Quiz9: Unterschied zwischen den Versionen

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{ In welchen Fällen ist der Begriff des Mittelpunkts einer Strecke mathematisch korrekt definiert worden?}
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{ Seien <math>\mathcal{M}</math> die Menge aller Punkte und <math>\mathcal{G}</math> die Menge aller Geraden. Welche der folgenden Aussagen ist äquivalent zu der Aussage <math>\forall A,P \in \mathcal{M}. \exist g \in \mathcal{G}: A, P \in g</math> ?}
- Der Mittelpunkt <math>\ M</math> einer Strecke <math>\overline{AB}</math> ist ein Punkt der mitten auf der Strecke sitzt.
+
- <math>\exist g \in \mathcal{G}. \forall A,P \in \mathcal{M}: A, P \in g</math>
|| was heißt mitten auf der Strecke?
+
|| Formulieren Sie die Aussage einmal natürlichsprachlich. Was bedeutet sie?
- Der Mittelpunkt <math>\ M</math> einer Strecke <math>\overline{AB}</math> ergibt sich aus der Schnittmenge der beiden Halbgeraden <math>\ AB^+ </math> und <math>\ AB^- </math>.
+
+ <math>\neg \exist A,P \in \mathcal{M}. \neg \exist g \in \mathcal{G}: A, P \in g</math>
|| es geht um Strecken, nicht um Geraden oder Halbgeraden.
+
|| Sehr gut! Sind Sie der Geist, der stets verneint?
- Ein Punkt <math>\ M</math>, der zu den Endpunkten <math>\ A</math> und <math>\ B</math> einer Strecke <math>\overline{AB}</math> jeweils den selben Abstand hat, heißt Mittelpunkt der Strecke <math>\overline{AB}</math>.
+
- <math>\forall g \in \mathcal{G}. \exist A,P \in \mathcal{M}: A, P \not \in g</math>
|| Ein solcher Punkt könnte auch außerhalb der Strecke <math>\overline{AB}</math> liegen - warum?
+
|| Ja oder nein - das ist hier die Frage.
+ Ein Punkt <math>\ M</math> der Strecke <math>\overline{AB}</math>, der zu den Endpunkten <math>\ A</math> und <math>\ B</math> jeweils den selben Abstand hat, heißt Mittelpunkt der Strecke <math>\overline{AB}</math>.
+
- <math>\forall A,P \in \mathcal{M}. \neg \exist g \in \mathcal{G}: A, P \not \in g</math>
|| so ist es korrekt!
+
|| Was nun: Gibt es jetzt mindestens eine Gerade, oder soll das für alle Geraden gelten?
+ Wenn für einen Punkt <math>\ M</math> gilt: <math>\ M \in \overline{AB}</math> mit: <math> \left| AM \right| = \left| MB \right|</math>, dann heißt <math>\ M</math> Mittelpunkt von <math>\overline{AB}</math>.
+
|| so klappt es auch!
+
  
{Welche der folgenden Aussagen ist zu folgendem Satz äquivalent:  
+
{ <math>\mathcal{M}</math> sei die Menge der Punkte <math>\ A, B, C</math>. Was ist die Negation der Aussage <math>\forall X, Y \in \mathcal{M} : X \not\equiv Y</math> ?}
Wenn ein n-Eck ein Dreieck ist, dann hat es genau einen Umkreis.}
+
- <math>\exist X \in \mathcal{M}.\forall Y \in \mathcal{M} : X \equiv Y</math>
- Es gibt Dreiecke mit Umkreisen.
+
|| Wenn Sie es nicht ganz so umständlich ausdrücken, kommen Sie auf eine andere falsche Aussage hier in dieser Auswahl.
|| aber nicht alle müssen genau einen Umkreis haben!
+
- <math>\forall X, Y \in \mathcal{M} : X \equiv Y</math>
- zu allen Kreisen existiert genau ein Dreieck.
+
|| Muss es denn eine Dreierbeziehung sein?
|| das ist offensichtlich Unsinn.
+
+ <math>\exist X, Y \in \mathcal{M} : X \equiv Y</math>
- Jedes n-Eck mit genau einem Umkreis ist ein Dreieck.
+
|| Richtig! Es gibt sie also doch, wenn man nur etwas negativ denkt!
|| das ist die Umkehrung der ursprünglichen Aussage und außerdem nicht wahr.
+
- <math>\neg \forall X, Y \in \mathcal{M} : X \equiv Y</math>
- Es existieren Dreiecke, die einen Umkreis haben.
+
|| Oft ist es einfach ein Strich zu wenig.
|| wo ist die Eindeutigkeit?
+
- Es existieren Umkreise.
+
|| ohne Worte!
+
+ hat ein n-Eck keinen oder mehr als einen Umkreis, dann ist es kein Dreieck.
+
|| dies ist die Kontraposition der oben genannten Aussage und damit äquivalent zu dieser!
+
  
{Wie lautet die korrekte "Wenn-Dann-Form" der folgenden Implikation?
+
{ Seien <math>\mathcal{M}</math> die Menge aller Punkte und <math>\mathcal{G}</math> die Menge von drei Geraden <math>\ g, h, i</math>. Welche der folgenden Aussagen ist äquivalent zu der Aussage "Je zwei von drei Geraden haben mindestens einen Punkt gemeinsam."?}
Die Innenwinkelsumme im Dreieck beträgt 180°.}
+
- <math>\exist x,y \in \mathcal{G}.\exist P \in \mathcal{M} : P \in x \and P \in y</math>
 
+
|| Die Aussage, die Sie suchen, sollte nicht die Option für Extrawürste enthalten!
- Wenn die Innenwinkelsumme eines n-Ecks 180° beträgt, so ist es ein Dreieck.
+
+ <math>\forall x,y \in \mathcal{G}. \neg \exist P \in \mathcal{M} : \neg P \in x \or \neg P \in y</math>
|| die Umkehrung lässt grüßen.
+
|| Stimmt. Ganz schön gemein, oder?
- Genau dann wenn ein Dreieck gegeben ist, beträgt seine Innenwinkelsumme 180°.
+
- <math>\forall x,y \in \mathcal{G}.\exist P \in \mathcal{M} : P \in x \or P \in y</math>
|| hier wird eine Äquivalenz formuliert.
+
|| Entweder oder? Oder beides? Oder was?
+ Wenn ein Dreieck gegeben ist, dann beträgt seine Innenwinkelsumme 180°.
+
- <math>\exist P \in \mathcal{M}.\forall x,y \in \mathcal{G}. : P \in x \and P \in y</math>
|| so ist es korrekt!
+
|| Sie haben von Dreiecken wohl schon genug?
- Wenn die Innenwinkelsumme eines n-Ecks keine 180° beträgt, dann ist das n-Eck kein Dreieck.
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|| es handelt sich hier um die Kontraposition.
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Aktuelle Version vom 16. Juni 2010, 00:00 Uhr

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1. Seien \mathcal{M} die Menge aller Punkte und \mathcal{G} die Menge aller Geraden. Welche der folgenden Aussagen ist äquivalent zu der Aussage \forall A,P \in \mathcal{M}. \exist g \in \mathcal{G}: A, P \in g ?

\exist g \in \mathcal{G}. \forall A,P \in \mathcal{M}: A, P \in g
Formulieren Sie die Aussage einmal natürlichsprachlich. Was bedeutet sie?
\neg \exist A,P \in \mathcal{M}. \neg \exist g \in \mathcal{G}: A, P \in g
Sehr gut! Sind Sie der Geist, der stets verneint?
\forall g \in \mathcal{G}. \exist A,P \in \mathcal{M}: A, P \not \in g
Ja oder nein - das ist hier die Frage.
\forall A,P \in \mathcal{M}. \neg \exist g \in \mathcal{G}: A, P \not \in g
Was nun: Gibt es jetzt mindestens eine Gerade, oder soll das für alle Geraden gelten?

2. \mathcal{M} sei die Menge der Punkte \ A, B, C. Was ist die Negation der Aussage \forall X, Y \in \mathcal{M} : X \not\equiv Y ?

\exist X \in \mathcal{M}.\forall Y \in \mathcal{M} : X \equiv Y
Wenn Sie es nicht ganz so umständlich ausdrücken, kommen Sie auf eine andere falsche Aussage hier in dieser Auswahl.
\forall X, Y \in \mathcal{M} : X \equiv Y
Muss es denn eine Dreierbeziehung sein?
\exist X, Y \in \mathcal{M} : X \equiv Y
Richtig! Es gibt sie also doch, wenn man nur etwas negativ denkt!
\neg \forall X, Y \in \mathcal{M} : X \equiv Y
Oft ist es einfach ein Strich zu wenig.

3. Seien \mathcal{M} die Menge aller Punkte und \mathcal{G} die Menge von drei Geraden \ g, h, i. Welche der folgenden Aussagen ist äquivalent zu der Aussage "Je zwei von drei Geraden haben mindestens einen Punkt gemeinsam."?

\exist x,y \in \mathcal{G}.\exist P \in \mathcal{M} : P \in x \and P \in y
Die Aussage, die Sie suchen, sollte nicht die Option für Extrawürste enthalten!
\forall x,y \in \mathcal{G}. \neg \exist P \in \mathcal{M} : \neg P \in x \or \neg P \in y
Stimmt. Ganz schön gemein, oder?
\forall x,y \in \mathcal{G}.\exist P \in \mathcal{M} : P \in x \or P \in y
Entweder oder? Oder beides? Oder was?
\exist P \in \mathcal{M}.\forall x,y \in \mathcal{G}. : P \in x \and P \in y
Sie haben von Dreiecken wohl schon genug?

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