Winkel und Winkelmessung: Unterschied zwischen den Versionen

Aus Geometrie-Wiki
Wechseln zu: Navigation, Suche
(Die Seite wurde neu angelegt: = Winkel und Winkelmessung = == Begriff des Winkels == === Identifizieren von Winkeln === ==== Repräsentanten und Gegenrepräsentanten ==== In welchen Fällen sind die...)
 
(→‎Beweis von satz V.1)
 
(47 dazwischenliegende Versionen von 2 Benutzern werden nicht angezeigt)
Zeile 28: Zeile 28:
  
 
Aufgabe: Ergänzen Sie Tabelle 1 durch weitere Repräsentanten bzw. Gegenrepräsentanten zur Erarbeitung des Winkelbegriffs.
 
Aufgabe: Ergänzen Sie Tabelle 1 durch weitere Repräsentanten bzw. Gegenrepräsentanten zur Erarbeitung des Winkelbegriffs.
 +
 +
[http://www.ph-heidelberg.de/wp/gieding/Lehre/didaktik_5_8/flash/Trapez_Erarbeitung_drag.html Zum besseren Verständnis: Analoge Erarbeitung des Begriffs Trapez:]
  
 
=== Realisieren von Winkeln ===
 
=== Realisieren von Winkeln ===
Zeile 74: Zeile 76:
  
 
|}
 
|}
 +
==== Die Idee des gerichteten Winkels ====
 +
Gerichtete Winkel werden in der Einführung in die Geometrie keine Rolle spielen. Trotzdem dürfen Sie hier ergänzen, was denn ein gerichtetet Winkel wäre.
 +
 
=== Das Innere eines Winkels ===
 
=== Das Innere eines Winkels ===
 +
==== So ist es zu verstehen ====
 +
[[Bild:Inneres_winkel.png | 400 px]]
 +
 +
[http://www.ph-heidelberg.de/wp/gieding/lehre/Geometrieeinfuehrung/Wiki/Flash/Inneres_eines_Winkels.htm Flashapplikation]
 +
==== Definition des Inneren eines Winkels ====
 +
===== Definition V.2: (Inneres eines Winkels) =====
 +
::Das Innere eines Winkels <math>\angle ASB</math> ist der Schnitt ...der beiden Halbebenen <math>\ SA,B^+</math> und <math>\ SB,A^+</math>
 +
--[[Benutzer:Principella|Principella]] 10:47, 12. Jun. 2010 (UTC)
 +
Passt nicht ganz: <math>\ SB,A^-</math> ist das so gewollt oder ein Tippfehler? --[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 14:03, 13. Jun. 2010 (UTC)
 +
 +
===== Satz V.1 =====
 +
:: Das Innere eines Winkels ist konvex.
 +
===== Beweis von Satz V.1 =====
 +
::trivial entsprechend Satz IV., Satz IV.3 und der Definition V.2
 +
 +
==== Überstumpfe Winkel? ====
 +
Bemerkung: Entsprechend Definition V.2 beinhaltet unsere Geometrie keine überstumpfen Winkel.
 +
== Scheitelwinkel und Nebenwinkel ==
 +
=== Scheitelwinkel ===
 +
==== Beispiele und Gegenbeispiele ====
 +
==== Definition ====
 +
===== Definition V.3: (Scheitelwinkel) =====
 +
::Die Winkel <math>\angle SA^+,SB^+</math> und <math>\angle SA^-,SB^-</math> sind Scheitelwinkel.
 +
 +
=== Nebenwinkel ===
 +
==== Beispiele und Gegenbeispiele ====
 +
==== Definition ====
 +
===== Definition V.4: (Nebenwinkel) =====
 +
::Die Winkel <math>\angle SA^+,SB^+</math> und <math>\angle SA^-,SB^+</math> sind Nebenwinkel.
 +
 +
== Winkelmessung ==
 +
=== Das Winkelmaß ===
 +
==== Was bedeutet es, die Größe eines Winkels zu messen? ====
 +
 +
{| class="wikitable center"
 +
|-
 +
| Länge einer Strecke || Größe eines Winkels
 +
|-
 +
| nichtnegative reelle Zahl || reelle Zahl zwischen 0 und 180
 +
|}
 +
 +
==== Das Winkelmaßaxiom ====
 +
===== Axiom IV.1 (Winkelmaßaxiom) =====
 +
::Zu jedem Winkel <math>\ \alpha</math> gibt es genau eine reelle Zahl <math>\ \omega</math> zwischen 0 und 180.
 +
 +
=====Definition V.4: (Größe eines Winkels) =====
 +
:: Die Zahl <math>\ \omega</math>, die entsprechend des Winkelmaßaxioms einem jeden Winkel <math>\ \alpha</math> eindeutig zugeordnet werden kann, wird die Größe oder  das Maß von <math>\ \alpha</math> genannt.<br />In Zeichen: <math>\omega = \left| \alpha \right|</math>.
 +
 +
=== Winkelkonstruktion ===
 +
==== Existenz und Eindeutigkeit des Winkelantragens ====
 +
===== Axiom IV.2: (Winkelkonstruktionsaxiom) =====
 +
:: Es sei <math>\ g \equiv SA</math> eine Gerade in der Ebene <math>\ \Epsilon</math>. Zu jedem Winkel <math>\ \alpha</math> gibt es in jeder der beiden durch <math>\ g</math> bestimmten Halbebenen der Ebene <math>\ \Epsilon</math> genau einen Strahl <math>\ SB^+</math> mit <math>\ \left| \alpha \right| = \left| \angle ASB \right|</math>
 +
=== Winkeladdition ===
 +
===== Axiom IV.3: (Winkeladditionsaxiom)=====
 +
::Wenn der Punkt <math>\ P</math> zum Inneren des Winkels <math>\ \angle ASB</math> gehört, dann gilt <math>\ \left| \angle ASP \right| + \left| \angle PSB \right| = \left| \angle ASB \right|</math>.
 +
===== Satz V.2 =====
 +
::Wenn der Punkt <math>\ P</math> im Inneren des Winkels <math>\ \angle ASB</math> liegt, dann ist die Größe der beiden Teilwinkel <math>\ \angle ASP</math> und <math>\ \angle PSB</math> jeweils kleiner als die Größe des Winkels <math>\ \angle ASB</math>.
 +
===== Beweis von Satz V.2 =====
 +
 +
=== Rechte Winkel ===
 +
===== Definition V.5 : (Rechter Winkel) =====
 +
::Wenn ein Winkel die selbe Größe wie einer seiner Nebenwinkel hat, so ist er ein rechter Winkel.
 +
 +
===== Definition V.6 : (Supplementärwinkel) =====
 +
:: Zwei Winkel, deren Größen zusammen 180 ergeben, sind supplementär.
 +
 +
===== Axiom IV.4: (Supplementaxiom) =====
 +
::Nebenwinkel sind supplementär.
 +
===== Satz V. : (Existenz von rechten Winkeln) =====
 +
::Es gibt rechte Winkel.

Aktuelle Version vom 14. Juni 2010, 03:56 Uhr

Inhaltsverzeichnis

Winkel und Winkelmessung

Begriff des Winkels

Identifizieren von Winkeln

Repräsentanten und Gegenrepräsentanten

In welchen Fällen sind die jeweils blau gefärbten Punktmengen Modelle für Winkel?

Winkel 01.svg Winkel 02.svg Winkel 03.svg Winkel 04.svg
Punktmenge 1 Punktmenge 2 Punktmenge 3 Punktmenge 4
Winkel 05.svg Winkel 06.svg Winkel 07.svg Winkel 08.svg
Punktmenge 5 Punktmenge 6 Punktmenge 7 Punktmenge 8

Tabelle 1

Winkelmodell kein Winkelmodell
Tragen Sie die Nummern der entsprechenden obigen Punktmengen ein.
Begründen Sie für jede Nummer Ihre Wahl. 		Tragen Sie die Nummern der entsprechenden obigen Punktmengen ein.
Begründen Sie für jede Nummer Ihre Wahl.

Prozeß der Begriffserarbeitung als Generierung einer Klasseneinteilung

In der Didaktik bezeichnen wir die Art und Weise der Erarbeitung eines neuen Begriffs entsprechend obiger Tabelle als induktive Begriffserarbeitung: Eine gewisse Menge an Repräsentanten und Gegenrepräsentanten bezüglich des zu erarbeitenden Begriffs wird vorgegeben. Dann teilt man diese Menge in genau zwei Klassen ein. Die eine Klasse bilden alle Begriffsrepräsentanten, die ander Menge der Rest.

Aufgabe: Ergänzen Sie Tabelle 1 durch weitere Repräsentanten bzw. Gegenrepräsentanten zur Erarbeitung des Winkelbegriffs.

Zum besseren Verständnis: Analoge Erarbeitung des Begriffs Trapez:

Realisieren von Winkeln

Die Idee des konstruktiven Begriffserwerbs

Während beim induktiven Begriffserwerb das Ausgangsmaterial für den Schüler bereits vorgefertigt wurde, generiert er es sich beim konstruktiven Begriffserwerb selbst. Der gute Lehrer läßt in der Regel beide Varianten zur Anwendung kommen.

Konstruktion eines Winkels

Aufgabe: Zeichne einen Winkel

Lösung:

Konstruktionsschritt Beschreibung
Winkel konstruktiv 01.svg Zeichne einen ...
Winkel konstruktiv 02.svg Zeichne einen zweiten ..., der

Definition des Winkelbegriffs

Definition V.1: (Winkel)
Ein Winkel ist ein Paar .... .
... heißt der Scheitelpunkt von ...
... sind die Schenkel von ...

Arten, Winkel zu beschreiben

Beispiel Beschreibung in Zeichen Quelltext in Tex
Winkel pq.svg Winkel, der aus den beiden Strahlen \ p und \ q besteht. \angle pq \angle pq
Winkel ASB.svg Winkel, der aus den beiden Strahlen \ SA^+ und \ SB^+ besteht. \angle ASB \angle ASB

Die Idee des gerichteten Winkels

Gerichtete Winkel werden in der Einführung in die Geometrie keine Rolle spielen. Trotzdem dürfen Sie hier ergänzen, was denn ein gerichtetet Winkel wäre.

Das Innere eines Winkels

So ist es zu verstehen

Inneres winkel.png

Flashapplikation

Definition des Inneren eines Winkels

Definition V.2: (Inneres eines Winkels)
Das Innere eines Winkels \angle ASB ist der Schnitt ...der beiden Halbebenen \ SA,B^+ und \ SB,A^+

--Principella 10:47, 12. Jun. 2010 (UTC) Passt nicht ganz: \ SB,A^- ist das so gewollt oder ein Tippfehler? --*m.g.* 14:03, 13. Jun. 2010 (UTC)

Satz V.1
Das Innere eines Winkels ist konvex.
Beweis von Satz V.1
trivial entsprechend Satz IV., Satz IV.3 und der Definition V.2

Überstumpfe Winkel?

Bemerkung: Entsprechend Definition V.2 beinhaltet unsere Geometrie keine überstumpfen Winkel.

Scheitelwinkel und Nebenwinkel

Scheitelwinkel

Beispiele und Gegenbeispiele

Definition

Definition V.3: (Scheitelwinkel)
Die Winkel \angle SA^+,SB^+ und \angle SA^-,SB^- sind Scheitelwinkel.

Nebenwinkel

Beispiele und Gegenbeispiele

Definition

Definition V.4: (Nebenwinkel)
Die Winkel \angle SA^+,SB^+ und \angle SA^-,SB^+ sind Nebenwinkel.

Winkelmessung

Das Winkelmaß

Was bedeutet es, die Größe eines Winkels zu messen?

Länge einer Strecke Größe eines Winkels
nichtnegative reelle Zahl reelle Zahl zwischen 0 und 180

Das Winkelmaßaxiom

Axiom IV.1 (Winkelmaßaxiom)
Zu jedem Winkel \ \alpha gibt es genau eine reelle Zahl \ \omega zwischen 0 und 180.
Definition V.4: (Größe eines Winkels)
Die Zahl \ \omega, die entsprechend des Winkelmaßaxioms einem jeden Winkel \ \alpha eindeutig zugeordnet werden kann, wird die Größe oder das Maß von \ \alpha genannt.
In Zeichen: \omega = \left| \alpha \right|.

Winkelkonstruktion

Existenz und Eindeutigkeit des Winkelantragens

Axiom IV.2: (Winkelkonstruktionsaxiom)
Es sei \ g \equiv SA eine Gerade in der Ebene \ \Epsilon. Zu jedem Winkel \ \alpha gibt es in jeder der beiden durch \ g bestimmten Halbebenen der Ebene \ \Epsilon genau einen Strahl \ SB^+ mit \ \left| \alpha \right| = \left| \angle ASB \right|

Winkeladdition

Axiom IV.3: (Winkeladditionsaxiom)
Wenn der Punkt \ P zum Inneren des Winkels \ \angle ASB gehört, dann gilt \ \left| \angle ASP \right| + \left| \angle PSB \right| = \left| \angle ASB \right|.
Satz V.2
Wenn der Punkt \ P im Inneren des Winkels \ \angle ASB liegt, dann ist die Größe der beiden Teilwinkel \ \angle ASP und \ \angle PSB jeweils kleiner als die Größe des Winkels \ \angle ASB.
Beweis von Satz V.2

Rechte Winkel

Definition V.5 : (Rechter Winkel)
Wenn ein Winkel die selbe Größe wie einer seiner Nebenwinkel hat, so ist er ein rechter Winkel.
Definition V.6 : (Supplementärwinkel)
Zwei Winkel, deren Größen zusammen 180 ergeben, sind supplementär.
Axiom IV.4: (Supplementaxiom)
Nebenwinkel sind supplementär.
Satz V. : (Existenz von rechten Winkeln)
Es gibt rechte Winkel.
Von „http://geometrie.zum.de/index.php?title=Winkel_und_Winkelmessung&oldid=1869“