Aktuelle Version vom 13. Mai 2013, 11:54 Uhr

Inhaltsverzeichnis

1 Implikationen
2 "Versteckte" Implikationen
- 2.1 Beispiele
3 Implikationen als mathematische Sätze
4 Notwendigkeit des Beweises eines Satzes
5 Direkte Beweise
- 5.1 Beispiele für direkte Beweise
  - 5.1.1 Beispiel 1: Der Scheitelwinkelsatz
  - 5.1.2 Beispiel 2: Der starke Außenwinkelsatz
- 5.2 Was sind direkte Beweise?
6 Indirekte Beweise

Implikationen

Beispiele

Beispiel 1

Wenn der BVB im Finale der Champions League das erste Tor des Spieles schießt, dann gewinnt er die Champions League der Saison 2012/13.

Beispiel 2

Wenn ein Trapez ein Rechteck ist, dann sind sein Diagonalen kongruent zueinander.

Beispiel 3

Wenn ein Boxer während des Kampfes seinem Gegner den Rücken zukehrt, hat er den Kampf verloren.

Beispiel 4

Wenn zwei Winkel Stufenwinkel an geschnittenen Parallelen sind, dann sind sie kongruent zueinander.

Grundlegender Aufbau

Wenn Bedingung $a$ , dann Behauptung $b$ .
Aus $a$ folgt $b$ .
$a \Rightarrow b$

Zusammenhang zur hinreichenden Bedingung

Ist die Aussage $a \Rightarrow b$ wahr, so ist die Bedingung der Implikation hinreichend dafür, dass die Behauptung b gilt.

"Versteckte" Implikationen

Beispiele

Beispiel 1: Stufenwinkelsatz

Ohne Wenn-Dann

Stufenwinkel an geschnittenen Parallelen sind kongruent zueinander

Wenn-Dann-Form

Wenn zwei Winkel Stufenwinkel an geschnittenen Parallelen sind, dann sind sie kongruent zueinander.

Voraussetzung

die beiden Winkel sind Stufenwinkel
an geschnittenen Parallelen

Behauptung

die beiden Winkel sind kongruent zueinander

Beispiel 2: Innenwinkelsatz für Dreiecke

Ohne Wenn-Dann

In jedem Dreieck beträgt die Summe der Größen seiner Innenwinkel $180$ °.

Wenn-Dann-Form

Wenn ein n-Eck ein Dreieck ist, dann beträgt die Summe der Größen seiner Innenwinkel $180$ °.

Voraussetzung

Das betrachtetet n-Eck ist ein Dreieck

Behauptung

Die Summe der Größen seiner Innenwinkel beträgt $180$ °.

Beispiel 3: Umkehrung des Thalessatzes

Ohne Wenn-Dann

Der Mittelpunkt des Umkreises eines rechtwinkligen Dreiecks liegt auf der längsten Seite dieses Dreiecks.

Wenn-Dann-Form

Wenn ein Dreieck rechtwinklig ist, dann liegt der Mittelpunkt seines Umkreises auf der längsten seiner Seiten.

Voraussetzung

Das betrachtete Dreieck ist rechtwinklig.

Behauptung

Der Mittelpunkt seines Umkreises liegt auf der längsten seiner Seiten.

Implikationen als mathematische Sätze

mathematische Sätze

Unter einem mathematischen Satz (im folgenden kurz Satz) versteht man eine mathematische Aussage, die wahr ist.

Implikationen als Sätze

In der Regel werden Sätze als Implikationen formuliert.

Die Voraussetzung der Implikation ist dann eine hinreichende Bedingung für die Behauptung der Implikation.

Die Implikation einer Behauptung und die Implikation als Behauptung (umgangssprachlich)

Der Begriff der Behauptung wird natürlich auch umgangssprachlich verwendet. Meine Erfahrung lehrt mich, dass Novizen der mathematischen Logik diesbezüglich zu Verwechslungen neigen:

Eine gewagte Behauptung

Wenn der FC Barcelona ohne Messi spielt, dann halbiert sich seine Spielstärke.

Fans des FC Barcelona werden die gesamte Implikation (also die gesamte Aussage Wenn der FC Barcelona ohne Messi spielt, dann halbiert sich seine Spielstärke.) als eine gewagte Behauptung ansehen.

Demgegenüber ist die Aussage Barcelona spielt ohne Messi die Voraussetzung der Implikation und die Aussage die Spielstärke halbiert sich die Behauptung der Implikation.

Notwendigkeit des Beweises eines Satzes

Obige Implikation hinsichtlich der spielerischen Stärke des FC Barcelona in Anhängigkeit der Verfügbarkeit des Weltfußballers Messi wird nur schwer zu beweisen sein und kann damit nicht als Satz im mathematischen Sinne verstanden werden. Mathematische Sätze sind wahre Aussagen und als solche zu beweisen.

Direkte Beweise

Beispiele für direkte Beweise

Beispiel 1: Der Scheitelwinkelsatz

Vorab

Es sei bereits klar, dass Nebenwinkel supplementär sind (sich zu $180$ ° ergänzen).
Natürlich seien die Begriffe Scheitelwinkel und Nebenwinkel sauber definiert.

Der Satz

Satz: (Scheitelwinkelsatz)

Wenn zwei Winkel $\alpha$ und $\beta$ Scheitelwinkel sind, so haben sie dieselbe Größe.

Der Beweis

Skizze

Voraussetzung

$\alpha$ und $\beta$ bilden ein Paar von Scheitelwinkeln

Behauptung

$|\alpha| = |\beta|$

Beweisführung (unter Bezug auf die Beweisskizze)

$|\alpha| + |\gamma| =180$ ° (Begründung: $\alpha$ und $\gamma$ sind Nebenwinkel und als solche supplementär.)
$|\beta| + |\gamma| =180$ ° (Begründung: $\beta$ und $\gamma$ sind Nebenwinkel und als solche supplementär.)
$|\alpha| + |\gamma| = |\beta| + |\gamma|$ (Begründung: linke Seite von Gleichung 1 ist gleich der linken Seite von Geleichung 2.)
$|\alpha| = |\beta|$ (Begründung: Auf beiden Seiten der Gleichung 3 $|\gamma|$ subtrahieren.)

q.e.d.

Beispiel 2: Der starke Außenwinkelsatz

Vorab

Bereits klar sei:

Innenwinkelsumme im Dreieck beträgt $180$ °.
Nebenwinkel sind supplementär.
Alle Begriffe sauber definiert.

Der Satz

Satz: (starker Außenwinkelsatz)

Jeder Außenwinkel eines Dreiecks ist so groß wie die Summe der Größen der beiden Innenwinkel des Dreiecks, die keine Nebenwinkel dieses Außenwinkels sind.

Skizze

Voraussetzung

Der Winkel $\delta$ sei ein Außenwinkel eines Dreiecks $\overline{ABC}$ . O.B.d.A. sei $\delta$ Nebenwinkel vom Innenwinkel $\beta$ des Dreiecks $\overline{ABCD}$ . (Die beiden Innenwinkel, die zu $\delta$ keine Nebenwinkel sind, seien $\alpha$ und $\gamma$ .)

Behauptung

$|\alpha| + |\gamma| = |\delta|$

Beweis

Das können Sie selbst. Ergänzen Sie hier den Beweis. Orientieren Sie sich am Beweis des Scheitelwinkelsatzes.

Was sind direkte Beweise?

In den obigen Bespielen wurde ausgehend von der Voraussetzung und der Verwendung weiterer bereits bewiesener Sätze die Behauptung unmittelbar hergeleitet. Am Ende der Herleitungskette steht die Behauptung. Man spricht in einem solchen Fall von einem direkten Beweis.

Indirekte Beweise

Beispiel 1: Winkel-Seiten-Beziehung im Dreieck

Vorab

Wir gehen davon aus, dass wir die Seiten-Winkel-Beziehung für Dreiecke bereits bewiesen haben: In jedem Dreieck liegt der größeren Seite auch der größere Winkel gegenüber.

Der Satz

Satz: (Winkel-Seiten-Beziehung im Dreieck)

Es sei $\overline{ABC}$ ein Dreieck mit den schulüblichen Bezeichnungen. Wenn der Winkel $\alpha$ größer als der Winkel $\beta$ ist, dann ist die Seite $a$ länger als die Seite $b$ .

Voraussetzung

$|\alpha| > |\beta|$

Behauptung

$|a|>|b|$

Annahme

$|a|\le |b|$ (Das Gegenteil der Behauptung)

Beweisführung

Mittels der Annahme wird ein Widerspruch aufgedeckt

Im speziellen Fall geht das sehr schnell:

Aus der Annahme folgt unter Berücksichtigung der bereits bewiesenen Seiten-Winkelbeziehung, dass $|\alpha|\le |\beta|$ gelten muss.
Letzteres ist ein Widerspruch zur Voraussetzung $|\alpha| > |\beta|$ .

Die Annahme ist somit zu verwerfen.

Beispiel 2: Eindeutigkeit des Lotes von einem Punkt auf eine Gerade

Klärung der Begriffe

Es seien $g$ eine Gerade und $P$ ein Punkt außerhalb von $g$ .

Lotgerade von $P$ auf $g$ : Gerade, die senkrecht auf $g$ steht und durch $P$ geht.

Lotfußpunkt des Lotes von $P$ auf $g$ : Schnittpunkt $F$ der Lotgeraden von $P$ auf $g$ mit $g$ .

Lot l von $P$ auf $g$ : $l:=\overline{PF}$

Senkrechtstehen können sie intuitiv gebrauchen: Die Lotgerade bildet mit $g$ rechte Winkel, also Winkel der Größe $90^\circ$ .

Der Satz

Wenn $g$ eine Gerade und $P$ ein nicht zu $g$ gehörender Punkt sind, dann gibt es höchstens ein Lot von $P$ auf $g$ .

Der Beweis

Die Annahme

Es gibt zwei zueinander verschiedene Lote $l_1$ und $l_2$ von $P$ auf $g$ .

Die Beweisführung

Es sei $\alpha$ der Nebenwinkel zu $\angle PL_1L_2$
Weil $l_1$ Lot von $P$ auf $g$ ist, hat $\alpha$ die Größe $90^\circ$ .
Der Winkel $\beta=\angle PL_2L_1$ hat ebenso die Größe $90^\circ$ , denn auch $l_2$ ist Lot von $P$ auf $g$ .
Nun ist $\alpha$ als Außenwinkel des Dreiecks $\overline{PL_1L_2}$ so groß wie der ihm nicht anliegende Innenwinkel $\beta$ dieses Dreiecks.
Fehler beim Parsen(Unbekannte Funktion „\lightning“): \lightning

Letzteres ist jedoch ein Widerspruch zum Außenwinkelsatz.

Die Annahme ist damit zu verwerfen.

Bemerkung

In diesemBeispiel hatten wir einen Eindeutigkeitsbeweis zu führen. Wir werden solche Beweise auch Highlanderbeweise nennen (Es kann nur einen geben).

Highlanderbeweise führt man in der Regel als Widerspruchsbeweis.

Beispiel 3: Eine Gerade, die senkrecht auf dem Berührungsradius steht, ist Kreistangente

Der Satz

Präambel:

Wir setzen zunächst ebene Geometrie voraus.

Es seien $k$ ein Kreis mit dem Mittelpunkt $M$ und $g$ eine Gerade, die mit $k$ den Punkt $B$ gemeinsam haben möge.

Implikation:

Wenn $g$ senkrecht auf $MB$ steht, dann hat $g$ mit $k$ keinen weiteren von $B$ verschiedenen Punkt gemeinsam.

Der Beweis

Annahme

Es existiert ein weiterer von $B$ verschiedener Punkt $A$ , den $g$ und $k$ gemeinsam haben.

Beweisführung

Das können Sie selbst. Beziehen Sie sich auf die obige Skizze und verwenden Sie:

Basiswinkelsatz
Innenwinkelsatz
oder Außenwinkelsatz (dann wäre die Skizze zu ergänzen).

Beweis von User Muellerm

Beweis:
1. |MB| = |MA| = Kreisradius
2. damit ist $\overline{MAB}$ ein gleichschenkliges Dreieck
3. $\alpha$ und $\beta$ sind Basiswinkel und haben somit die gleiche Größe
4. nun sind $\beta$ = $\alpha$ = 90° Innenwinkel des Dreiecks $\overline{MAB}$ [neuer Versuch, ursprüngliche Begründung s.u.]
5. Fehler beim Parsen(Unbekannte Funktion „\lightning“): \lightning

Widerspruch zum Innenwinkelsatz.

6. Die Annahme ist damit zu verwerfen.

[Erster, zu verwerfender, Versuch der Begründung bei 4. $\beta$ = 90° (siehe Annahme), also auch $\alpha$ = 90°]

--mllr 11:52, 11. Mai 2013 (CEST)

Kommentar --m.g. 12:54, 13. Mai 2013 (CEST)

Im ersten Versuch hatten Sie 4. mit der Annahme zu begründen versucht. Wahrscheinlich meinten Sie die Skizze, die der Annahme beigefügt wurde. Zu begründen wäre, dass $\alpha$ und $\beta$ jweils die Größe $90^\circ$ haben. Hierfür müssen zwei Begründungen geliefert werde:

$|\alpha|=90^\circ$ wegen der Voraussetzung (und nicht wegen der Annahme)
$|\beta|=|\alpha|$ weil sie Basiswinkel sind

Widerspruchsbeweise

Alle Beweise aus den Beispielen 1 bis 3 zu den indirekten Beweisen wurden als Widerspruchsbeweis geführt.

Der Ablauf eines Widerspruchsbeweises

Ausgangslage

Eine Implikation $a \Rightarrow b$ soll bewiesen werden:

Voraussetzung:

a

Behauptung:

b

Formulierung der Annahme

Wir behalten die Gültigkeit der Voraussetzung a bei und
nehmen jedoch das Gegenteil der Behauptung an.

Annahme:

$\neg b$

Weiterer Ablauf es Beweises

Wir leiten aus der Annahme Schlussfolgerungen ab, die schließlich zu einem Widerspruch führen. Häufig ergibt sich dieser als Widerspruch zur Voraussetzung (Beispiel 1). Es muss sich beim Widerspruchsbeweis der Widerspruch jedoch nicht zwingend zur unmittelbar zur Voraussetzung ergeben. es können sich auch Widersprüche zu anderen Sätzen bzw. wahren Aussagen ergeben (Beispiel 2: Widerspruch zum Außenwinkelsatz).

Beweis mittels der Kontraposition einer Implikation

Begriff der Kontraposition

Beispiel 1: Kontraposition des Innenwinkelsatzes für Dreiecke

Der Innenwinkelsatz

Wenn ein n-Eck ein Dreieck ist, dann beträgt die Summe der Größen seiner Innnenwinkel $180^\circ$

Die Voraussetzung noch einmal explizit

Ein n-Eck $F$ sei ein Dreieck

Die Behauptung noch einmal explizit

Die Innenwinkelsumme von $F$ beträgt $180^\circ$ .

Konstruktion der Kontraposition

Bilden eine Implikation die durch Vertauschung von Voraussetzung und Behauptung der ursprünglichen Implikation entsteht. Anders ausgedrückt: Wir bilden die Umkehrung der ursprünglichen Implikation: Wenn in einem n-Eck $F$ die Innenwinkelsumme $180^\circ$ beträgt, dann ist $F$ ein Dreieck.
Wir negieren in der Umkehrung die Voraussetzung und die Behauptung: Wenn in einem n-Eck $F$ die Innenwinkelsumme verschieden von $180^\circ$ ist, dann ist $F$ kein Dreieck.

Definition des Begriffs der Kontraposition

Definition

(Kontraposition einer Implikation)
Unter der Kontraposition der Implikation $a \Rightarrow b$ versteht man die Implikation $\neg b \Rightarrow \neg a$ .

Bedeutung der Kontraposition einer Implikation für das Beweisen dieser Implikation

Eine Übung

Satz des Pythagoras

Wenn ein Dreieck rechtwinklig ist, dann ist die Summe der Quadrate der Längen der Katheten gleich dem Quadrat der Länge der Hypotenuse.
Wahrheitswert des Satzes von Pythagoras:
Umkehrung des Satzes von Pythagoras:
Wahrheitswert der Umkehrung des Satzes von Pythagoras:
Kontraposition des Satzes von Pythagoras:
Wahrheitswert der Kontraposition:

Eigenschaften von Quadratdiagonalen

Implikation 1: Wenn ein Viereck ein Quadrat ist, dann halbieren sich seine Diagonalen.
Wahrheitswert von Implikation 1:
Umkehrung von Implikation 1:
Wahrheitswert der Umkehrung von Implikation 1:
Kontraposition von Implikation 1:
Wahrheitswert der Kontraposition von Implikation 1:

Nebenwinkelsatz

Nebenwinkelsatz:
Wahrheitswert des Nebenwinkelsatzes:
Umkehrung des Nebenwinkelsatzes:
Wahrheitswert der Umkehrung des Nebenwinkelsatzes:
Kontraposition des Nebenwinkelsatzes:
Wahrheitswert der Kontraposition des Nebenwinkelsatzes:

Scheitelwinkelsatz

Scheitelwinkelsatz:
Wahrheitswert des Scheitelwinkelsatzes:
Umkehrung des Scheitelwinkelsatzes:
Wahrheitswert der Umkehrung des Scheitelwinkelsatzes:
Kontraposition des Scheitelwinkelsatzes:
Wahrheitswert der Kontraposition des Scheitelwinkelsatzes:

@@ Zeile 187: / Zeile 187: @@
 # Innenwinkelsatz
 # oder Außenwinkelsatz (dann wäre die Skizze zu ergänzen).
+=====Beweis von User Muellerm=====
+Beweis:<br />
+. |MB| = |MA| = Kreisradius<br />
+. damit ist <math>\overline{MAB}</math> ein gleichschenkliges Dreieck<br />
+. <math>\alpha</math> und <math>\beta</math> sind Basiswinkel und haben somit die gleiche Größe<br />
+. nun sind <math>\beta</math> = <math>\alpha</math> = 90° Innenwinkel des Dreiecks <math>\overline{MAB}</math>  [neuer Versuch, ursprüngliche Begründung s.u.]<br />
+. <math>\lightning</math> Widerspruch zum Innenwinkelsatz.<br />
+. Die Annahme ist damit zu verwerfen.<br />
+<br />
+<br />
+[Erster, zu verwerfender, Versuch der Begründung bei 4. <math>\beta</math> = 90° (siehe Annahme), also auch <math>\alpha</math> = 90°]<br />
+<br />
+--[[Benutzer:Muellerm|mllr]] 11:52, 11. Mai 2013 (CEST)<br />
+=====Kommentar --[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 12:54, 13. Mai 2013 (CEST)=====
+Im ersten Versuch hatten Sie 4. mit der Annahme zu begründen versucht. Wahrscheinlich meinten Sie die Skizze, die der Annahme beigefügt wurde. Zu begründen wäre, dass <math>\alpha</math> und <math>\beta</math> jweils die Größe <math>90^\circ</math> haben. Hierfür müssen zwei Begründungen geliefert werde:
+# <math>|\alpha|=90^\circ</math> wegen der Voraussetzung (und nicht wegen der Annahme)
+# <math>|\beta|=|\alpha|</math> weil sie Basiswinkel sind
 ==Widerspruchsbeweise==
 Alle Beweise aus den Beispielen 1 bis 3 zu den indirekten Beweisen wurden als Widerspruchsbeweis geführt.
@@ Zeile 201: / Zeile 220: @@
 :'''Annahme:'''
 ::<math>\neg b</math>
-====weiterer Ablauf es Beweises====
+====Weiterer Ablauf es Beweises====
 :Wir leiten aus der Annahme Schlussfolgerungen ab, die schließlich zu einem Widerspruch führen. Häufig ergibt sich dieser als Widerspruch zur Voraussetzung (Beispiel 1). Es muss sich beim Widerspruchsbeweis der Widerspruch jedoch nicht zwingend zur unmittelbar zur Voraussetzung ergeben. es können sich auch Widersprüche zu anderen Sätzen bzw. wahren Aussagen ergeben (Beispiel 2: Widerspruch zum Außenwinkelsatz).
+==Beweis mittels der Kontraposition einer Implikation==
+===Begriff der Kontraposition===
+====Beispiel 1: Kontraposition des Innenwinkelsatzes für Dreiecke====
+=====Der Innenwinkelsatz=====
+:Wenn ein n-Eck ein Dreieck ist, dann beträgt die Summe der Größen seiner Innnenwinkel <math>180^\circ</math>
+====Die Voraussetzung noch einmal explizit====
+:Ein n-Eck <math>F</math> sei ein Dreieck
+=====Die Behauptung noch einmal explizit=====
+:Die Innenwinkelsumme von <math>F</math> beträgt <math>180^\circ</math>.
+=====Konstruktion der Kontraposition=====
+#Bilden eine Implikation die durch Vertauschung von Voraussetzung und Behauptung der ursprünglichen Implikation entsteht. Anders ausgedrückt: Wir bilden die Umkehrung der ursprünglichen Implikation: Wenn in einem n-Eck <math>F</math> die Innenwinkelsumme <math>180^\circ</math> beträgt, dann ist <math>F</math> ein Dreieck.
+#Wir negieren in der Umkehrung die Voraussetzung und die Behauptung: Wenn in einem n-Eck <math>F</math> die Innenwinkelsumme verschieden von <math>180^\circ</math> ist, dann ist <math>F</math> kein Dreieck.
+===Definition des Begriffs der Kontraposition===
+{{Definition|1=(Kontraposition einer Implikation)<br /> Unter der Kontraposition der Implikation <math>a \Rightarrow b</math> versteht man die Implikation <math>\neg b \Rightarrow \neg a</math>.}}
+===Bedeutung der Kontraposition einer Implikation für das Beweisen dieser Implikation===
+====Eine Übung====
+=====Satz des Pythagoras=====
+# Wenn ein Dreieck rechtwinklig ist, dann ist die Summe der Quadrate der Längen der Katheten gleich dem Quadrat der Länge der Hypotenuse.
+# Wahrheitswert des Satzes von Pythagoras:
+# Umkehrung des Satzes von Pythagoras:
+# Wahrheitswert der Umkehrung des Satzes von Pythagoras:
+# Kontraposition des Satzes von Pythagoras:
+# Wahrheitswert der Kontraposition:
+=====Eigenschaften von Quadratdiagonalen=====
+# Implikation 1: Wenn ein Viereck ein Quadrat ist, dann halbieren sich seine Diagonalen.
+# Wahrheitswert von Implikation 1:
+# Umkehrung von Implikation 1:
+# Wahrheitswert der Umkehrung von Implikation 1:
+# Kontraposition von Implikation 1:
+# Wahrheitswert der Kontraposition von Implikation 1:
+=====Nebenwinkelsatz=====
+# Nebenwinkelsatz:
+# Wahrheitswert des Nebenwinkelsatzes:
+# Umkehrung des Nebenwinkelsatzes:
+# Wahrheitswert der Umkehrung des Nebenwinkelsatzes:
+# Kontraposition des Nebenwinkelsatzes:
+# Wahrheitswert der Kontraposition des Nebenwinkelsatzes:
+=====Scheitelwinkelsatz=====
+# Scheitelwinkelsatz:
+# Wahrheitswert des Scheitelwinkelsatzes:
+# Umkehrung des Scheitelwinkelsatzes:
+# Wahrheitswert der Umkehrung des Scheitelwinkelsatzes:
+# Kontraposition des Scheitelwinkelsatzes:
+# Wahrheitswert der Kontraposition des Scheitelwinkelsatzes:
 <!--- ------------------------------------------------------------- --->

Beweisen SoSe 13: Unterschied zwischen den Versionen

Aktuelle Version vom 13. Mai 2013, 11:54 Uhr

Inhaltsverzeichnis

Implikationen

Beispiele

Beispiel 1

Beispiel 2

Beispiel 3

Beispiel 4

Grundlegender Aufbau

Zusammenhang zur hinreichenden Bedingung

"Versteckte" Implikationen

Beispiele

Beispiel 1: Stufenwinkelsatz

Ohne Wenn-Dann

Wenn-Dann-Form

Voraussetzung

Behauptung

Beispiel 2: Innenwinkelsatz für Dreiecke

Ohne Wenn-Dann

Wenn-Dann-Form

Voraussetzung

Behauptung

Beispiel 3: Umkehrung des Thalessatzes

Ohne Wenn-Dann

Wenn-Dann-Form

Voraussetzung

Behauptung

Implikationen als mathematische Sätze

mathematische Sätze

Implikationen als Sätze

Die Implikation einer Behauptung und die Implikation als Behauptung (umgangssprachlich)

Eine gewagte Behauptung

Notwendigkeit des Beweises eines Satzes

Direkte Beweise

Beispiele für direkte Beweise

Beispiel 1: Der Scheitelwinkelsatz

Vorab

Der Satz

Der Beweis

Skizze

Voraussetzung

Behauptung

Beweisführung (unter Bezug auf die Beweisskizze)

Beispiel 2: Der starke Außenwinkelsatz

Vorab

Der Satz

Skizze

Voraussetzung

Behauptung

Beweis

Was sind direkte Beweise?

Indirekte Beweise

Beispiel 1: Winkel-Seiten-Beziehung im Dreieck

Vorab

Der Satz

Voraussetzung

Behauptung

Annahme

Beweisführung

Beispiel 2: Eindeutigkeit des Lotes von einem Punkt auf eine Gerade

Klärung der Begriffe

Der Satz

Der Beweis

Die Annahme

Die Beweisführung

Bemerkung

Beispiel 3: Eine Gerade, die senkrecht auf dem Berührungsradius steht, ist Kreistangente

Der Satz

Der Beweis

Annahme

Beweisführung

Beweis von User Muellerm

Kommentar --*m.g.* 12:54, 13. Mai 2013 (CEST)

Widerspruchsbeweise

Der Ablauf eines Widerspruchsbeweises

Ausgangslage

Formulierung der Annahme

Weiterer Ablauf es Beweises

Beweis mittels der Kontraposition einer Implikation

Kommentar --m.g. 12:54, 13. Mai 2013 (CEST)