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| − | == Formatierungshilfen und -erinnerungen ==
| + | :::::<math>\star</math><br /> |
| − | [http://wiki.zum.de/Hilfe:TeX Hilfe zu LaTeX]<br />
| + | [[Datei:Sternchen blau.png]] |
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| − | {| class="wikitable"
| + | == Formatierungshilfen == |
| − | |-
| + | [http://wiki.zum.de/Hilfe:TeX Hilfe zu LaTeX]<br /> |
| − | | '''Schritt''' || '''Begründung'''
| + | <math>\varphi</math> (dieses kleine phi heißt \varphi) |
| − | |-
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| − | |1)
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| − | ||Voraussetzung
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| − | |2)
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| − | ||(1)
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| − | |-
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| − | |3)
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| − | ||
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| − | |4)
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| − | ||
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| − | |5)
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| − | ||
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| − | |6)
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| − | ||
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| − | |}
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| − | <br /> | + | |
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| − | == Eine kleine Zusammenfassung == | + | {| class="wikitable " |
| − | === Klasseneinteilung ===
| + | |+ Beweis |
| − | :Es sei <math>M</math> eine Menge und <math>K=\{ T_1, T_2, T_3, ..., T_n, ...\} </math> eine Menge von Teilmengen von <math>M</math>.
| + | ! Nr. |
| − | :<math>K</math> ist eine Klasseneinteilung von <math>M</math>, wenn gilt:
| + | ! Beweisschritt |
| − | :# notwendige Bedingung 1: Keine der Teilmengen ist die leere Menge.
| + | ! Begründung |
| − | :# notwendige Bedingung 2: Je zwei Teilmengen sind disjunkt.
| + | |- |
| − | :# notwendige Bedingung 3: Die Vereinigung aller Teilmengen ergibt wieder die Menge <math>M</math>.
| + | ! style="background: #FFDDDD;"|(I) |
| − | ::Mengen sind disjunkt, wenn die Schnittmenge dieser Mengen die leere Menge ist, bzw. die Mengen keine gemeinsamen Objekte besitzen.<br />
| + | | Element |
| − | === Relationen ===
| + | | Voraussetzung |
| − | <u>Definition: (n-stellige Relation)</u>
| + | |- |
| − | :Es seien <math> M_1,\ M_2,\ M_3,\ ...,\ M_n\ n</math> Mengen, wobei keine dieser Mengen die leere Menge ist. Jede Teilmenge aus <math> M_1 \times M_2 \times M_3 ...\times M_n </math> ist eine <math>\ n-</math>stellige Relation.<br />
| + | ! style="background: #FFDDDD;"|(II) |
| − | <u>Definition: (Äquivalenzrelation)</u>
| + | | Element |
| − | :Eine Relation <math>\ R</math> in einer Menge <math>\ M</math> heißt ''Äquivalenzrelation'', wenn sie reflexiv, symmetrisch und transitiv ist.<br />
| + | | Element |
| − | === Axiomatik === | + | |- |
| − | ==== Axiome ====
| + | ! style="background: #FFDDDD;"|(III) |
| − | =====AXIOM I/0=====
| + | | Element |
| − | :Geraden und Ebenen sind Punktmengen. | + | | Element |
| − | =====AXIOM I/1(Axiom von der Geraden)=====
| + | |- |
| − | :Zu zwei beliebigen verschiedenen Punkten gibt es genau eine Gerade, die die beiden Punkte enthält.
| + | ! style="background: #FFDDDD;"|(IV) |
| − | =====AXIOM I/2=====
| + | | Element |
| − | :Zu jeder Geraden gibt es wenigstens zwei Punkte, die dieser Geraden angehören.
| + | | Element |
| − | =====AXIOM I/3=====
| + | |- |
| − | :Es gibt wenigstens 3 Punkte, die nicht kollinear sind.
| + | ! style="background: #FFDDDD;"|(V) |
| − | =====Axiom I/4=====
| + | | Element |
| − | :Zu je drei nichtkollinearen Punkten gibt es genau eine Ebene, die diese drei Punkte enthält. Jede Ebene enthält (wenigstens) einen Punkt.
| + | | Element |
| − | =====Axiom I/5=====
| + | |} |
| − | :Wenn zwei Punkte einer Geraden ''g'' in einer Ebene ''E ''liegen, so gehört g zu ''E''.
| + | |
| − | =====Axiom I/6=====
| + | |
| − | :Wenn zwei Ebenen einen Punkt gemeinsam haben, so haben sie noch mindestens einen weiteren Punkt gemeinsam.
| + | |
| − | =====Axiom I/7===== | + | |
| − | :Es gibt vier Punkte, die nicht komplanar sind.
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| − | ==== Definitionen ====
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| − | =====Definition I/2: (kollinear)=====
| + | |
| − | :Eine Menge von Punkten heißt kollinear, wenn es eine Gerade gibt, die alle Punkte der Menge enthält.
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| − | :Schreibweise: koll(''A, B, C,'' ...) Sollten die Punkte ''A, B, C'' einer Menge nicht kollinear sein, so schreibt man:nkoll(''A, B, C)''
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| − | =====Definition I/3: (Inzidenz Punkt Ebene)=====
| + | |
| − | :Ein Punkt ''P'' inzidiert mit einer Ebene ''E'', wenn ''P'' ein Element der Ebene ''E'' ist.
| + | |
| − | =====Definition I/4: (Inzidenz Gerade Ebene)=====
| + | |
| − | :Eine Gerade ''g'' gehört zu einer Ebene ''E'', wenn jeder Punkt von ''g'' zu ''E'' gehört.
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| − | =====Definition I/5: (Raum)===== | + | |
| − | :Die Menge aller Punkte P wird Raum genannt.
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| − | =====Definition I/6: (komplanar)=====
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| − | :Eine Menge von Punkten heißt komplanar, wenn es eine Ebene gibt, die alle Punkte der Menge enthält. Schreibweise: komp(''A'', ''B'', ''C, D, ...'') (analog nkomp(..) für nicht komplanar)
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| − | =====Definition I/7: (komplanar für Geraden)===== | + | |
| − | :Zwei Geraden'' g ''und ''h'' sind komplanar, wenn es eine Ebene gibt, in der beide Geraden vollständig liegen.
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| − | :Schreibweise: komp(g, h)
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| − | =====Definition I/8: (Geradenparallelität)=====
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| − | :Zwei Geraden ''g'' und ''h'' sind parallel, wenn sie identisch oder komplanar und schnittpunktfrei sind.
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| − | :In Zeichen: ''g''||''h''.
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| − | =====Definition I/9: (windschief )===== | + | |
| − | :Zwei Geraden ''g'' und ''h'' sind windschief, wenn sie schnittpunktfrei und nicht parallel sind.
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| − | =====Definition I/10: (parallel für Ebenen)=====
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| − | :Zwei Ebene ''E''<sub>1</sub> und ''E''<sub>2</sub> sind parallel, wenn sie keinen Punkt gemeinsam haben.
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| − | ==== Sätze ====
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| − | =====Satz I.1=====
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| − | :Es seien ''g'' und ''h'' zwei Geraden. Wenn ''g'' und ''h'' nicht identisch sind, haben sie höchstens einen Punkt gemeinsam.
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| − | =====Satz I.2: (Kontraposition von Satz I.1)=====
| + | |
| − | :Es seien ''g'' und ''h'' zwei Geraden.
| + | |
| − | :Wenn ''g'' und ''h'' mehr als einen Punkt gemeinsam haben, so sind ''g'' und ''h'' identisch.
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| − | ===== Satz I.3: (Existenz von drei Geraden)=====
| + | |
| − | :Es existieren mindestens drei paarweise verschiedene Geraden.
| + | |
| − | =====Satz I.5:=====
| + | |
| − | :Zwei voneinander verschiedene Ebenen haben entweder keinen Punkt oder eine Gerade gemeinsam, auf der alle gemeinsamen Punkte beider Ebenen liegen.
| + | |
| − | =====Satz I.6:=====
| + | |
| − | :Eine Ebene und eine nicht in ihr liegende Gerade haben höchstens einen Punkt gemeinsam.
| + | |
| − | =====Satz I.7:=====
| + | |
| − | :Jede Ebene enthält (wenigstens) drei Punkte.
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(dieses kleine phi heißt \varphi)
