Gruppen, abelsche Gruppen 2012 12: Unterschied zwischen den Versionen
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+ | =Gruppeneigenschaften= | ||
+ | Eine Verknüpfung <math>\odot</math> bzw. einer Operation auf einer Menge M ist eine '''Gruppe''', wenn folgende Eigenschaften erfüllt sind:<br /> | ||
+ | '''1. Abgeschlossenheit:''' die Verknüfung <math>\odot</math> auf der Menge M ist abgeschlossen: Verknüpft man ein Element der Menge mit einem anderen Element der Menge, erhält man wiederum ein Element der Menge<br /> | ||
+ | <math> \quad \quad \forall a,b \in M: a \odot b \in M</math><br /> | ||
+ | '''2. Assoziativität:''' die Verknüfung <math>\odot</math> auf der Menge M ist assoziativ<br /> | ||
+ | <math> \quad \quad \forall a,b,c \in M: (a \odot b) \odot c = a \odot (b \odot c)</math><br /> | ||
+ | '''3. Neutrales Element:''' Innerhalb der Menge M gibt es ein neutrales Element e <br /> | ||
+ | <math> \quad \quad \forall a \in M: e \odot a = a \odot e = a</math><br /> | ||
+ | '''4. Inverse Elemente:''' Für jedes Element aus M gibt es ein Inverses Element <br /> | ||
+ | <math> \quad \quad \forall a \in M: a \odot a^{-1} = e \quad \quad \quad \quad</math> mit <math>a^{-1} \in M</math> und e = neutrales Element<br /><br /> | ||
+ | Erfüllt eine Verknüfung <math>\odot</math> auf der Menge M hingegen nicht alle Punkte, aber mindestnes die <u>Abgeschlossenheit</u> und die <u>Assoziativität</u>, so handelt es sich um eine '''Halbgruppe'''.<br /><br /> | ||
+ | Erfüllt eine Gruppe zusätzlich eine weitere Eigenschaft, nämmlich die Kommutativität, so ist sie eine '''kommutative bzw. abelsche Gruppe'''<br /> | ||
+ | '''5. Kommutativität:''' Die Reihenfolge in welcher die Elemente der Menge M mit <math>\odot</math> Verknüpft werden ist egal<br /> | ||
+ | <math> \quad \quad \forall a,b \in M: a \odot b = b \odot a</math><br /><br /> | ||
+ | --[[Benutzer:Jessy*|Jessy*]] 11:38, 12. Dez. 2012 (CET) | ||
+ | |||
+ | <u>Bemerkung --[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 14:14, 12. Dez. 2012 (CET):</u><br /> | ||
+ | Vielen Dank für Ihre Bemühungen. bezüglich der Abgeschlossenheit muss ein wenig korrigiert werden:<br /> | ||
+ | Man spricht nicht davon, dass die Menge bezüglich der Verknüpfung abgeschlossen ist, sondern dass die Verknüpfung auf der Menge abgeschlossen ist also nicht aus der Menge hinausführt.<br /> | ||
+ | --[[Benutzer:Jessy*|Jessy*]] 15:54, 15. Jan. 2013 (CET) Stimmt es nun so? | ||
=Beispiele für endliche Gruppen= | =Beispiele für endliche Gruppen= | ||
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Die Ergebnisse in der Tabelle sind symmetrisch bezüglich der Hauptdiagonalen angeordnet. Letzteres bedeutet, dass die Verknüpfung <math>\oplus</math> auf <math>\mathbb{Z}_4</math> kommutativ ist:<br /> | Die Ergebnisse in der Tabelle sind symmetrisch bezüglich der Hauptdiagonalen angeordnet. Letzteres bedeutet, dass die Verknüpfung <math>\oplus</math> auf <math>\mathbb{Z}_4</math> kommutativ ist:<br /> | ||
*<math>\forall \overline{a}, \overline{b} \in \mathbb{Z}_4: \overline{a} \oplus \overline{b} = \overline{b} \oplus \overline{a}</math>.<br /> | *<math>\forall \overline{a}, \overline{b} \in \mathbb{Z}_4: \overline{a} \oplus \overline{b} = \overline{b} \oplus \overline{a}</math>.<br /> | ||
− | Kommutative Gruppen werden auch Abelsche Gruppen genannt. | + | Kommutative Gruppen werden auch Abelsche Gruppen genannt.<br /><br /> |
+ | ==Gruppe der Deckdrehungen des Quadrats== | ||
+ | Hierbei verstehen wir unter <math>D_Q</math> die Menge aller Drehungen die das Quadrat <math>\overline{ABCD}</math> auf sich selbst abbilden:<br /> | ||
+ | <math>D_Q:=\left\{D_{0}, D_{90}, D_{180}, D_{270}\right\}</math><br /><br /> | ||
+ | Die Verknüpfung sei die NAF.<br /><br /> | ||
+ | Daraus ergibt sich folgende Verknüpfungstafel:<br /> | ||
+ | [[Bild:Verknüpfungstafel_DR.3JPG.JPG| 200px]]<br /><br /> | ||
+ | <u>'''Überprüfung der Gruppeneigenschaften:'''</u><br /> | ||
+ | 1. Abgeschlossenheit: siehe Verknüpfungstabelle<br /> | ||
+ | 2. Assoziativität: Drehungen sind immer assoziativ<br /> | ||
+ | 3. Neutrales Element: <math>D_{0}</math><br /> | ||
+ | 4. Inverse Elemente: <math>D_{0} \cdot D_{0}= D_{0}</math> und <math>D_{90} \cdot D_{270} = D_{0}</math> und <math>D_{180} \cdot D_{180} = D_{0}</math> und <math>D_{270} \cdot D_{90} = D_{0}</math><br /> | ||
+ | 5. Kommutativ: Drehungen sind immer kommutativ<br /><br /> | ||
+ | Es handelt sich also sogar um eine abelsche Gruppe.<br /><br /> | ||
+ | Anmerkung: Die Gruppe der Deckdrehungen des Quadrats ist eine zyklische Gruppe.<br /><br /> | ||
+ | --[[Benutzer:Jessy*|Jessy*]] 16:26, 11. Dez. 2012 (CET)<br /><br /> | ||
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==Gruppe der Deckabbildungen des Rechtecks== | ==Gruppe der Deckabbildungen des Rechtecks== | ||
[[Bild:Decvkabbildungen_Rechteck.png| 300px]]<br /> | [[Bild:Decvkabbildungen_Rechteck.png| 300px]]<br /> | ||
Unter <math>D_R</math> wollen wir die Menge aller Bewegungen verstehen, die das Rechteck <math>\overline{ABCD}</math> auf sich selbst abbilden. Es handelt sich dabei um die folgenden Drehungen (mit dem Drehzentrum <math>Z</math>) und Geradenspiegelungen:<br /> | Unter <math>D_R</math> wollen wir die Menge aller Bewegungen verstehen, die das Rechteck <math>\overline{ABCD}</math> auf sich selbst abbilden. Es handelt sich dabei um die folgenden Drehungen (mit dem Drehzentrum <math>Z</math>) und Geradenspiegelungen:<br /> | ||
<math>D_R:=\left\{D_{0}, D_{180}, S_m, S_n\right\}</math><br /><br /> | <math>D_R:=\left\{D_{0}, D_{180}, S_m, S_n\right\}</math><br /><br /> | ||
+ | Es ergibt sich folgende Verknüpfungstafel:<br /> | ||
+ | [[Bild:Verknüpfungstafel_DR.4.JPG| 200px]]<br /><br /> | ||
+ | <u>'''Überprüfung der Gruppeneigenschaften:'''</u><br /> | ||
+ | 1. Abgeschlossenheit: siehe Verknüpfungstabelle<br /> | ||
+ | 2. Assoziativität: Gegeben <br /> | ||
+ | 3. Neutrales Element: <math>D_{0}</math><br /> | ||
+ | 4. Inverse Elemente: <math>D_{0} \cdot D_{0}= D_{0}</math> und <math>D_{180} \cdot D_{180} = D_{0}</math> und <math>S_{m} \cdot S_{m} = D_{0}</math> und <math>S_{n} \cdot S_{n} = D_{0}</math><br /><br /> | ||
+ | Anmerkung: Die Gruppe der Deckabbildungen des Rechtecks ist die kleinste nicht-zyklische Gruppe und wird auch '''Kleinsche Vierergruppe''' genannt.<br /><br /> | ||
+ | --[[Benutzer:Jessy*|Jessy*]] 10:17, 12. Dez. 2012 (CET)<br /><br /> | ||
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Aktuelle Version vom 15. Januar 2013, 16:54 Uhr
GruppeneigenschaftenEine Verknüpfung bzw. einer Operation auf einer Menge M ist eine Gruppe, wenn folgende Eigenschaften erfüllt sind: Bemerkung --*m.g.* 14:14, 12. Dez. 2012 (CET): Beispiele für endliche GruppenRestklassen modulo 4
Wir definieren auf eine Verknüpfung wie folgt: Die Struktur ist eine Gruppe:
Die folgende Verknüpfungstafel verdeutlicht die obigen Eigenschaften:
Die Tabelle wurde mit der Tabellenkalkulation von Geogebra generiert. Aus diesem Grunde fehlen die Querstriche über den Klassen. Die Verknüpfungstabelle zeigt eine weitere Eigenschaft der Gruppe :
Kommutative Gruppen werden auch Abelsche Gruppen genannt. Gruppe der Deckdrehungen des QuadratsHierbei verstehen wir unter die Menge aller Drehungen die das Quadrat auf sich selbst abbilden: Gruppe der Deckabbildungen des Rechtecks
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