.1: (offene Halbebene)===== | ===== Definition IV.1: (offene Halbebene)===== | ||
− | :::Es sei <math>\ | + | :::Es sei <math>\ E</math> eine Ebene in der die Gerade <math>\ g</math> liegen möge. Ferner sei <math>\ Q</math> ein Punkt der Ebene <math>\ E</math>, der nicht zur Geraden <math>\ g</math> gehört.<br /> Unter den <u>offenen</u> Halbebenen <math>\ gQ^{+}</math> und <math>\ gQ^{-}</math> bezüglich der Trägergeraden <math>\ g</math> versteht man die folgenden Teilmengen der Ebene <math>\ E</math> <u>ohne</u> die Gerade <math>\ g</math> : |
− | ::::<math>\ gQ^{+}:= \{P|\overline{PQ} | + | ::::<math>\ gQ^{+}:= \{P|g\cap\overline{PQ}=\emptyset\}</math> |
+ | ::: ("Jene Punkte P, für die gilt, dass die Strecke <math> \overline{PQ}</math> den Trenner<math>\ g</math> nicht schneidet, bilden die offene Halbebene<math>\ gQ^{+}</math>.") | ||
− | ::::<math>\ gQ^{-}:= \{P| | + | ::::<math>\ gQ^{-}:= \{P|g\cap\overline{PQ}\neq\emptyset\}</math> |
− | --[[Benutzer: | + | ::: ("Jene Punkte P, für die gilt, dass die Strecke <math> \overline{PQ}</math> den Trenner<math>\ g</math> schneidet, bilden die offene Halbebene<math>\ gQ^{-}</math>.") |
+ | --[[Benutzer:Snooth|Snooth]] 23:33, 5. Jun. 2012 (CEST) perfekt! --[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 15:18, 7. Jun. 2012 (CEST) | ||
==== Halbebenen ==== | ==== Halbebenen ==== | ||
− | Vereinigt man die Menge der Punkte einer offenen | + | Vereinigt man die Menge der Punkte einer offenen Halbebene mit der Menge der Punkte der Trägergerade so erhält man eine Halbebene. |
===== Definition IV.2: (Halbebene) ===== | ===== Definition IV.2: (Halbebene) ===== | ||
− | ::Es sei <math>\ g</math> eine Gerade der Ebene <math>\ | + | ::Es sei <math>\ g</math> eine Gerade der Ebene <math>\ E</math>. <math>\ gQ^+</math> und <math>\ gQ^-</math> seien die beiden offenen Halbebenen von <math>\ E</math> bezüglich <math>\ g</math>. Unter den (geschlossenen) Halbebenen von <math>\ E</math> bezüglich <math>\ g</math> versteht die beiden Punktmengen, die durch die Vereinigung jeder dieser beiden offenen Halbebene von <math>\ E</math> bezüglich der Geraden <math>\ g</math> mit jeweils dieser Geraden <math>\ g</math> entstehen. |
Bemerkung: Für die formale Beschreibung von offenen und geschlossenen Halbebenen wird jeweils dieselbe Bezsichnung verwendet: offene Halbebene: <math>\ g Q^+</math>, (geschlossene) Halbebene: <math>\ g Q^+</math>. Der weitere Gebrauch der Sprache kennzeichnet, ob es sich um eine offene oder um die geschlossene Halbene handeln soll. Aus Gründen der Vereinfachung sei vereinbart, dass <math>\ g Q^+</math> bzw. <math>\ g Q^-</math> immer die geschlossene Halbebene meint. Soll die offene Halbebene gemeint sein, so ist dieses durch den Zusatz "offen" zu kennzeichnen.<br /> | Bemerkung: Für die formale Beschreibung von offenen und geschlossenen Halbebenen wird jeweils dieselbe Bezsichnung verwendet: offene Halbebene: <math>\ g Q^+</math>, (geschlossene) Halbebene: <math>\ g Q^+</math>. Der weitere Gebrauch der Sprache kennzeichnet, ob es sich um eine offene oder um die geschlossene Halbene handeln soll. Aus Gründen der Vereinfachung sei vereinbart, dass <math>\ g Q^+</math> bzw. <math>\ g Q^-</math> immer die geschlossene Halbebene meint. Soll die offene Halbebene gemeint sein, so ist dieses durch den Zusatz "offen" zu kennzeichnen.<br /> | ||
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::Ergänzen Sie selbst. | ::Ergänzen Sie selbst. | ||
− | :::::::<math>\ EQ^{+}:= \{P| | + | :::::::<math>\ EQ^{+}:= \{P| \} \cup \{E \}</math> |
− | :::::::<math>\ EQ^{-}:= \{P| | + | :::::::<math>\ EQ^{-}:= \{P| \} \cup \{E \} </math> |
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== Das Axiom von [http://de.wikipedia.org/wiki/Moritz_Pasch Pasch] == | == Das Axiom von [http://de.wikipedia.org/wiki/Moritz_Pasch Pasch] == | ||
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Es seien <math>\ M_1</math> und <math>\ M_2</math> zwei konvexe Mengen. | Es seien <math>\ M_1</math> und <math>\ M_2</math> zwei konvexe Mengen. | ||
− | zu zeigen: Der Durchschnitt der beiden Mengen <math>\ M_1</math> und <math>\ M_2</math> ist auch konvex. | + | zu zeigen: Der Durchschnitt der beiden Mengen <math>\ M_1</math> und <math>\ M_2</math> ist auch konvex. Wie geht es weiter? |
+ | <!--- Was hier drunter steht muss stehen bleiben ---> | ||
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− | [[ | + | [[Kategorie:Einführung_S]] |
Aktuelle Version vom 7. Juni 2012, 15:22 Uhr
Halbebenen und das Axiom von PaschHalbebenenAnalogiebetrachtungen
Die folgenden Lückentexte können Sie auch als Übungsblatt im pdf-Format herunterladen: Übungsblatt Halbgeraden/-ebenen Wir konstatieren:
Geradenteilung:
--Snooth 23:52, 5. Jun. 2012 (CEST) Ebenenteilung:
--Snooth 23:52, 5. Jun. 2012 (CEST) Definition des Begriffs der HalbebeneAlles hat zwei Seiten oder grundlegende Ideen der Beschaffenheit von EbenenOffene HalbebenenDie beiden Seiten, in die die Menge der Punkte einer Ebene Obige Ausführungen können als informelle Definition des Begriffs offene Halbebene dienen. Hinsichtlich wirklicher mathematischer Exaktheit der Festlegung, was denn eine offene Halbene sein möge, bedarf es einer genauereren Erklärung, was denn darunter zu verstehen wäre, dass zwei Punkte Definition IV.1: (offene Halbebene)
--Snooth 23:33, 5. Jun. 2012 (CEST) perfekt! --*m.g.* 15:18, 7. Jun. 2012 (CEST) HalbebenenVereinigt man die Menge der Punkte einer offenen Halbebene mit der Menge der Punkte der Trägergerade so erhält man eine Halbebene. Definition IV.2: (Halbebene)
Bemerkung: Für die formale Beschreibung von offenen und geschlossenen Halbebenen wird jeweils dieselbe Bezsichnung verwendet: offene Halbebene: Definition IV.3: HalbraumGegeben sei eine Ebene E und ein Raum R, der E enthält. Die Punkte des Raumes, die nicht in E liegen, bilden zwei Mengen derart, dass gilt:
Das Axiom von Pasch
Axiom III.2: Das Axiom von Pasch
Konvexe PunktmengenDefinition IV.4: (konvexe Punktmenge)
Satz IV.2
Beweis von Satz IV.2trivial (Der Leser überzeuge sich davon) Satz IV.3
Beweis von Satz IV.3Es seien zu zeigen: Der Durchschnitt der beiden Mengen
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