Vektorräume 2012 13: Unterschied zwischen den Versionen

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=Definition des Begriff des Vektorraums=
 
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A3: Es gibt ein neutrales Element <math>e\in V</math>, mit dem für alle Elemente <math>u\in V</math> gilt: <math>u\cdot e = e\cdot u = u</math>. (Existenz eines neutralen Elements/Nullvektor)
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A3: Es gibt ein neutrales Element <math>e\in V</math>, mit dem für alle Elemente <math>u\in V</math> gilt: <math>u+ e = e+ u = u</math>. (Existenz eines neutralen Elements/Nullvektor)
  
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A4: Zu jeden <math>u\in V</math> existiert ein Gegenvektor <math>-u \in V</math> mit<math>u+(-u)=e</math>
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S1: Für beliebige <math>v \in V</math> gilt <math>1\cdot u =u</math>.
 
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S2: Für beliebige <math>v \in V</math> und beliebige <math>\lambda, \mu \in \mathbb{R} </math> gilt: <math>(\lambda \cdot \mu)\cdot u= \lambda\cdot(\mu\cdot u)</math> (Assoziativität der Multiplikation von Vektoren mit reelen Zahlen)
 
S2: Für beliebige <math>v \in V</math> und beliebige <math>\lambda, \mu \in \mathbb{R} </math> gilt: <math>(\lambda \cdot \mu)\cdot u= \lambda\cdot(\mu\cdot u)</math> (Assoziativität der Multiplikation von Vektoren mit reelen Zahlen)
  
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S3: Für beliebige math>u,v \in V</math> und beliebige <math>\lambda \in \mathbb{R} </math> gilt: <math>\lambda \cdot (u+v)=\lambda \cdot u +\lambda \cdot v </math> (1.Distributivgesetz)  
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S3: Für beliebige <math>u,v \in V</math> und beliebige <math>\lambda \in \mathbb{R} </math> gilt: <math>\lambda \cdot (u+v)=\lambda \cdot u +\lambda \cdot v </math> (1.Distributivgesetz)  
  
 
S4: Für beliebige <math>v \in V</math> und beliebige <math>\lambda, \mu \in \mathbb{R} </math> gilt: <math>(\lambda + \mu)\cdot u=\lambda \cdot u + \mu \cdot u</math> (2.Distributivgesetz)
 
S4: Für beliebige <math>v \in V</math> und beliebige <math>\lambda, \mu \in \mathbb{R} </math> gilt: <math>(\lambda + \mu)\cdot u=\lambda \cdot u + \mu \cdot u</math> (2.Distributivgesetz)
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Die Eigenschaften A1-A4 lassen sich zusammenfassen, dass <math>(V, +)</math> eine Abelsche Gruppe bildet.
 
Die Eigenschaften A1-A4 lassen sich zusammenfassen, dass <math>(V, +)</math> eine Abelsche Gruppe bildet.
  
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Die Menge aller Pfeilklassen in der Ebene (und die Pfeilklassen des Raumes) mit den Eigenschaften, wie in der Vorlesung gezeigt, bilden einen Vektorraum.
  
 
(Quelle: Filler: Elementare ''Lineare Algebra''. Spektrum Akademischer Verlag)
 
(Quelle: Filler: Elementare ''Lineare Algebra''. Spektrum Akademischer Verlag)
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[[Kategorie:Linalg]]

Aktuelle Version vom 12. Dezember 2012, 15:23 Uhr


Definition des Begriff des Vektorraums

Eine nicht leere Menge V zusammen mit einer inneren Verknüpfung

+: V \times V \to V, (v,v)\mapsto v+v

und der äußeren Verknüpfung

{\cdot}: \mathbb{R} \times V \to V, (\lambda ,v)\mapsto \lambda \cdot v

heißt reeler Verktorraum, falls folgende Bedingungen erfüllt sind:

A1: Für beliebige u,v \in V gilt u+v=v+u (Kommuntativität der Addition).

A2: Für beliebige u,v.w \in V gilt (u+v)+w=u+(v+w). (Assoziativität der Addition)

A3: Es gibt ein neutrales Element e\in V, mit dem für alle Elemente u\in V gilt: u+ e = e+ u = u. (Existenz eines neutralen Elements/Nullvektor)

A4: Zu jeden u\in V existiert ein Gegenvektor -u \in V mitu+(-u)=e.

S1: Für beliebige v \in V gilt 1\cdot u =u.

S2: Für beliebige v \in V und beliebige \lambda, \mu \in \mathbb{R} gilt: (\lambda \cdot \mu)\cdot u= \lambda\cdot(\mu\cdot u) (Assoziativität der Multiplikation von Vektoren mit reelen Zahlen)

S3: Für beliebige u,v \in V und beliebige \lambda \in \mathbb{R} gilt: \lambda \cdot (u+v)=\lambda \cdot u +\lambda \cdot v (1.Distributivgesetz)

S4: Für beliebige v \in V und beliebige \lambda, \mu \in \mathbb{R} gilt: (\lambda + \mu)\cdot u=\lambda \cdot u + \mu \cdot u (2.Distributivgesetz)

Bemerkung:

Die Eigenschaften A1-A4 lassen sich zusammenfassen, dass (V, +) eine Abelsche Gruppe bildet.

Die Menge aller Pfeilklassen in der Ebene (und die Pfeilklassen des Raumes) mit den Eigenschaften, wie in der Vorlesung gezeigt, bilden einen Vektorraum.

(Quelle: Filler: Elementare Lineare Algebra. Spektrum Akademischer Verlag)
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