Die Geradenspiegelung und Ihre Eigenschaften SoSe 12: Unterschied zwischen den Versionen

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alle Punkte P, mit: <math>P\in g</math>--[[Benutzer:Schnirch|Schnirch]] 09:15, 12. Jun. 2012 (CEST) (erarbeitet in der Vorlesung)
  
 
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::Wenn bei einer Abbildung <math>\varphi</math> eine Bildgerade ''g''' mit ihrem Urbild ''g'' zusammenfällt, dann heißt ''g'' Fixgerade der Abbildung <math>\varphi</math>.<br /><br />
 
::Wenn bei einer Abbildung <math>\varphi</math> eine Bildgerade ''g''' mit ihrem Urbild ''g'' zusammenfällt, dann heißt ''g'' Fixgerade der Abbildung <math>\varphi</math>.<br /><br />
 
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alle Geraden, die senkrecht auf der Spiegelgeraden g stehen sind Fixgeraden und g selbst ist Fixgerade. --[[Benutzer:Schnirch|Schnirch]] 09:18, 12. Jun. 2012 (CEST)
  
 
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::Wenn jeder Punkt ''P'' einer Fixgeraden ''g'' auf sich selbst abgebildet wird, so ist die Fixgerade ''g'' auch Fixpunktgerade.<br /><br />
 
::Wenn jeder Punkt ''P'' einer Fixgeraden ''g'' auf sich selbst abgebildet wird, so ist die Fixgerade ''g'' auch Fixpunktgerade.<br /><br />
 
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===Eigenschaften einer Geradenspiegelung===
 
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Die Geradenspiegelung <math>S_g</math> ist eine involutorische Abbildung, d. h. für alle Punkte A, B der Ebene gilt: <br />
 
Die Geradenspiegelung <math>S_g</math> ist eine involutorische Abbildung, d. h. für alle Punkte A, B der Ebene gilt: <br />
 
::<math>B=S_g (A)\Rightarrow A=S_g (B)</math><br />
 
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Bei der Geradenspiegelung <math>S_g </math> wird eine Strecke <math>\overline{AB}</math> auf eine Strecke <math>\overline{A'B'}</math> abgebildet. Dabei gilt: <math>S_g(A)=A'</math> und <math>S_g(B)=B'</math>.<br />
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Die Länge der Strecke <math>\overline{A'B'}</math>, die bei der Geradenspiegelung <math>S_g(\overline{AB}) </math> entsteht ist gleich der Länge der Strecke <math>\overline{AB}</math>.<br />
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==== Satz V.4 (Halbgeradentreue der Geradenspiegelung <math>S_g </math>): ====
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Bei der Geradenspiegelung <math>S_g </math> wird eine Halbgerade <math>\ AB^{+}</math>  auf eine Halbgerade <math>\ A'B'^{+}</math>  abgebildet. Dabei gilt: <math>S_g(A)=A'</math> und <math>S_g(B)=B'</math>.<br />
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==== Satz V.5 (Geradentreue der Geradenspiegelung <math>S_g </math>): ====
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Bei der Geradenspiegelung <math>S_g </math> wird eine Gerade <math>\ AB</math>  auf eine Gerade <math>\ A'B'</math>  abgebildet. Dabei gilt: <math>S_g(A)=A'</math> und <math>S_g(B)=B'</math>.<br />
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==== Satz V.6 (Winkeltreue der Geradenspiegelung <math>S_g </math>): ====
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Bei der Geradenspiegelung <math>S_g </math> wird ein Winkel <math>\angle ABC</math>  auf einen Winkel <math>\angle A'B'C'</math> abgebildet. Dabei stimmen die Winkelmaße beider Winkel überein.<br />
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==== Satz V.7 (Parallelentreue der Geradenspiegelung <math>S_g </math>): ====
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Bei der Geradenspiegelung <math>S_g </math> werden zueinander parallele Geraden ''g'' und ''h'' auf zwei zueinander parallele Geraden ''g''' und ''h''' abgebildet.<br />
 
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Aktuelle Version vom 12. Juni 2012, 08:22 Uhr

Im Folgenden werden wir uns mit Geometrie in der Ebene beschäftigen. Speziell betrachten wir so genannte Abbildungen der Ebene auf sich selbst und hier wiederum nur ganz bestimmte Abbildungen, die so genannten Kongruenzabbildungen.

Inhaltsverzeichnis

Definition V.1 : (Abbildung \varphi )

Eine Zuordnung, die jedem Punkt P der Ebene eindeutig einen Bildpunkt P' zuordnet, nennt man Abbildung.
Schreibweise: Fehler beim Parsen(Lexikalischer Fehler): P'=\varphi\(P)



Definition V.2 : (involutorische Abbildung)

Eine Abbildung \varphi, die bei zweifacher Ausführung (\varphi (\varphi )) wieder zum Ursprungsbild führt (identische Abbildung), nennt man involutorisch oder involutorische Abbildung.

Definition V.3 : (Geraden- oder Achsenspiegelung S_g)

Gegeben sei eine Gerade g in der Ebene. Die Geraden- oder Achsenspiegelung S_g ist die Abbildung der Ebene auf sich selbst, die nach folgender Abbildungsvorschrift jeden Punkt P seinem Bildpunkt P' zuordnet.
  1. \forall P\in g\Rightarrow P=P'
  2. \forall P\not\in g\Rightarrow PP'\perp \ g \wedge \left| PS \right|=\left| P'S \right| mit \left\{ {S} \right\}=\ g \cap PP'



Nutzen Sie die folgende GeoGebra-Applikation um den Punkt P an der Geraden g zu spiegeln. Verschieben den Punkt P bzw. die Gerade g um die Definition der Geradenspiegelung nachzuvollziehen.



Konstruktion der Geradenspiegelung mit Zirkel und Lineal

Erinnern Sie sich an Ihre Schulzeit zurück: Wie haben Sie in der Schule mit Zirkel und Lineal eine Geradenspiegelung angefertigt?
Ihre Beschreibung (gerne auch als Bild):

Definition V.4 : (Fixpunkte)

Wenn bei einer Abbildung \varphi ein Bildpunkt P' mit seinem Urbild P zusammenfällt (P wird auf sich selbst abgebildet), dann heißt P Fixpunkt der Abbildung \varphi.
formal: P=\varphi (P)=P'

Aufgabe: Welche Punkte sind bei der Geradenspiegelung Fixpunkte?

alle Punkte P, mit: P\in g--Schnirch 09:15, 12. Jun. 2012 (CEST) (erarbeitet in der Vorlesung)

Definition V.5 : (Fixgerade)

Wenn bei einer Abbildung \varphi eine Bildgerade g' mit ihrem Urbild g zusammenfällt, dann heißt g Fixgerade der Abbildung \varphi.

Aufgabe: Gibt es Fixgeraden bei der Geradenspiegelung und welche sind dies ggf.?

alle Geraden, die senkrecht auf der Spiegelgeraden g stehen sind Fixgeraden und g selbst ist Fixgerade. --Schnirch 09:18, 12. Jun. 2012 (CEST)

Definition V.6 : (Fixpunktgerade)

Wenn jeder Punkt P einer Fixgeraden g auf sich selbst abgebildet wird, so ist die Fixgerade g auch Fixpunktgerade.

Aufgabe: Gibt es Fixpunktgeraden bei der Geradenspiegelung und welche sind dies ggf.?

die Spiegelgerade g ist Fixpunktgerade--Schnirch 09:22, 12. Jun. 2012 (CEST)

Eigenschaften einer Geradenspiegelung

  • abstandserhaltend: Der Abstand \left| A'B' \right| zweier Bildpunkte A und B ist gleich dem Abstand \left| AB \right| der beiden Urbilder A und B.
  • winkelmaßerhaltend: hier gilt analog: \left| \angle ABC \right|= \left| \angle A'B'C' \right|

diese beiden Eigenschaften lassen sich axiomatisch begründen, was wir hier aber nicht weiter vertiefen wollen. Alle weiteren Eigenschaften lassen sich aus der Abstands- und Winkelmaßerhaltung ableiten.

Satz V.1 :

Die Geradenspiegelung S_g ist eine involutorische Abbildung, d. h. für alle Punkte A, B der Ebene gilt:

B=S_g (A)\Rightarrow A=S_g (B)

Beweis:

Satz V.2 (Streckentreue der Geradenspiegelung S_g ):

Bei der Geradenspiegelung S_g wird eine Strecke \overline{AB} auf eine Strecke \overline{A'B'} abgebildet. Dabei gilt: S_g(A)=A' und S_g(B)=B'.
Beweis:


Satz V.3 (Längentreue der Geradenspiegelung S_g ):

Die Länge der Strecke \overline{A'B'}, die bei der Geradenspiegelung S_g(\overline{AB}) entsteht ist gleich der Länge der Strecke \overline{AB}.
Beweis:


Satz V.4 (Halbgeradentreue der Geradenspiegelung S_g ):

Bei der Geradenspiegelung S_g wird eine Halbgerade \ AB^{+} auf eine Halbgerade \ A'B'^{+} abgebildet. Dabei gilt: S_g(A)=A' und S_g(B)=B'.
Beweis:

Satz V.5 (Geradentreue der Geradenspiegelung S_g ):

Bei der Geradenspiegelung S_g wird eine Gerade \ AB auf eine Gerade \ A'B' abgebildet. Dabei gilt: S_g(A)=A' und S_g(B)=B'.
Beweis:

Satz V.6 (Winkeltreue der Geradenspiegelung S_g ):

Bei der Geradenspiegelung S_g wird ein Winkel \angle ABC auf einen Winkel \angle A'B'C' abgebildet. Dabei stimmen die Winkelmaße beider Winkel überein.
Beweis:


Satz V.7 (Parallelentreue der Geradenspiegelung S_g ):

Bei der Geradenspiegelung S_g werden zueinander parallele Geraden g und h auf zwei zueinander parallele Geraden g und h abgebildet.
Beweis:

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