Lösung von Zusatzaufgabe 8.4 S: Unterschied zwischen den Versionen

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==Die Aufgabe==
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Seien <math>A, B</math> und <math>Q</math> drei paarweise verschiedene Punkte für die gelte <math>\operatorname{nkoll}(A, B, Q)</math>. Sei g eine Gerade. Beweisen Sie: <br />
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<math>A, B \in \ gQ^{+} \setminus g  \Rightarrow  \overline{AB}  \cap g = \emptyset</math>.<br />
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==Skizze==
 
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Voraussetzung: <br />
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==Voraussetzung, Behauptung==
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(V1) <math>A\neq B\neq Q\neq A</math><br />
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===Voraussetzung:===
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(V2) <math>\operatorname{nkoll}(A, B, C)</math><br />
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::(V1) <math>A\neq B\neq Q\neq A</math><br />
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(V3) Gerade g<br />
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::(V2) <math>\operatorname{nkoll}(A, B, Q)</math><br />
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(V4) <math>A, B \in \ gQ^{+} \setminus g</math><br />
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::(V3) Gerade g<br />
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Behauptung:<br />
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::(V4) <math>A, B \in \ gQ^{+} \setminus g</math><br />
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===Behauptung:===
 
<math>\overline{AB}  \cap g = \emptyset</math><br />
 
<math>\overline{AB}  \cap g = \emptyset</math><br />
 
Beweis folgt..<br />--[[Benutzer:Nummero6|Tchu Tcha Tcha]] 19:22, 15. Jun. 2012 (CEST)
 
Beweis folgt..<br />--[[Benutzer:Nummero6|Tchu Tcha Tcha]] 19:22, 15. Jun. 2012 (CEST)
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===Bemerkungen M.G.===
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Damit sind die Grundlagen für den Beweis korrekt gelegt.
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==Beweis durch Widerspruch von a.b.701==
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===Annahme===
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:: <math>\overline{AB}  \cap g \neq \emptyset</math>
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===Beweis:===
  
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Beweis durch Widerspruch:<br />
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Annahme: <math>\overline{AB}  \cap g \neq \emptyset</math><br />
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!Nr.!!Beweischritt!!Begründung!!Bemerkung M.G.
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Beweis:<br />
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1) <math>\operatorname{nkoll}(A, B, C)</math> (Voraussetzung) <br />
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| 1) || <math>\operatorname{nkoll}(A, B, C)</math>|| Voraussetzung || korrekt, vielleicht genauer (V2)
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2) Es existiert ein Dreieck <math>\overline{ABQ} </math> (1))<br />
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3) <math>\overline{AB}  \cap g \neq \emptyset</math> (Annahme)<br />
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| 2) || Es existiert ein Dreieck <math>\overline{ABQ} </math> ||(1) || besser: Es existiert das Dreieck <math>\overline{ABQ}</math>. Die drei Punkte <math>A, B, Q</math> waren jetzt ja bestimmt. Weil sie nicht kollinear sind, sind sie die Eckpunkte eines Dreiecks. Siehe Definition des Begriffs Dreieck, muss hier aber nicht mehr explizit aufgeführt werden.
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4) ( <math>\overline{AQ}  \cap g = \emptyset</math> und <math>\overline{BQ}  \cap g \neq \emptyset</math>)<br />
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  oder<br />
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| 3)||<math>\overline{AB}  \cap g \neq \emptyset</math>||(Annahme)|| korrekt
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  ( <math>\overline{BQ}  \cap g = \emptyset</math> und <math>\overline{AQ}  \cap g \neq \emptyset</math>)  (3), Axiom von Pasch)<br />
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5) Widerspruch zur Voraussetzung:<br />
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|4)||<math>\overline{AQ}  \cap g = \emptyset</math> und <math>\overline{BQ}  \cap g \neq \emptyset</math> <br /> oder <br /> <math>\overline{BQ}  \cap g = \emptyset</math> und <math>\overline{AQ}  \cap g \neq \emptyset</math>||Axiom von Pasch|| Das ist so korrekt. Besser wäre es noch, wenn Schritt 3) mit zur Begründung angegeben wird. Letztlich können wir ja nur deshalb behaupten, dass eine weitere Seite von <math>\overline{ABQ}</math> durch <math>g</math> geschnitten wird, weil bereits eine Seite nach Schritt 3) durch <math>g</math> geschnitten wird. <br /> Für unseren Beweis wäre es aber auch ausreichend zu schreiben, dass jetzt <math>\overline{AQ}</math> oder <math>\overline{BQ}</math> durch <math>g</math> geschnitten werden.<br />Also:<br /><math>\overline{AQ} \cap g \not= \emptyset \vee \overline{BQ} \cap g \not= \emptyset</math><br />Es ist natürlich richtig, dass wenn etwa <math>\overline{AQ}</math> durch <math>g</math> geschnitten wird <math>\overline{BQ}</math> nicht mehr durch <math>g</math> geschnitten werden kann, für unseren Beweis ist das jedoch belanglos.
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    <math>\overline{AQ}  \cap g = \emptyset</math> und <math>\overline{BQ}  \cap g = \emptyset</math>  (4), Vor: <math>A, B \in \ gQ^{+} \setminus g</math> )<br />
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| 5) || Widerspruch zur Voraussetzung:<br /><math>\overline{AQ}  \cap g = \emptyset</math> und <math>\overline{BQ}  \cap g = \emptyset</math>  (4), Vor: <math>A, B \in \ gQ^{+} \setminus g</math>|| .. || Das ist so korrekt. Weil unsere beiden Punkte Punkte <math>A</math> und <math>B</math> ja mit dem Punkt <math>Q</math> bezüglich <math>g</math> in derselben Halbebene liegen, kann weder  die Strecke <math>\overline{AQ}</math> noch die Strecke <math>\overline{BQ}</math> entsprechend der Definition offene Halbebene mit <math>g</math> einen Punkt gemeinsam haben.
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|}
 
Behauptung folgt ! <math>\overline{AB}  \cap g = \emptyset</math><br />
 
Behauptung folgt ! <math>\overline{AB}  \cap g = \emptyset</math><br />
 
--[[Benutzer:a.b.701|a.b.701]] 13:40, 16. Jun. 2012 (CEST)
 
--[[Benutzer:a.b.701|a.b.701]] 13:40, 16. Jun. 2012 (CEST)
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===Weitere Bemerkungen von M.G. zum Beweis von a.b.701===
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Der Beweis ist korrekt geführt. Es fehlt vielleicht nur eine Kleinigkeit: Das Axiom von Pasch dürfen wir auf <math>\overline{ABQ}</math> nur anwenden, wenn klar ist, dass die Eckpunkte <math>A, B, Q</math> nicht auf <math>g</math> liegen. Das folgt aber unmittelbar daraus, dass es sich entsprechend der Voraussetzung um Punkte der offenen Halbebene <math>gQ^{+}</math> handelt.
  
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Der letzte Schritt wäre vielleicht einfacher gewesen, wenn Sie die Voraussetzungen (V.I) <math>A \in gQ^+\setminus g</math> und (V.II)<math>A \in gQ^+\setminus g</math> übersetzt hätten
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{| class="wikitable"
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!Nr.!!Beweisschritt!!Begründung
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| 0 || <math>\overline{AQ} \cap g = \emptyset \wedge \overline{BQ} \cap g = \emptyset</math>||(V.I) und (V.II) und Definition Halbebene
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| ... || ...||...
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===Frage von Luca 123===
 
@a.b.701: A)Muss in der Begründung in deinem Schritt 1 neben der Vor. nicht auch noch Def. I/2 stehen?  
 
@a.b.701: A)Muss in der Begründung in deinem Schritt 1 neben der Vor. nicht auch noch Def. I/2 stehen?  
 
B)Folgt dann im Schritt 2 logisch, dass die Punkte A,B,C ein Dreieck bilden? Oder muss man hier noch einen Zwischenschritt machen. Vielleicht über die Dreiecksungleichung als Begründung?  
 
B)Folgt dann im Schritt 2 logisch, dass die Punkte A,B,C ein Dreieck bilden? Oder muss man hier noch einen Zwischenschritt machen. Vielleicht über die Dreiecksungleichung als Begründung?  
 
--[[Benutzer:Luca123|Luca123]] 18:37, 17. Jun. 2012
 
--[[Benutzer:Luca123|Luca123]] 18:37, 17. Jun. 2012
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===Bemerkung von Sissy66===
 
Ich hätte in Schritt 1 auch zusätzlich noch die Def. I/2 dazu geschrieben. Ich denke aber, dass es nicht zwingend notwendig ist,  
 
Ich hätte in Schritt 1 auch zusätzlich noch die Def. I/2 dazu geschrieben. Ich denke aber, dass es nicht zwingend notwendig ist,  
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da es sich hier in diesem Fall nur aus der Voraussetzung ergibt. (?)--[[Benutzer:Sissy66|Sissy66]] 23:51, 17. Jun. 2012 (CEST)
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da es sich hier in diesem Fall nur aus der Voraussetzung ergibt. (?)--[[Benutzer:Sissy66|Sissy66]] 23:51, 17. Jun. 2012 (CEST)<br />
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Ich denke, dass die Begründung bei Schritt (1) so reicht, da nach Voraussetzung nkoll (A,B,Q) gelten muss.--[[Benutzer:Nummero6|Tchu Tcha Tcha]] 17:44, 18. Jun. 2012 (CEST)
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[[Kategorie:Einführung_S]]

Aktuelle Version vom 18. Juni 2012, 17:48 Uhr

Inhaltsverzeichnis

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Die Aufgabe

Seien A, B und Q drei paarweise verschiedene Punkte für die gelte \operatorname{nkoll}(A, B, Q). Sei g eine Gerade. Beweisen Sie:
A, B \in \ gQ^{+} \setminus g \Rightarrow \overline{AB} \cap g = \emptyset.

Skizze

Skizze 8.1.pdf

Voraussetzung, Behauptung

Voraussetzung:

(V1) A\neq B\neq Q\neq A
(V2) \operatorname{nkoll}(A, B, Q)
(V3) Gerade g
(V4) A, B \in \ gQ^{+} \setminus g

Behauptung:

\overline{AB} \cap g = \emptyset
Beweis folgt..
--Tchu Tcha Tcha 19:22, 15. Jun. 2012 (CEST)

Bemerkungen M.G.

Damit sind die Grundlagen für den Beweis korrekt gelegt.

Beweis durch Widerspruch von a.b.701

Annahme

\overline{AB} \cap g \neq \emptyset

Beweis:

Nr. Beweischritt Begründung Bemerkung M.G.
1) \operatorname{nkoll}(A, B, C) Voraussetzung korrekt, vielleicht genauer (V2)
2) Es existiert ein Dreieck \overline{ABQ} (1) besser: Es existiert das Dreieck \overline{ABQ}. Die drei Punkte A, B, Q waren jetzt ja bestimmt. Weil sie nicht kollinear sind, sind sie die Eckpunkte eines Dreiecks. Siehe Definition des Begriffs Dreieck, muss hier aber nicht mehr explizit aufgeführt werden.
3) \overline{AB} \cap g \neq \emptyset (Annahme) korrekt
4) \overline{AQ} \cap g = \emptyset und \overline{BQ} \cap g \neq \emptyset
oder
\overline{BQ} \cap g = \emptyset und \overline{AQ} \cap g \neq \emptyset		 Axiom von Pasch Das ist so korrekt. Besser wäre es noch, wenn Schritt 3) mit zur Begründung angegeben wird. Letztlich können wir ja nur deshalb behaupten, dass eine weitere Seite von \overline{ABQ} durch g geschnitten wird, weil bereits eine Seite nach Schritt 3) durch g geschnitten wird.
Für unseren Beweis wäre es aber auch ausreichend zu schreiben, dass jetzt \overline{AQ} oder \overline{BQ} durch g geschnitten werden.
Also:
\overline{AQ} \cap g \not= \emptyset \vee \overline{BQ} \cap g \not= \emptyset
Es ist natürlich richtig, dass wenn etwa \overline{AQ} durch g geschnitten wird \overline{BQ} nicht mehr durch g geschnitten werden kann, für unseren Beweis ist das jedoch belanglos.
5) Widerspruch zur Voraussetzung:
\overline{AQ} \cap g = \emptyset und \overline{BQ} \cap g = \emptyset (4), Vor: A, B \in \ gQ^{+} \setminus g		 .. Das ist so korrekt. Weil unsere beiden Punkte Punkte A und B ja mit dem Punkt Q bezüglich g in derselben Halbebene liegen, kann weder die Strecke \overline{AQ} noch die Strecke \overline{BQ} entsprechend der Definition offene Halbebene mit g einen Punkt gemeinsam haben.

Behauptung folgt ! \overline{AB} \cap g = \emptyset
--a.b.701 13:40, 16. Jun. 2012 (CEST)

Weitere Bemerkungen von M.G. zum Beweis von a.b.701

Der Beweis ist korrekt geführt. Es fehlt vielleicht nur eine Kleinigkeit: Das Axiom von Pasch dürfen wir auf \overline{ABQ} nur anwenden, wenn klar ist, dass die Eckpunkte A, B, Q nicht auf g liegen. Das folgt aber unmittelbar daraus, dass es sich entsprechend der Voraussetzung um Punkte der offenen Halbebene gQ^{+} handelt.

Der letzte Schritt wäre vielleicht einfacher gewesen, wenn Sie die Voraussetzungen (V.I) A \in gQ^+\setminus g und (V.II)A \in gQ^+\setminus g übersetzt hätten

Nr. Beweisschritt Begründung
0 \overline{AQ} \cap g = \emptyset \wedge \overline{BQ} \cap g = \emptyset (V.I) und (V.II) und Definition Halbebene
... ... ...

Frage von Luca 123

@a.b.701: A)Muss in der Begründung in deinem Schritt 1 neben der Vor. nicht auch noch Def. I/2 stehen? B)Folgt dann im Schritt 2 logisch, dass die Punkte A,B,C ein Dreieck bilden? Oder muss man hier noch einen Zwischenschritt machen. Vielleicht über die Dreiecksungleichung als Begründung? --Luca123 18:37, 17. Jun. 2012

Bemerkung von Sissy66

Ich hätte in Schritt 1 auch zusätzlich noch die Def. I/2 dazu geschrieben. Ich denke aber, dass es nicht zwingend notwendig ist, da es sich hier in diesem Fall nur aus der Voraussetzung ergibt. (?)--Sissy66 23:51, 17. Jun. 2012 (CEST)
Ich denke, dass die Begründung bei Schritt (1) so reicht, da nach Voraussetzung nkoll (A,B,Q) gelten muss.--Tchu Tcha Tcha 17:44, 18. Jun. 2012 (CEST)

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