Lösung von Aufgabe 1.1 (WS 12): Unterschied zwischen den Versionen
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Handelt es sich um Definitionen? Wenn ja, um welche Art von Definition (Real-, Konventional-, genetisch)? Begründen Sie!<br /> | Handelt es sich um Definitionen? Wenn ja, um welche Art von Definition (Real-, Konventional-, genetisch)? Begründen Sie!<br /> | ||
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+ | | Jedes n-Eck mit n=4 heißt Viereck. | ||
+ | | ja | ||
+ | | formell | ||
+ | | ist eine eindeutige Benennung | ||
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+ | | Stufenwinkel an geschnittenen Parallelen sind kongruent. | ||
+ | | nein | ||
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+ | | ist ein Satz | ||
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+ | | Eine Gerade heißt Dreiecksschneidende, falls es ein Dreieck gibt, dessen drei Seiten von der Geraden geschnitten werden, wobei die Eckpunkte des Dreiecks nicht zur Geraden gehören. | ||
+ | | nein | ||
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+ | | warum etwas definieren, wenn es nicht existiert ? | ||
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+ | | 4. | ||
+ | | Es gibt Vierecke mit einem Umkreis, die so genannten Sehnenvierecke. | ||
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+ | | Existenzaussage, keine Definition | ||
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+ | | 5. | ||
+ | | Wenn ein n-Eck vier Ecken hat, dann ist es ein Viereck. | ||
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+ | | eindeutige Benennung | ||
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+ | | Es gibt Sehnenvierecke. | ||
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+ | | Jeder Peripheriewinkel über einem Durchmesser ist ein Rechter. | ||
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+ | | Ein rechter Winkel ist ein solcher, der zu einem seiner Nebenwinkel kongruent ist. | ||
+ | | ja | ||
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+ | | Wenn ein Winkel zu einem seiner Nebenwinkel kongruent ist, so ist er ein Rechter. | ||
+ | | ja | ||
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+ | | eindeutig | ||
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+ | | Ein Viereck, das so aussieht wie die Vierecke auf der bayrischen Fahne, heißt Raute. | ||
+ | | ja | ||
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+ | | siehe Vorlesung | ||
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+ | | 11. | ||
+ | | Es seien ''a'' und ''b'' zwei nichtidentische zueinander parallele Geraden. Lege auf ''a'' und ''b'' jeweils zwei verschiedene Punkte fest. Verbinde die vier Punkte zu einem konvexen Viereck. Du erhältst ein Trapez. | ||
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+ | | operativ | ||
+ | | die Handlung erzeugt ein Trapez | ||
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+ | | Die Menge aller Punkte, die von den Endpunkten einer Strecke ein und denselben Abstand hat, heißt Mittelsenkrechte der Strecke. | ||
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+ | | Eine Gerade, die senkrecht auf einer Strecke steht und diese halbiert, heißt Mittelsenkrechte der Strecke. | ||
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+ | | Ein Rechteck hat vier rechte Innenwinkel. | ||
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+ | | Jedes Quadrat ist ein Rechteck. | ||
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+ | | Eine Raute ist ein Viereck mit vier gleich langen Seiten wobei je zwei Seiten parallel zueinander sind. | ||
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− | + | Klar gibt es sowas nicht. Eine Definition ist es trotzdem. Es wurde verklausuliert die Leere Menge <math>\not O</math> definiert. | |
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− | + | Wir gehen davon aus, das kongruent und Nebenwinkel korrekt definiert wurden. Was könnte der Mathematiker auszusetzen haben? Warum sollte diese Definition nicht formal korrekt sein? | |
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− | + | Die Definition wäre von der Idee der Exaktheit her nur intuitiv. | |
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+ | In der Vorlesung haben wir verschiedene Typen von Definitionen genannt. | ||
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+ | Diese Typen haben wir nach zwei Aspekten eingeteilt. | ||
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+ | =====(V) Einteilung nach der Tiefe des Verständnisses, bzw. der mathematischen Exaktheit===== | ||
+ | #intuiv | ||
+ | #informell | ||
+ | #formal korrekt | ||
+ | =====(F) Einteilung nach Art und Weise der Formulierung der Definition===== | ||
+ | *Formuliert man eine Definition in der Form "Wenn-Dann", so handelt es isch um eine sogenannte ''Konventionaldefinition''. | ||
+ | *Formuliert man eine Definition in der Art einer Handlungsanleitung, so spricht man von einer ''operativ genetischen Definition''. | ||
+ | *Übliche Definitionen, die nicht in ''wenn-dann'' oder ''operativ-genetisch'' formuliert wurden, heißen ''Realdefinitionen''. | ||
+ | =====Unabhängigkeit beider Einteilungen===== | ||
+ | Prinzipiell kann man jetzt jeden Typ der Einteilung (F) mit jedem Typ der Einteilung (V) kombinieren. | ||
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+ | In der Aufgabe war nach dem Typ (F) gefragt. | ||
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+ | | Eine Gerade heißt Dreiecksschneidende, falls es ein Dreieck gibt, dessen drei Seiten von der Geraden geschnitten werden, wobei die Eckpunkte des Dreiecks nicht zur Geraden gehören. | ||
+ | | ja | ||
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+ | | Es gibt Vierecke mit einem Umkreis, die so genannten Sehnenvierecke. | ||
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+ | | Wenn ein n-Eck vier Ecken hat, dann ist es ein Viereck. | ||
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+ | | Konventionaldefinition | ||
+ | | eigentlich eine falsche Definition, weil der Zusatz "genau dann" fehlt, sonst könnte es auch was anderes sein. | ||
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+ | | Es gibt Sehnenvierecke. | ||
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+ | | Jeder Peripheriewinkel über einem Durchmesser ist ein Rechter. | ||
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+ | | Ein rechter Winkel ist ein solcher, der zu einem seiner Nebenwinkel kongruent ist. | ||
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+ | | Wenn ein Winkel zu einem seiner Nebenwinkel kongruent ist, so ist er ein Rechter. | ||
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+ | | Ein Viereck, das so aussieht wie die Vierecke auf der bayrischen Fahne, heißt Raute. | ||
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+ | | Es seien ''a'' und ''b'' zwei nichtidentische zueinander parallele Geraden. Lege auf ''a'' und ''b'' jeweils zwei verschiedene Punkte fest. Verbinde die vier Punkte zu einem konvexen Viereck. Du erhältst ein Trapez. | ||
+ | | nein | ||
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+ | | Satz, somit beweisbar (wegen "Es seien...") | ||
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+ | | Die Menge aller Punkte, die von den Endpunkten einer Strecke ein und denselben Abstand hat, heißt Mittelsenkrechte der Strecke. | ||
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+ | | Eine Gerade, die senkrecht auf einer Strecke steht und diese halbiert, heißt Mittelsenkrechte der Strecke. | ||
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+ | | Ein Rechteck hat vier rechte Innenwinkel. | ||
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+ | | es würden 3 rechte Innenwinkel ausreichen um dies zu definieren. | ||
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+ | | Jedes Quadrat ist ein Rechteck. | ||
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+ | | falsche Definition, sonst würde auch eine Raute ein Rechteck sein ("Jedes" ist nicht richtig) | ||
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+ | | Eine Raute ist ein Viereck mit vier gleich langen Seiten wobei je zwei Seiten parallel zueinander sind. | ||
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+ | | informell (Zusatz: "wobei je zwei..." könnte man auch weglassen) | ||
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+ | ! Definition ja/nein | ||
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+ | | Jedes n-Eck mit n=4 heißt Viereck. | ||
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+ | | Realdefinition | ||
+ | | weil keine Bauanleitung (operativ genetische Definition) und keine Wenn-Dann-Formulierung (Konventionaldefinition) | ||
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+ | | Stufenwinkel an geschnittenen Parallelen sind kongruent. | ||
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+ | | keine Definition, sondern eine Aussage | ||
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+ | | Eine Gerade heißt Dreiecksschneidende, falls es ein Dreieck gibt, dessen drei Seiten von der Geraden geschnitten werden, wobei die Eckpunkte des Dreiecks nicht zur Geraden gehören. | ||
+ | | Ja | ||
+ | | genetisch operative Definition | ||
+ | | Weil man , wenn es möglich wäre, die Dreiecksschneidende anhand der Definition zeichnen kann (Bauanleitung) | ||
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+ | | Es gibt Vierecke mit einem Umkreis, die so genannten Sehnenvierecke. | ||
+ | | Nein | ||
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+ | | Wenn ein n-Eck vier Ecken hat, dann ist es ein Viereck. | ||
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+ | | Wenn-Dann | ||
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+ | | Es gibt Sehnenvierecke. | ||
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+ | | Aussage, aber keine Definition | ||
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+ | | Jeder Peripheriewinkel über einem Durchmesser ist ein Rechter. | ||
+ | | Nein | ||
+ | | - | ||
+ | | Aussage, aber keine Definition | ||
+ | |- | ||
+ | | 8. | ||
+ | | Ein rechter Winkel ist ein solcher, der zu einem seiner Nebenwinkel kongruent ist. | ||
+ | | Ja | ||
+ | | Realdefinition | ||
+ | | keine Bauanleitung (operativ genetische Definition) und keine Wenn-Dann-Formulierung (Konventionaldefinition) ; "der zu einem seiner Nebenwinkel kongruent ist" = ein spezifisches Merkmal (typisch für Realdefinition) | ||
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+ | | 9. | ||
+ | | Wenn ein Winkel zu einem seiner Nebenwinkel kongruent ist, so ist er ein Rechter. | ||
+ | | Ja | ||
+ | | Konventionaldefinition | ||
+ | | Wenn-Dann-Formulierung | ||
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+ | | 10. | ||
+ | | Ein Viereck, das so aussieht wie die Vierecke auf der bayrischen Fahne, heißt Raute. | ||
+ | | Ja | ||
+ | | intuitiv, Realdefinition? | ||
+ | | wegen dem Vergleich mit dem Viereck auf der bayrischen Fahne (= spezifisches Merkmal)?) | ||
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+ | | 11. | ||
+ | | Es seien ''a'' und ''b'' zwei nichtidentische zueinander parallele Geraden. Lege auf ''a'' und ''b'' jeweils zwei verschiedene Punkte fest. Verbinde die vier Punkte zu einem konvexen Viereck. Du erhältst ein Trapez. | ||
+ | | Nein ? | ||
+ | | - | ||
+ | | Aufgabenstellung; Es ist zwar eine "Bauanleitung", aber darüber wird nichts definiert, sondern man erfährt, wie man EIN Trapez zeichnen kann. | ||
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+ | | 12. | ||
+ | | Die Menge aller Punkte, die von den Endpunkten einer Strecke ein und denselben Abstand hat, heißt Mittelsenkrechte der Strecke. | ||
+ | | Ja | ||
+ | | genetisch operative Definition ? | ||
+ | | eine genetisch operative Def. könnte es sein, weil man anhand der Def. die Mittelsenkrechte zeichnen kann | ||
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+ | | 13. | ||
+ | | Eine Gerade, die senkrecht auf einer Strecke steht und diese halbiert, heißt Mittelsenkrechte der Strecke. | ||
+ | | Ja | ||
+ | | Realdefinition | ||
+ | | spezifisches Merkmal wird genannt | ||
+ | |- | ||
+ | | 14. | ||
+ | | Ein Rechteck hat vier rechte Innenwinkel. | ||
+ | | Nein | ||
+ | | - | ||
+ | | Aussage, aber keine Definition | ||
+ | |- | ||
+ | | 15. | ||
+ | | Jedes Quadrat ist ein Rechteck. | ||
+ | | Nein | ||
+ | | - | ||
+ | | Aussage, aber keine Definition | ||
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+ | | 16. | ||
+ | | Eine Raute ist ein Viereck mit vier gleich langen Seiten wobei je zwei Seiten parallel zueinander sind. | ||
+ | | Ja | ||
+ | | Realdefinition | ||
+ | | Definition durch Oberbegriff und spezifisches Merkmal | ||
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Aktuelle Version vom 1. November 2012, 09:37 Uhr
Inhaltsverzeichnis |
Aufgabe 1.1
Handelt es sich um Definitionen? Wenn ja, um welche Art von Definition (Real-, Konventional-, genetisch)? Begründen Sie!
Bitte die Lösungen in die untere Tabellen eintragen.
Lösung von User: Ridcully
Nr | Text | Definition ja/nein | Falls Definition: Typ | Begründung |
---|---|---|---|---|
1. | Jedes n-Eck mit n=4 heißt Viereck. | ja | formell | ist eine eindeutige Benennung |
2. | Stufenwinkel an geschnittenen Parallelen sind kongruent. | nein | ist ein Satz | |
3. | Eine Gerade heißt Dreiecksschneidende, falls es ein Dreieck gibt, dessen drei Seiten von der Geraden geschnitten werden, wobei die Eckpunkte des Dreiecks nicht zur Geraden gehören. | nein | warum etwas definieren, wenn es nicht existiert ? | |
4. | Es gibt Vierecke mit einem Umkreis, die so genannten Sehnenvierecke. | nein | Existenzaussage, keine Definition | |
5. | Wenn ein n-Eck vier Ecken hat, dann ist es ein Viereck. | ja | informell | eindeutige Benennung |
6. | Es gibt Sehnenvierecke. | nein | Existenzaussage | |
7. | Jeder Peripheriewinkel über einem Durchmesser ist ein Rechter. | nein | Satz | |
8. | Ein rechter Winkel ist ein solcher, der zu einem seiner Nebenwinkel kongruent ist. | ja | informell | |
9. | Wenn ein Winkel zu einem seiner Nebenwinkel kongruent ist, so ist er ein Rechter. | ja | informell | eindeutig |
10. | Ein Viereck, das so aussieht wie die Vierecke auf der bayrischen Fahne, heißt Raute. | ja | informell | siehe Vorlesung |
11. | Es seien a und b zwei nichtidentische zueinander parallele Geraden. Lege auf a und b jeweils zwei verschiedene Punkte fest. Verbinde die vier Punkte zu einem konvexen Viereck. Du erhältst ein Trapez. | ja | operativ | die Handlung erzeugt ein Trapez |
12. | Die Menge aller Punkte, die von den Endpunkten einer Strecke ein und denselben Abstand hat, heißt Mittelsenkrechte der Strecke. | ja | informell | |
13. | Eine Gerade, die senkrecht auf einer Strecke steht und diese halbiert, heißt Mittelsenkrechte der Strecke. | ja | informell | |
14. | Ein Rechteck hat vier rechte Innenwinkel. | nein | Satz | |
15. | Jedes Quadrat ist ein Rechteck. | nein | Satz | |
16. | Eine Raute ist ein Viereck mit vier gleich langen Seiten wobei je zwei Seiten parallel zueinander sind. | ja | informell |
Bemerkungen --*m.g.* 16:17, 28. Okt. 2012 (CET)
zu 3
Klar gibt es sowas nicht. Eine Definition ist es trotzdem. Es wurde verklausuliert die Leere Menge definiert.
zu 8
Wir gehen davon aus, das kongruent und Nebenwinkel korrekt definiert wurden. Was könnte der Mathematiker auszusetzen haben? Warum sollte diese Definition nicht formal korrekt sein?
zu 10
Die Definition wäre von der Idee der Exaktheit her nur intuitiv.
generelle Bemerkungen
In der Vorlesung haben wir verschiedene Typen von Definitionen genannt.
Diese Typen haben wir nach zwei Aspekten eingeteilt.
(V) Einteilung nach der Tiefe des Verständnisses, bzw. der mathematischen Exaktheit
- intuiv
- informell
- formal korrekt
(F) Einteilung nach Art und Weise der Formulierung der Definition
- Formuliert man eine Definition in der Form "Wenn-Dann", so handelt es isch um eine sogenannte Konventionaldefinition.
- Formuliert man eine Definition in der Art einer Handlungsanleitung, so spricht man von einer operativ genetischen Definition.
- Übliche Definitionen, die nicht in wenn-dann oder operativ-genetisch formuliert wurden, heißen Realdefinitionen.
Unabhängigkeit beider Einteilungen
Prinzipiell kann man jetzt jeden Typ der Einteilung (F) mit jedem Typ der Einteilung (V) kombinieren.
In der Aufgabe war nach dem Typ (F) gefragt.
==
===Lösung von User:=== == Sissy66
Nr | Text | Definition ja/nein | Falls Definition: Typ | Begründung |
---|---|---|---|---|
1. | Jedes n-Eck mit n=4 heißt Viereck. | ja | Realdefinition | formell |
2. | Stufenwinkel an geschnittenen Parallelen sind kongruent. | Nein | Element | Basiswinkelsatz |
3. | Eine Gerade heißt Dreiecksschneidende, falls es ein Dreieck gibt, dessen drei Seiten von der Geraden geschnitten werden, wobei die Eckpunkte des Dreiecks nicht zur Geraden gehören. | ja | genetische Definition | informell |
4. | Es gibt Vierecke mit einem Umkreis, die so genannten Sehnenvierecke. | nein | Element | Existenzaussage |
5. | Wenn ein n-Eck vier Ecken hat, dann ist es ein Viereck. | ja | Konventionaldefinition | eigentlich eine falsche Definition, weil der Zusatz "genau dann" fehlt, sonst könnte es auch was anderes sein. |
6. | Es gibt Sehnenvierecke. | nein | Element | Existenzaussage |
7. | Jeder Peripheriewinkel über einem Durchmesser ist ein Rechter. | nein | Element | Satz |
8. | Ein rechter Winkel ist ein solcher, der zu einem seiner Nebenwinkel kongruent ist. | ja | Realdefinition | formell |
9. | Wenn ein Winkel zu einem seiner Nebenwinkel kongruent ist, so ist er ein Rechter. | ja | Konventionaldefinition | formell |
10. | Ein Viereck, das so aussieht wie die Vierecke auf der bayrischen Fahne, heißt Raute. | ja | genetische Definition | intuitiv |
11. | Es seien a und b zwei nichtidentische zueinander parallele Geraden. Lege auf a und b jeweils zwei verschiedene Punkte fest. Verbinde die vier Punkte zu einem konvexen Viereck. Du erhältst ein Trapez. | nein | Element | Satz, somit beweisbar (wegen "Es seien...") |
12. | Die Menge aller Punkte, die von den Endpunkten einer Strecke ein und denselben Abstand hat, heißt Mittelsenkrechte der Strecke. | ja | Realdefinition | formell |
13. | Eine Gerade, die senkrecht auf einer Strecke steht und diese halbiert, heißt Mittelsenkrechte der Strecke. | ja | Realdefinition | Kriterium für 12. |
14. | Ein Rechteck hat vier rechte Innenwinkel. | nein | Element | es würden 3 rechte Innenwinkel ausreichen um dies zu definieren. |
15. | Jedes Quadrat ist ein Rechteck. | nein | Element | falsche Definition, sonst würde auch eine Raute ein Rechteck sein ("Jedes" ist nicht richtig) |
16. | Eine Raute ist ein Viereck mit vier gleich langen Seiten wobei je zwei Seiten parallel zueinander sind. | ja | Realdefinition | informell (Zusatz: "wobei je zwei..." könnte man auch weglassen) |
===Lösung von User:=== ...lw)...
Nr | Text | Definition ja/nein | Falls Definition: Typ | Begründung |
---|---|---|---|---|
1. | Jedes n-Eck mit n=4 heißt Viereck. | Ja | Realdefinition | weil keine Bauanleitung (operativ genetische Definition) und keine Wenn-Dann-Formulierung (Konventionaldefinition) |
2. | Stufenwinkel an geschnittenen Parallelen sind kongruent. | Nein | - | keine Definition, sondern eine Aussage |
3. | Eine Gerade heißt Dreiecksschneidende, falls es ein Dreieck gibt, dessen drei Seiten von der Geraden geschnitten werden, wobei die Eckpunkte des Dreiecks nicht zur Geraden gehören. | Ja | genetisch operative Definition | Weil man , wenn es möglich wäre, die Dreiecksschneidende anhand der Definition zeichnen kann (Bauanleitung) |
4. | Es gibt Vierecke mit einem Umkreis, die so genannten Sehnenvierecke. | Nein | - | "es gibt" , Aussage |
5. | Wenn ein n-Eck vier Ecken hat, dann ist es ein Viereck. | Ja | Konventionaldefinition | Wenn-Dann |
6. | Es gibt Sehnenvierecke. | Nein | - | Aussage, aber keine Definition |
7. | Jeder Peripheriewinkel über einem Durchmesser ist ein Rechter. | Nein | - | Aussage, aber keine Definition |
8. | Ein rechter Winkel ist ein solcher, der zu einem seiner Nebenwinkel kongruent ist. | Ja | Realdefinition | keine Bauanleitung (operativ genetische Definition) und keine Wenn-Dann-Formulierung (Konventionaldefinition) ; "der zu einem seiner Nebenwinkel kongruent ist" = ein spezifisches Merkmal (typisch für Realdefinition) |
9. | Wenn ein Winkel zu einem seiner Nebenwinkel kongruent ist, so ist er ein Rechter. | Ja | Konventionaldefinition | Wenn-Dann-Formulierung |
10. | Ein Viereck, das so aussieht wie die Vierecke auf der bayrischen Fahne, heißt Raute. | Ja | intuitiv, Realdefinition? | wegen dem Vergleich mit dem Viereck auf der bayrischen Fahne (= spezifisches Merkmal)?) |
11. | Es seien a und b zwei nichtidentische zueinander parallele Geraden. Lege auf a und b jeweils zwei verschiedene Punkte fest. Verbinde die vier Punkte zu einem konvexen Viereck. Du erhältst ein Trapez. | Nein ? | - | Aufgabenstellung; Es ist zwar eine "Bauanleitung", aber darüber wird nichts definiert, sondern man erfährt, wie man EIN Trapez zeichnen kann. |
12. | Die Menge aller Punkte, die von den Endpunkten einer Strecke ein und denselben Abstand hat, heißt Mittelsenkrechte der Strecke. | Ja | genetisch operative Definition ? | eine genetisch operative Def. könnte es sein, weil man anhand der Def. die Mittelsenkrechte zeichnen kann |
13. | Eine Gerade, die senkrecht auf einer Strecke steht und diese halbiert, heißt Mittelsenkrechte der Strecke. | Ja | Realdefinition | spezifisches Merkmal wird genannt |
14. | Ein Rechteck hat vier rechte Innenwinkel. | Nein | - | Aussage, aber keine Definition |
15. | Jedes Quadrat ist ein Rechteck. | Nein | - | Aussage, aber keine Definition |
16. | Eine Raute ist ein Viereck mit vier gleich langen Seiten wobei je zwei Seiten parallel zueinander sind. | Ja | Realdefinition | Definition durch Oberbegriff und spezifisches Merkmal |
Lösung von User:
Nr | Text | Definition ja/nein | Falls Definition: Typ | Begründung |
---|---|---|---|---|
1. | Jedes n-Eck mit n=4 heißt Viereck. | Element | Element | Element |
2. | Stufenwinkel an geschnittenen Parallelen sind kongruent. | Element | Element | Element |
3. | Eine Gerade heißt Dreiecksschneidende, falls es ein Dreieck gibt, dessen drei Seiten von der Geraden geschnitten werden, wobei die Eckpunkte des Dreiecks nicht zur Geraden gehören. | Element | Element | Element |
4. | Es gibt Vierecke mit einem Umkreis, die so genannten Sehnenvierecke. | Element | Element | Element |
5. | Wenn ein n-Eck vier Ecken hat, dann ist es ein Viereck. | Element | Element | Element |
6. | Es gibt Sehnenvierecke. | Element | Element | Element |
7. | Jeder Peripheriewinkel über einem Durchmesser ist ein Rechter. | Element | Element | Element |
8. | Ein rechter Winkel ist ein solcher, der zu einem seiner Nebenwinkel kongruent ist. | Element | Element | Element |
9. | Wenn ein Winkel zu einem seiner Nebenwinkel kongruent ist, so ist er ein Rechter. | Element | Element | Element |
10. | Ein Viereck, das so aussieht wie die Vierecke auf der bayrischen Fahne, heißt Raute. | Element | Element | Element |
11. | Es seien a und b zwei nichtidentische zueinander parallele Geraden. Lege auf a und b jeweils zwei verschiedene Punkte fest. Verbinde die vier Punkte zu einem konvexen Viereck. Du erhältst ein Trapez. | Element | Element | Element |
12. | Die Menge aller Punkte, die von den Endpunkten einer Strecke ein und denselben Abstand hat, heißt Mittelsenkrechte der Strecke. | Element | Element | Element |
13. | Eine Gerade, die senkrecht auf einer Strecke steht und diese halbiert, heißt Mittelsenkrechte der Strecke. | Element | Element | Element |
14. | Ein Rechteck hat vier rechte Innenwinkel. | Element | Element | Element |
15. | Jedes Quadrat ist ein Rechteck. | Element | Element | Element |
16. | Eine Raute ist ein Viereck mit vier gleich langen Seiten wobei je zwei Seiten parallel zueinander sind. | Element | Element | Element |