Lösung von Aufgabe 12.2P (SoSe 12): Unterschied zwischen den Versionen
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Beweisen Sie den Innenwinkelsatz für Dreiecke mit Hilfe zweier Punktspiegelungen. | Beweisen Sie den Innenwinkelsatz für Dreiecke mit Hilfe zweier Punktspiegelungen. | ||
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| + | 1. Konstruire Parallele zur Strecke AB durch C (Parallelenaxiom) | ||
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| + | 2. Alpha´=D (M1,180) (Alpha) (Def. Punktspiegelung) | ||
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| + | 3. Beta´=D (M2,180) (Beta) (Def. Punktspiegelung) | ||
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| + | 4. alpha=alpha`(winkeltreue) (2.) | ||
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| + | 5. beta=beta´(winkeltreue)(3.) | ||
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| + | 6. alpha´+gamma+beta`=180° (Def. gestreckter Winkel 4.5.) q.e.d.--[[Benutzer:Geogeogeo|Geogeogeo]] 12:39, 16. Jul. 2012 (CEST)<br /> | ||
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| + | Die Beweisidee ist ganz richtig, aber der Beweis so noch nicht.<br /> | ||
| + | Ist dir aufgefallen, dass du Schritt 1 nicht mehr zur Begründung verwendest? Für was machst du diesen dann?<br /> | ||
| + | Woher weißt du, dass der Winkel Alpha' auch wirklich der gedrehte Winkel ist bzw. dass der Schenkel des Winkels auf der Parallelen liegt? --[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 13:23, 16. Jul. 2012 (CEST) | ||
| + | <br /><br />weil geraden bei einer punktspiegelung auf parallelen geraden abgebildet werden und es nur eine parallele gerade durch einen punkt gibt <br />--[[Benutzer:Studentin|Studentin]] 22:25, 16. Jul. 2012 (CEST)<br /><br /> | ||
| + | das rote dreieck wird zweimal im mittelpunkt der seiten ab und ac gespiegelt | ||
| + | <ggb_applet width="1580" height="751" version="4.0" ggbBase64="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" showResetIcon = "false" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" /><br />--[[Benutzer:Studentin|Studentin]] 16:26, 13. Jul. 2012 (CEST)<br /><br /> | ||
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| + | Gestern gab es in der Übung von 12-14 Uhr noch einige offene Fragen bzgl. der Beweisführung. Es kam u.a. die Frage auf, ob es nicht schneller und einfacher ohne Punktspiegelungen, nur mit dem Parallelenaxiom geht. | ||
| + | Deshalb hier die Lösungen für beide Varianten: | ||
| + | Variante 1 mit und Variante 2 ohne Punktspiegelungen. | ||
| + | Man muss dazusagen, dass Variante 2 streng genommen nicht ganz sauber ist, da wir mit dem Parallelenaxiom nur die Eindeutigkeit belegen. Die Existenz paralleler Geraden durch einen Punkt haben wir nämlich nicht bewiesen. Deshalb ist Variante 1 genauer.<br /> | ||
| + | [[Datei:12.2 Lösung.pdf]] --[[Benutzer:Tutor M.S.|Tutor M.S.]] 11:58, 20. Jul. 2012 (CEST) | ||
[[Kategorie:Einführung_P]] | [[Kategorie:Einführung_P]] | ||
Aktuelle Version vom 20. Juli 2012, 10:58 Uhr
Beweisen Sie den Innenwinkelsatz für Dreiecke mit Hilfe zweier Punktspiegelungen.
1. Konstruire Parallele zur Strecke AB durch C (Parallelenaxiom)
2. Alpha´=D (M1,180) (Alpha) (Def. Punktspiegelung)
3. Beta´=D (M2,180) (Beta) (Def. Punktspiegelung)
4. alpha=alpha`(winkeltreue) (2.)
5. beta=beta´(winkeltreue)(3.)
6. alpha´+gamma+beta`=180° (Def. gestreckter Winkel 4.5.) q.e.d.--Geogeogeo 12:39, 16. Jul. 2012 (CEST)
Die Beweisidee ist ganz richtig, aber der Beweis so noch nicht.
Ist dir aufgefallen, dass du Schritt 1 nicht mehr zur Begründung verwendest? Für was machst du diesen dann?
Woher weißt du, dass der Winkel Alpha' auch wirklich der gedrehte Winkel ist bzw. dass der Schenkel des Winkels auf der Parallelen liegt? --Tutorin Anne 13:23, 16. Jul. 2012 (CEST)
weil geraden bei einer punktspiegelung auf parallelen geraden abgebildet werden und es nur eine parallele gerade durch einen punkt gibt
--Studentin 22:25, 16. Jul. 2012 (CEST)
das rote dreieck wird zweimal im mittelpunkt der seiten ab und ac gespiegelt
--Studentin 16:26, 13. Jul. 2012 (CEST)
Gestern gab es in der Übung von 12-14 Uhr noch einige offene Fragen bzgl. der Beweisführung. Es kam u.a. die Frage auf, ob es nicht schneller und einfacher ohne Punktspiegelungen, nur mit dem Parallelenaxiom geht.
Deshalb hier die Lösungen für beide Varianten:
Variante 1 mit und Variante 2 ohne Punktspiegelungen.
Man muss dazusagen, dass Variante 2 streng genommen nicht ganz sauber ist, da wir mit dem Parallelenaxiom nur die Eindeutigkeit belegen. Die Existenz paralleler Geraden durch einen Punkt haben wir nämlich nicht bewiesen. Deshalb ist Variante 1 genauer.
--Tutor M.S. 11:58, 20. Jul. 2012 (CEST)
