Beweisen SoSe 13: Unterschied zwischen den Versionen
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# Innenwinkelsatz | # Innenwinkelsatz | ||
# oder Außenwinkelsatz (dann wäre die Skizze zu ergänzen). | # oder Außenwinkelsatz (dann wäre die Skizze zu ergänzen). | ||
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+ | =====Beweis von User Muellerm===== | ||
+ | Beweis:<br /> | ||
+ | 1. |MB| = |MA| = Kreisradius<br /> | ||
+ | 2. damit ist <math>\overline{MAB}</math> ein gleichschenkliges Dreieck<br /> | ||
+ | 3. <math>\alpha</math> und <math>\beta</math> sind Basiswinkel und haben somit die gleiche Größe<br /> | ||
+ | 4. nun sind <math>\beta</math> = <math>\alpha</math> = 90° Innenwinkel des Dreiecks <math>\overline{MAB}</math> [neuer Versuch, ursprüngliche Begründung s.u.]<br /> | ||
+ | 5. <math>\lightning</math> Widerspruch zum Innenwinkelsatz.<br /> | ||
+ | 6. Die Annahme ist damit zu verwerfen.<br /> | ||
+ | <br /> | ||
+ | <br /> | ||
+ | [Erster, zu verwerfender, Versuch der Begründung bei 4. <math>\beta</math> = 90° (siehe Annahme), also auch <math>\alpha</math> = 90°]<br /> | ||
+ | <br /> | ||
+ | --[[Benutzer:Muellerm|mllr]] 11:52, 11. Mai 2013 (CEST)<br /> | ||
+ | =====Kommentar --[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 12:54, 13. Mai 2013 (CEST)===== | ||
+ | Im ersten Versuch hatten Sie 4. mit der Annahme zu begründen versucht. Wahrscheinlich meinten Sie die Skizze, die der Annahme beigefügt wurde. Zu begründen wäre, dass <math>\alpha</math> und <math>\beta</math> jweils die Größe <math>90^\circ</math> haben. Hierfür müssen zwei Begründungen geliefert werde: | ||
+ | # <math>|\alpha|=90^\circ</math> wegen der Voraussetzung (und nicht wegen der Annahme) | ||
+ | # <math>|\beta|=|\alpha|</math> weil sie Basiswinkel sind | ||
+ | |||
==Widerspruchsbeweise== | ==Widerspruchsbeweise== | ||
Alle Beweise aus den Beispielen 1 bis 3 zu den indirekten Beweisen wurden als Widerspruchsbeweis geführt. | Alle Beweise aus den Beispielen 1 bis 3 zu den indirekten Beweisen wurden als Widerspruchsbeweis geführt. | ||
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#Wir negieren in der Umkehrung die Voraussetzung und die Behauptung: Wenn in einem n-Eck <math>F</math> die Innenwinkelsumme verschieden von <math>180^\circ</math> ist, dann ist <math>F</math> kein Dreieck. | #Wir negieren in der Umkehrung die Voraussetzung und die Behauptung: Wenn in einem n-Eck <math>F</math> die Innenwinkelsumme verschieden von <math>180^\circ</math> ist, dann ist <math>F</math> kein Dreieck. | ||
===Definition des Begriffs der Kontraposition=== | ===Definition des Begriffs der Kontraposition=== | ||
− | {{Definition|1=(Kontraposition einer Implikation)<br /> | + | {{Definition|1=(Kontraposition einer Implikation)<br /> Unter der Kontraposition der Implikation <math>a \Rightarrow b</math> versteht man die Implikation <math>\neg b \Rightarrow \neg a</math>.}} |
+ | ===Bedeutung der Kontraposition einer Implikation für das Beweisen dieser Implikation=== | ||
+ | ====Eine Übung==== | ||
+ | =====Satz des Pythagoras===== | ||
+ | # Wenn ein Dreieck rechtwinklig ist, dann ist die Summe der Quadrate der Längen der Katheten gleich dem Quadrat der Länge der Hypotenuse. | ||
+ | # Wahrheitswert des Satzes von Pythagoras: | ||
+ | # Umkehrung des Satzes von Pythagoras: | ||
+ | # Wahrheitswert der Umkehrung des Satzes von Pythagoras: | ||
+ | # Kontraposition des Satzes von Pythagoras: | ||
+ | # Wahrheitswert der Kontraposition: | ||
+ | |||
+ | =====Eigenschaften von Quadratdiagonalen===== | ||
+ | # Implikation 1: Wenn ein Viereck ein Quadrat ist, dann halbieren sich seine Diagonalen. | ||
+ | # Wahrheitswert von Implikation 1: | ||
+ | # Umkehrung von Implikation 1: | ||
+ | # Wahrheitswert der Umkehrung von Implikation 1: | ||
+ | # Kontraposition von Implikation 1: | ||
+ | # Wahrheitswert der Kontraposition von Implikation 1: | ||
+ | =====Nebenwinkelsatz===== | ||
+ | # Nebenwinkelsatz: | ||
+ | # Wahrheitswert des Nebenwinkelsatzes: | ||
+ | # Umkehrung des Nebenwinkelsatzes: | ||
+ | # Wahrheitswert der Umkehrung des Nebenwinkelsatzes: | ||
+ | # Kontraposition des Nebenwinkelsatzes: | ||
+ | # Wahrheitswert der Kontraposition des Nebenwinkelsatzes: | ||
+ | =====Scheitelwinkelsatz===== | ||
+ | # Scheitelwinkelsatz: | ||
+ | # Wahrheitswert des Scheitelwinkelsatzes: | ||
+ | # Umkehrung des Scheitelwinkelsatzes: | ||
+ | # Wahrheitswert der Umkehrung des Scheitelwinkelsatzes: | ||
+ | # Kontraposition des Scheitelwinkelsatzes: | ||
+ | # Wahrheitswert der Kontraposition des Scheitelwinkelsatzes: | ||
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Aktuelle Version vom 13. Mai 2013, 12:54 Uhr
ImplikationenBeispieleBeispiel 1
Beispiel 2Wenn ein Trapez ein Rechteck ist, dann sind sein Diagonalen kongruent zueinander. Beispiel 3Wenn ein Boxer während des Kampfes seinem Gegner den Rücken zukehrt, hat er den Kampf verloren. Beispiel 4Wenn zwei Winkel Stufenwinkel an geschnittenen Parallelen sind, dann sind sie kongruent zueinander. Grundlegender Aufbau
Zusammenhang zur hinreichenden BedingungIst die Aussage "Versteckte" ImplikationenBeispieleBeispiel 1: StufenwinkelsatzOhne Wenn-Dann
Wenn-Dann-Form
Voraussetzung
Behauptung
Beispiel 2: Innenwinkelsatz für DreieckeOhne Wenn-Dann
Wenn-Dann-Form
Voraussetzung
Behauptung
Beispiel 3: Umkehrung des ThalessatzesOhne Wenn-Dann
Wenn-Dann-Form
Voraussetzung
Behauptung
Implikationen als mathematische Sätzemathematische Sätze
Implikationen als Sätze
Die Implikation einer Behauptung und die Implikation als Behauptung (umgangssprachlich)
Eine gewagte Behauptung
Notwendigkeit des Beweises eines Satzes
Direkte BeweiseBeispiele für direkte BeweiseBeispiel 1: Der ScheitelwinkelsatzVorabEs sei bereits klar, dass Nebenwinkel supplementär sind (sich zu Der Satz
Der BeweisSkizzeVoraussetzung
BehauptungBeweisführung (unter Bezug auf die Beweisskizze)
q.e.d. Beispiel 2: Der starke AußenwinkelsatzVorabBereits klar sei:
Der Satz
SkizzeVoraussetzung
BehauptungBeweisDas können Sie selbst. Ergänzen Sie hier den Beweis. Orientieren Sie sich am Beweis des Scheitelwinkelsatzes. Was sind direkte Beweise?
Indirekte BeweiseBeispiel 1: Winkel-Seiten-Beziehung im DreieckVorab
Der Satz
VoraussetzungBehauptungAnnahme
Beweisführung
Die Annahme ist somit zu verwerfen. Beispiel 2: Eindeutigkeit des Lotes von einem Punkt auf eine GeradeKlärung der BegriffeEs seien
Der Satz
Der BeweisDie Annahme
Die Beweisführung
Letzteres ist jedoch ein Widerspruch zum Außenwinkelsatz.
Bemerkung
Highlanderbeweise führt man in der Regel als Widerspruchsbeweis. Beispiel 3: Eine Gerade, die senkrecht auf dem Berührungsradius steht, ist KreistangenteDer SatzPräambel:
Implikation:
Der BeweisAnnahme
Beweisführung
Beweis von User MuellermBeweis: Widerspruch zum Innenwinkelsatz. 6. Die Annahme ist damit zu verwerfen. Kommentar --*m.g.* 12:54, 13. Mai 2013 (CEST)Im ersten Versuch hatten Sie 4. mit der Annahme zu begründen versucht. Wahrscheinlich meinten Sie die Skizze, die der Annahme beigefügt wurde. Zu begründen wäre, dass
WiderspruchsbeweiseAlle Beweise aus den Beispielen 1 bis 3 zu den indirekten Beweisen wurden als Widerspruchsbeweis geführt. Der Ablauf eines WiderspruchsbeweisesAusgangslage
Formulierung der Annahme
Weiterer Ablauf es Beweises
Beweis mittels der Kontraposition einer ImplikationBegriff der KontrapositionBeispiel 1: Kontraposition des Innenwinkelsatzes für DreieckeDer Innenwinkelsatz
Die Voraussetzung noch einmal explizit
Die Behauptung noch einmal explizit
Konstruktion der Kontraposition
Definition des Begriffs der KontrapositionDefinition (Kontraposition einer Implikation) Bedeutung der Kontraposition einer Implikation für das Beweisen dieser ImplikationEine ÜbungSatz des Pythagoras
Eigenschaften von Quadratdiagonalen
Nebenwinkelsatz
Scheitelwinkelsatz
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