Beweisen SoSe 13: Unterschied zwischen den Versionen
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==Notwendigkeit des Beweises eines Satzes== | ==Notwendigkeit des Beweises eines Satzes== | ||
::Obige Implikation hinsichtlich der spielerischen Stärke des FC Barcelona in Anhängigkeit der Verfügbarkeit des Weltfußballers Messi wird nur schwer zu beweisen sein und kann damit nicht als Satz im mathematischen Sinne verstanden werden. Mathematische Sätze sind wahre Aussagen und als solche zu beweisen. | ::Obige Implikation hinsichtlich der spielerischen Stärke des FC Barcelona in Anhängigkeit der Verfügbarkeit des Weltfußballers Messi wird nur schwer zu beweisen sein und kann damit nicht als Satz im mathematischen Sinne verstanden werden. Mathematische Sätze sind wahre Aussagen und als solche zu beweisen. | ||
− | == | + | =Direkte Beweise= |
− | ==Beispiel 1: Der Scheitelwinkelsatz== | + | ==Beispiele für direkte Beweise== |
− | ===Vorab=== | + | |
+ | ===Beispiel 1: Der Scheitelwinkelsatz=== | ||
+ | ====Vorab==== | ||
Es sei bereits klar, dass Nebenwinkel supplementär sind (sich zu <math>180</math>° ergänzen).<br /> | Es sei bereits klar, dass Nebenwinkel supplementär sind (sich zu <math>180</math>° ergänzen).<br /> | ||
Natürlich seien die Begriffe Scheitelwinkel und Nebenwinkel sauber definiert. | Natürlich seien die Begriffe Scheitelwinkel und Nebenwinkel sauber definiert. | ||
− | ===Der Satz=== | + | ====Der Satz==== |
:'''Satz: (Scheitelwinkelsatz)''' | :'''Satz: (Scheitelwinkelsatz)''' | ||
::Wenn zwei Winkel <math>\alpha</math> und <math>\beta</math> Scheitelwinkel sind, so haben sie dieselbe Größe. | ::Wenn zwei Winkel <math>\alpha</math> und <math>\beta</math> Scheitelwinkel sind, so haben sie dieselbe Größe. | ||
+ | ====Der Beweis==== | ||
+ | =====Skizze===== | ||
+ | [[File:Beweis Scheitelwinkelsatz.png|300px]] | ||
+ | ====Voraussetzung==== | ||
+ | ::<math>\alpha</math> und <math>\beta</math> bilden ein Paar von Scheitelwinkeln | ||
+ | =====Behauptung===== | ||
+ | ::<math>|\alpha| = |\beta|</math> | ||
+ | =====Beweisführung (unter Bezug auf die Beweisskizze)===== | ||
+ | # <math>|\alpha| + |\gamma| =180</math>° (Begründung: <math>\alpha</math> und <math>\gamma</math> sind Nebenwinkel und als solche supplementär.) | ||
+ | # <math>|\beta| + |\gamma| =180</math>° (Begründung: <math>\beta</math> und <math>\gamma</math> sind Nebenwinkel und als solche supplementär.) | ||
+ | # <math>|\alpha| + |\gamma| = |\beta| + |\gamma|</math> (Begründung: linke Seite von Gleichung 1 ist gleich der linken Seite von Geleichung 2.) | ||
+ | # <math>|\alpha| = |\beta|</math> (Begründung: Auf beiden Seiten der Gleichung 3 <math> |\gamma|</math> subtrahieren.) | ||
+ | q.e.d. | ||
+ | |||
+ | ===Beispiel 2: Der starke Außenwinkelsatz=== | ||
+ | ====Vorab==== | ||
+ | Bereits klar sei: | ||
+ | # Innenwinkelsumme im Dreieck beträgt <math>180</math>°. | ||
+ | # Nebenwinkel sind supplementär. | ||
+ | # Alle Begriffe sauber definiert. | ||
+ | ====Der Satz==== | ||
+ | :'''Satz: (starker Außenwinkelsatz)''' | ||
+ | ::Jeder Außenwinkel eines Dreiecks ist so groß wie die Summe der Größen der beiden Innenwinkel des Dreiecks, die keine Nebenwinkel dieses Außenwinkels sind. | ||
+ | ====Skizze==== | ||
+ | [[File:Beweis Außenwinkelsatz.png|300px]] | ||
+ | |||
+ | ====Voraussetzung==== | ||
+ | ::Der Winkel <math>\delta</math> sei ein Außenwinkel eines Dreiecks <math>\overline{ABC}</math>. O.B.d.A. sei <math>\delta</math> Nebenwinkel vom Innenwinkel <math>\beta</math> des Dreiecks <math>\overline{ABCD}</math>. (Die beiden Innenwinkel, die zu <math>\delta</math> keine Nebenwinkel sind, seien <math>\alpha</math> und <math>\gamma</math>.) | ||
+ | |||
+ | ====Behauptung==== | ||
+ | ::<math>|\alpha| + |\gamma| = |\delta|</math> | ||
+ | ====Beweis==== | ||
+ | Das können Sie selbst. Ergänzen Sie hier den Beweis. Orientieren Sie sich am Beweis des Scheitelwinkelsatzes. | ||
+ | ==Was sind direkte Beweise?== | ||
+ | :: In den obigen Bespielen wurde ausgehend von der Voraussetzung und der Verwendung weiterer bereits bewiesener Sätze die Behauptung unmittelbar hergeleitet. Am Ende der Herleitungskette steht die Behauptung. Man spricht in einem solchen Fall von einem direkten Beweis. | ||
+ | |||
+ | = Indirekte Beweise = | ||
+ | == Beispiel 1: Winkel-Seiten-Beziehung im Dreieck== | ||
+ | |||
+ | ===Vorab=== | ||
+ | ::Wir gehen davon aus, dass wir die Seiten-Winkel-Beziehung für Dreiecke bereits bewiesen haben: In jedem Dreieck liegt der größeren Seite auch der größere Winkel gegenüber. | ||
+ | |||
+ | ===Der Satz === | ||
+ | :'''Satz: (Winkel-Seiten-Beziehung im Dreieck)''' | ||
+ | ::Es sei<math> \overline{ABC}</math> ein Dreieck mit den schulüblichen Bezeichnungen. Wenn der Winkel <math>\alpha</math> größer als der Winkel <math>\beta</math> ist, dann ist die Seite <math>a</math> länger als die Seite <math>b</math>. | ||
+ | ===Voraussetzung === | ||
+ | :<math>|\alpha| > |\beta|</math> | ||
+ | ===Behauptung=== | ||
+ | :<math>|a|>|b|</math> | ||
+ | === Annahme=== | ||
+ | :<math>|a|\le |b|</math> (Das Gegenteil der Behauptung) | ||
+ | === Beweisführung=== | ||
+ | :Mittels der Annahme wird ein Widerspruch aufgedeckt | ||
+ | ::Im speziellen Fall geht das sehr schnell: | ||
+ | # Aus der Annahme folgt unter Berücksichtigung der bereits bewiesenen Seiten-Winkelbeziehung, dass <math>|\alpha|\le |\beta|</math> gelten muss. | ||
+ | # Letzteres ist ein Widerspruch zur Voraussetzung <math>|\alpha| > |\beta|</math>. | ||
+ | Die Annahme ist somit zu verwerfen. | ||
+ | |||
+ | == Beispiel 2: Eindeutigkeit des Lotes von einem Punkt auf eine Gerade == | ||
+ | ===Klärung der Begriffe=== | ||
+ | Es seien <math>g</math> eine Gerade und <math>P</math> ein Punkt außerhalb von <math>g</math>. | ||
+ | ::Lotgerade von <math>P</math> auf <math>g</math>: Gerade, die senkrecht auf <math>g</math> steht und durch <math>P</math> geht. | ||
+ | ::Lotfußpunkt des Lotes von <math>P</math> auf <math>g</math>: Schnittpunkt <math>F</math> der Lotgeraden von <math>P</math> auf <math>g</math> mit <math>g</math>. | ||
+ | ::Lot l von <math>P</math> auf <math>g</math>: <math>l:=\overline{PF}</math> | ||
+ | ::''Senkrechtstehen'' können sie intuitiv gebrauchen: Die Lotgerade bildet mit <math>g</math> rechte Winkel, also Winkel der Größe <math>90^\circ</math>. | ||
+ | |||
+ | ===Der Satz=== | ||
+ | ::Wenn <math>g</math> eine Gerade und <math>P</math> ein nicht zu <math>g</math> gehörender Punkt sind, dann gibt es höchstens ein Lot von <math>P</math> auf <math>g</math>. | ||
===Der Beweis=== | ===Der Beweis=== | ||
− | |||
+ | ====Die Annahme==== | ||
+ | ::Es gibt zwei zueinander verschiedene Lote <math>l_1</math> und <math>l_2</math> von <math>P</math> auf <math>g</math>. | ||
+ | ====Die Beweisführung==== | ||
+ | [[Datei:Eindeutigkeit des Lotes.png|300px]]<br /> | ||
+ | # Es sei <math>\alpha</math> der Nebenwinkel zu <math>\angle PL_1L_2</math> | ||
+ | # Weil <math>l_1</math> Lot von <math>P</math> auf <math>g</math> ist, hat <math>\alpha</math> die Größe <math>90^\circ</math>. | ||
+ | # Der Winkel <math>\beta=\angle PL_2L_1</math> hat ebenso die Größe <math>90^\circ</math>, denn auch <math>l_2</math> ist Lot von <math>P</math> auf <math>g</math>. | ||
+ | # Nun ist <math>\alpha</math> als Außenwinkel des Dreiecks <math>\overline{PL_1L_2}</math> so groß wie der ihm nicht anliegende Innenwinkel <math>\beta</math> dieses Dreiecks. | ||
+ | # <math>\lightning</math> Letzteres ist jedoch ein Widerspruch zum Außenwinkelsatz. | ||
+ | # Die Annahme ist damit zu verwerfen. | ||
+ | |||
+ | ===Bemerkung=== | ||
+ | ::In diesemBeispiel hatten wir einen Eindeutigkeitsbeweis zu führen. Wir werden solche Beweise auch ''Highlanderbeweise'' nennen ('''Es kann nur einen geben'''). | ||
+ | |||
+ | '''Highlanderbeweise führt man in der Regel als Widerspruchsbeweis.''' | ||
+ | |||
+ | [[File:Eilean Donan Castle, Scotland - Jan 2011.jpg|200px]] | ||
+ | [[File:Christophe Lambert 66ème Festival de Venise (Mostra).jpg|100px]] | ||
+ | |||
+ | ==Beispiel 3: Eine Gerade, die senkrecht auf dem Berührungsradius steht, ist Kreistangente== | ||
+ | ===Der Satz=== | ||
+ | Präambel: | ||
+ | :Wir setzen zunächst ebene Geometrie voraus. | ||
+ | :Es seien <math>k</math> ein Kreis mit dem Mittelpunkt <math>M</math> und <math>g</math> eine Gerade, die mit <math>k</math> den Punkt <math>B</math> gemeinsam haben möge. | ||
+ | Implikation: | ||
+ | :Wenn <math>g</math> senkrecht auf <math>MB</math> steht, dann hat <math>g</math> mit <math>k</math> keinen weiteren von <math>B</math> verschiedenen Punkt gemeinsam. | ||
+ | ===Der Beweis=== | ||
+ | |||
+ | ====Annahme==== | ||
+ | [[Datei:Senkrecht auf Berührungsradius.png|300px]]<br /> | ||
+ | ::Es existiert ein weiterer von <math>B</math> verschiedener Punkt <math>A</math>, den <math>g</math> und <math>k</math> gemeinsam haben. | ||
+ | ====Beweisführung==== | ||
+ | ::Das können Sie selbst. Beziehen Sie sich auf die obige Skizze und verwenden Sie: | ||
+ | # Basiswinkelsatz | ||
+ | # Innenwinkelsatz | ||
+ | # oder Außenwinkelsatz (dann wäre die Skizze zu ergänzen). | ||
+ | |||
+ | =====Beweis von User Muellerm===== | ||
+ | Beweis:<br /> | ||
+ | 1. |MB| = |MA| = Kreisradius<br /> | ||
+ | 2. damit ist <math>\overline{MAB}</math> ein gleichschenkliges Dreieck<br /> | ||
+ | 3. <math>\alpha</math> und <math>\beta</math> sind Basiswinkel und haben somit die gleiche Größe<br /> | ||
+ | 4. nun sind <math>\beta</math> = <math>\alpha</math> = 90° Innenwinkel des Dreiecks <math>\overline{MAB}</math> [neuer Versuch, ursprüngliche Begründung s.u.]<br /> | ||
+ | 5. <math>\lightning</math> Widerspruch zum Innenwinkelsatz.<br /> | ||
+ | 6. Die Annahme ist damit zu verwerfen.<br /> | ||
+ | <br /> | ||
+ | <br /> | ||
+ | [Erster, zu verwerfender, Versuch der Begründung bei 4. <math>\beta</math> = 90° (siehe Annahme), also auch <math>\alpha</math> = 90°]<br /> | ||
+ | <br /> | ||
+ | --[[Benutzer:Muellerm|mllr]] 11:52, 11. Mai 2013 (CEST)<br /> | ||
+ | =====Kommentar --[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 12:54, 13. Mai 2013 (CEST)===== | ||
+ | Im ersten Versuch hatten Sie 4. mit der Annahme zu begründen versucht. Wahrscheinlich meinten Sie die Skizze, die der Annahme beigefügt wurde. Zu begründen wäre, dass <math>\alpha</math> und <math>\beta</math> jweils die Größe <math>90^\circ</math> haben. Hierfür müssen zwei Begründungen geliefert werde: | ||
+ | # <math>|\alpha|=90^\circ</math> wegen der Voraussetzung (und nicht wegen der Annahme) | ||
+ | # <math>|\beta|=|\alpha|</math> weil sie Basiswinkel sind | ||
+ | |||
+ | ==Widerspruchsbeweise== | ||
+ | Alle Beweise aus den Beispielen 1 bis 3 zu den indirekten Beweisen wurden als Widerspruchsbeweis geführt. | ||
+ | ===Der Ablauf eines Widerspruchsbeweises=== | ||
+ | ====Ausgangslage==== | ||
+ | :Eine Implikation <math>a \Rightarrow b</math> soll bewiesen werden: | ||
+ | ::Voraussetzung: | ||
+ | :::a | ||
+ | ::Behauptung: | ||
+ | :::b | ||
+ | ====Formulierung der Annahme==== | ||
+ | # Wir behalten die Gültigkeit der Voraussetzung a bei und | ||
+ | # nehmen jedoch das Gegenteil der Behauptung an. | ||
+ | :'''Annahme:''' | ||
+ | ::<math>\neg b</math> | ||
+ | ====Weiterer Ablauf es Beweises==== | ||
+ | :Wir leiten aus der Annahme Schlussfolgerungen ab, die schließlich zu einem Widerspruch führen. Häufig ergibt sich dieser als Widerspruch zur Voraussetzung (Beispiel 1). Es muss sich beim Widerspruchsbeweis der Widerspruch jedoch nicht zwingend zur unmittelbar zur Voraussetzung ergeben. es können sich auch Widersprüche zu anderen Sätzen bzw. wahren Aussagen ergeben (Beispiel 2: Widerspruch zum Außenwinkelsatz). | ||
+ | ==Beweis mittels der Kontraposition einer Implikation== | ||
+ | ===Begriff der Kontraposition=== | ||
+ | ====Beispiel 1: Kontraposition des Innenwinkelsatzes für Dreiecke==== | ||
+ | =====Der Innenwinkelsatz===== | ||
+ | :Wenn ein n-Eck ein Dreieck ist, dann beträgt die Summe der Größen seiner Innnenwinkel <math>180^\circ</math> | ||
+ | ====Die Voraussetzung noch einmal explizit==== | ||
+ | :Ein n-Eck <math>F</math> sei ein Dreieck | ||
+ | =====Die Behauptung noch einmal explizit===== | ||
+ | :Die Innenwinkelsumme von <math>F</math> beträgt <math>180^\circ</math>. | ||
+ | =====Konstruktion der Kontraposition===== | ||
+ | #Bilden eine Implikation die durch Vertauschung von Voraussetzung und Behauptung der ursprünglichen Implikation entsteht. Anders ausgedrückt: Wir bilden die Umkehrung der ursprünglichen Implikation: Wenn in einem n-Eck <math>F</math> die Innenwinkelsumme <math>180^\circ</math> beträgt, dann ist <math>F</math> ein Dreieck. | ||
+ | #Wir negieren in der Umkehrung die Voraussetzung und die Behauptung: Wenn in einem n-Eck <math>F</math> die Innenwinkelsumme verschieden von <math>180^\circ</math> ist, dann ist <math>F</math> kein Dreieck. | ||
+ | ===Definition des Begriffs der Kontraposition=== | ||
+ | {{Definition|1=(Kontraposition einer Implikation)<br /> Unter der Kontraposition der Implikation <math>a \Rightarrow b</math> versteht man die Implikation <math>\neg b \Rightarrow \neg a</math>.}} | ||
+ | ===Bedeutung der Kontraposition einer Implikation für das Beweisen dieser Implikation=== | ||
+ | ====Eine Übung==== | ||
+ | =====Satz des Pythagoras===== | ||
+ | # Wenn ein Dreieck rechtwinklig ist, dann ist die Summe der Quadrate der Längen der Katheten gleich dem Quadrat der Länge der Hypotenuse. | ||
+ | # Wahrheitswert des Satzes von Pythagoras: | ||
+ | # Umkehrung des Satzes von Pythagoras: | ||
+ | # Wahrheitswert der Umkehrung des Satzes von Pythagoras: | ||
+ | # Kontraposition des Satzes von Pythagoras: | ||
+ | # Wahrheitswert der Kontraposition: | ||
+ | =====Eigenschaften von Quadratdiagonalen===== | ||
+ | # Implikation 1: Wenn ein Viereck ein Quadrat ist, dann halbieren sich seine Diagonalen. | ||
+ | # Wahrheitswert von Implikation 1: | ||
+ | # Umkehrung von Implikation 1: | ||
+ | # Wahrheitswert der Umkehrung von Implikation 1: | ||
+ | # Kontraposition von Implikation 1: | ||
+ | # Wahrheitswert der Kontraposition von Implikation 1: | ||
+ | =====Nebenwinkelsatz===== | ||
+ | # Nebenwinkelsatz: | ||
+ | # Wahrheitswert des Nebenwinkelsatzes: | ||
+ | # Umkehrung des Nebenwinkelsatzes: | ||
+ | # Wahrheitswert der Umkehrung des Nebenwinkelsatzes: | ||
+ | # Kontraposition des Nebenwinkelsatzes: | ||
+ | # Wahrheitswert der Kontraposition des Nebenwinkelsatzes: | ||
+ | =====Scheitelwinkelsatz===== | ||
+ | # Scheitelwinkelsatz: | ||
+ | # Wahrheitswert des Scheitelwinkelsatzes: | ||
+ | # Umkehrung des Scheitelwinkelsatzes: | ||
+ | # Wahrheitswert der Umkehrung des Scheitelwinkelsatzes: | ||
+ | # Kontraposition des Scheitelwinkelsatzes: | ||
+ | # Wahrheitswert der Kontraposition des Scheitelwinkelsatzes: | ||
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Aktuelle Version vom 13. Mai 2013, 11:54 Uhr
ImplikationenBeispieleBeispiel 1
Beispiel 2Wenn ein Trapez ein Rechteck ist, dann sind sein Diagonalen kongruent zueinander. Beispiel 3Wenn ein Boxer während des Kampfes seinem Gegner den Rücken zukehrt, hat er den Kampf verloren. Beispiel 4Wenn zwei Winkel Stufenwinkel an geschnittenen Parallelen sind, dann sind sie kongruent zueinander. Grundlegender Aufbau
Zusammenhang zur hinreichenden BedingungIst die Aussage wahr, so ist die Bedingung der Implikation hinreichend dafür, dass die Behauptung b gilt. "Versteckte" ImplikationenBeispieleBeispiel 1: StufenwinkelsatzOhne Wenn-Dann
Wenn-Dann-Form
Voraussetzung
Behauptung
Beispiel 2: Innenwinkelsatz für DreieckeOhne Wenn-Dann
Wenn-Dann-Form
Voraussetzung
Behauptung
Beispiel 3: Umkehrung des ThalessatzesOhne Wenn-Dann
Wenn-Dann-Form
Voraussetzung
Behauptung
Implikationen als mathematische Sätzemathematische Sätze
Implikationen als Sätze
Die Implikation einer Behauptung und die Implikation als Behauptung (umgangssprachlich)
Eine gewagte Behauptung
Notwendigkeit des Beweises eines Satzes
Direkte BeweiseBeispiele für direkte BeweiseBeispiel 1: Der ScheitelwinkelsatzVorabEs sei bereits klar, dass Nebenwinkel supplementär sind (sich zu ° ergänzen). Der Satz
Der BeweisSkizzeVoraussetzung
BehauptungBeweisführung (unter Bezug auf die Beweisskizze)
q.e.d. Beispiel 2: Der starke AußenwinkelsatzVorabBereits klar sei:
Der Satz
SkizzeVoraussetzung
BehauptungBeweisDas können Sie selbst. Ergänzen Sie hier den Beweis. Orientieren Sie sich am Beweis des Scheitelwinkelsatzes. Was sind direkte Beweise?
Indirekte BeweiseBeispiel 1: Winkel-Seiten-Beziehung im DreieckVorab
Der Satz
VoraussetzungBehauptungAnnahme
Beweisführung
Die Annahme ist somit zu verwerfen. Beispiel 2: Eindeutigkeit des Lotes von einem Punkt auf eine GeradeKlärung der BegriffeEs seien eine Gerade und ein Punkt außerhalb von .
Der Satz
Der BeweisDie Annahme
Die Beweisführung
Letzteres ist jedoch ein Widerspruch zum Außenwinkelsatz.
Bemerkung
Highlanderbeweise führt man in der Regel als Widerspruchsbeweis. Beispiel 3: Eine Gerade, die senkrecht auf dem Berührungsradius steht, ist KreistangenteDer SatzPräambel:
Implikation:
Der BeweisAnnahme
Beweisführung
Beweis von User MuellermBeweis: Widerspruch zum Innenwinkelsatz. 6. Die Annahme ist damit zu verwerfen. Kommentar --*m.g.* 12:54, 13. Mai 2013 (CEST)Im ersten Versuch hatten Sie 4. mit der Annahme zu begründen versucht. Wahrscheinlich meinten Sie die Skizze, die der Annahme beigefügt wurde. Zu begründen wäre, dass und jweils die Größe haben. Hierfür müssen zwei Begründungen geliefert werde:
WiderspruchsbeweiseAlle Beweise aus den Beispielen 1 bis 3 zu den indirekten Beweisen wurden als Widerspruchsbeweis geführt. Der Ablauf eines WiderspruchsbeweisesAusgangslage
Formulierung der Annahme
Weiterer Ablauf es Beweises
Beweis mittels der Kontraposition einer ImplikationBegriff der KontrapositionBeispiel 1: Kontraposition des Innenwinkelsatzes für DreieckeDer Innenwinkelsatz
Die Voraussetzung noch einmal explizit
Die Behauptung noch einmal explizit
Konstruktion der Kontraposition
Definition des Begriffs der KontrapositionDefinition (Kontraposition einer Implikation) Bedeutung der Kontraposition einer Implikation für das Beweisen dieser ImplikationEine ÜbungSatz des Pythagoras
Eigenschaften von Quadratdiagonalen
Nebenwinkelsatz
Scheitelwinkelsatz
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