Serie 05 12 13: Unterschied zwischen den Versionen
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| + | Es sei <math>\varphi \in \mathbb{R}</math>.<br /> | ||
Wir definieren die folgende Abbildung <math>f: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2</math><br /> | Wir definieren die folgende Abbildung <math>f: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2</math><br /> | ||
| − | <math>\forall \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^2: f \left( \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}\right) = \begin{pmatrix}cos(\varphi) & -sin(\varphi) \\ sin(\varphi) & cos(\varphi) \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}</math> | + | <math>\forall \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^2: f \left( \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}\right) = \begin{pmatrix}cos(\varphi) & -sin(\varphi) \\ sin(\varphi) & cos(\varphi) \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} cos(\varphi)x + (-sin(\varphi))y \\ sin(\varphi)x + cos(\varphi) y \end{pmatrix}</math>.<br /> |
| + | Beweisen Sie: <math>f</math> ist eine lineare Abbildung.<br /> | ||
| + | Interpretieren Sie <math>f</math> geometrisch.<br /> | ||
| + | Hilfe: | ||
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| + | <ggb_applet width="851" height="609" version="4.2" ggbBase64="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" showResetIcon = "false" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" /> | ||
| + | |||
| + | =Aufgabe 5.2= | ||
| + | Es sei <math>Z=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ d \end{pmatrix}</math>,<math>d \in \mathbb{R}, d > 0</math> | ||
| + | |||
| + | Es sei <math>\varepsilon</math> die <math>x-y-</math>Ebene, die wir wiederum als <math>\mathbb{R}^2</math> interpretieren. Wir bilden jedes Element des <math>\mathbb{R}^3</math> mittels der Abbildung <math>ZP_Z</math>auf <math>\varepsilon</math> wie folgt ab:<br /> | ||
| + | <math>\forall P=\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} \in \mathbb{R} \setminus Z: ZP_Z(P)=ZP\cap \varepsilon</math>.<br /> | ||
| + | Beweisen Sie: <math>ZP_Z</math> ist linear. | ||
| + | |||
| + | =Aufgabe 5.3= | ||
| + | Geben sei <math>B</math> eine Menge, die aus folgenden Vektoren des <math>\mathbb{R}3</math> besteht:<br /> | ||
| + | |||
| + | <math>\vec{b_1}=\begin{pmatrix}2 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix}</math>, <math>\vec{b_2}=\begin{pmatrix}2 \\ 2 \\ 0\end{pmatrix}</math>, <math>\vec{b_3}=\begin{pmatrix}0 \\ 0 \\ 3\end{pmatrix}</math> | ||
| + | |||
| + | Beweisen Sie: Jedes <math>\vec{a}</math> aus <math>\mathbb{R}^3</math> lässt sich als Linearkombination der Vektoren der Menge <math>M</math> darstellen. | ||
Aktuelle Version vom 6. Januar 2013, 18:04 Uhr
Aufgabe 5.1
Es sei 
.
Wir definieren die folgende Abbildung 
.
Beweisen Sie: 
ist eine lineare Abbildung.
Interpretieren Sie geometrisch.
Hilfe:
Aufgabe 5.2
Es sei 
,
Es sei 
die 
Ebene, die wir wiederum als 
interpretieren. Wir bilden jedes Element des 
mittels der Abbildung 
auf wie folgt ab:
.
Beweisen Sie: ist linear.
Aufgabe 5.3
Geben sei 
eine Menge, die aus folgenden Vektoren des 
besteht:
, 
, 
Beweisen Sie: Jedes 
aus lässt sich als Linearkombination der Vektoren der Menge 
darstellen.
