Lösung von Aufgabe 5.01 S SoSe 13: Unterschied zwischen den Versionen

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Wir betrachten das folgende Modell <math>\mathbb{M}:=(\mathbb{P}, \mathbb{G}, \operatorname{inz})</math> für die Inzidenzgeometrie:<br /><br />
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Modellpunkte <math>\mathbb{P}</math>:<br />
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<math>\mathbb{P} := \{A,B,C,D\}</math><br /><br />
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Modellgeraden <math>\mathbb{G}</math>:<br />
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<math>\mathbb{G} = \{\{A,B\}, \{A,C\}, \{A,D\}, \{B,C\}, \{B,D\}}</math><br />
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Inzidenz <math>\operatorname{inz}</math>:<br /> Elementbeziehung: Ein Punkt <math>P</math> inzidiert mit einer Geraden <math>g</math> , wenn er zu <math>g</math> gehört: <math>P \operatorname{inz} g :\Leftrightarrow P \in g</math>
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a) Warum ist <math>\mathbb{M}</math> kein Modell für die ebene Inzidenzgeometrie?<br />
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b) Ergänzen Sie <math>\mathbb{M}</math> derart, dass alle Axiome der ebenen Inzidenz erfüllt sind.
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1. In Axiom I/1 heißt es „Zu zwei beliebigen verschiedenen Punkten gibt es genau eine Gerade, die mit diesen beiden Punkten inzidiert“. Bei G ist die Gerade G = {C,D} nicht genannt. Entweder C und D sind identisch oder das Modell ist unvollständig. Sind C und D identisch, so ist das Modell in der Ebene.
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Was mir noch nicht ganz klar ist: Woher weiß ich, ob die Punkte in der Ebene oder im Raum angeordnet sind? Die Inzidenzaxiome der ebenen Geometrie beziehen sich ja auf drei Punkte, aber hier sind es ja vier Punkte, sie können also in der Ebene oder im Raum angeordnet werden?!?
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2. G = { {A,B}, {A,C}, {A,D}, {B,C}, {B,D} {C,D} }
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--[[Benutzer:Userin24|Userin24]] 20:19, 28. Mai 2013 (CEST)
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Heißt es nicht "ebene Inzidenzgeometrie", gerade weil sich alles in einer Ebene abspielt? ^^
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Ich stimme der Lösung von "Userin24" zu. Desweiteren habe ich mich gefragt, ob die Punkte A,D,C theoretisch nicht auf einer Geraden liegen könnten, weil die Gerade {C,D} nicht angegeben ist. Würde das dann nicht auch dem Axiom I/3 widersprechen?
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--[[Benutzer:Illu13|Illu13]] 16:36, 29. Mai 2013 (CEST)
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===Bemerkung m.g.===
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Es handelt sich um ein Modell und die Verhältnisse in einem Modell können anders sein als wir es uns gemeinhin vorstellen können. "Man muss jederzeit Bierseidel ... ."--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 23:53, 30. Mai 2013 (CEST)<br />
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Die Geraden sind Punktmengen. Als solche wurden sie aufgezählt. Die Schreibweise <math>\{A,B\}</math> bedeutet, dass die Gerade aus genau den beiden Punkten <math>A</math> und <math>B</math> besteht. Würde etwa auch <math>C</math> auf dieser Geraden liegen, müstten wir <math>\{A, B, C\}</math>
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schreiben.--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 23:27, 3. Jun. 2013 (CEST)
  
 
==Lösung User ...==
 
==Lösung User ...==

Aktuelle Version vom 3. Juni 2013, 22:27 Uhr

Inhaltsverzeichnis

Aufgabe 5.01

Wir betrachten das folgende Modell \mathbb{M}:=(\mathbb{P}, \mathbb{G}, \operatorname{inz}) für die Inzidenzgeometrie:

Modellpunkte \mathbb{P}:
\mathbb{P} := \{A,B,C,D\}

Modellgeraden \mathbb{G}:
Fehler beim Parsen(Syntaxfehler): \mathbb{G} = \{\{A,B\}, \{A,C\}, \{A,D\}, \{B,C\}, \{B,D\}}
Inzidenz \operatorname{inz}:
Elementbeziehung: Ein Punkt P inzidiert mit einer Geraden g , wenn er zu g gehört: P \operatorname{inz} g :\Leftrightarrow P \in g


a) Warum ist \mathbb{M} kein Modell für die ebene Inzidenzgeometrie?
b) Ergänzen Sie \mathbb{M} derart, dass alle Axiome der ebenen Inzidenz erfüllt sind.


Lösung User ...

1. In Axiom I/1 heißt es „Zu zwei beliebigen verschiedenen Punkten gibt es genau eine Gerade, die mit diesen beiden Punkten inzidiert“. Bei G ist die Gerade G = {C,D} nicht genannt. Entweder C und D sind identisch oder das Modell ist unvollständig. Sind C und D identisch, so ist das Modell in der Ebene.


Was mir noch nicht ganz klar ist: Woher weiß ich, ob die Punkte in der Ebene oder im Raum angeordnet sind? Die Inzidenzaxiome der ebenen Geometrie beziehen sich ja auf drei Punkte, aber hier sind es ja vier Punkte, sie können also in der Ebene oder im Raum angeordnet werden?!?


2. G = { {A,B}, {A,C}, {A,D}, {B,C}, {B,D} {C,D} }

--Userin24 20:19, 28. Mai 2013 (CEST)


Heißt es nicht "ebene Inzidenzgeometrie", gerade weil sich alles in einer Ebene abspielt? ^^

Ich stimme der Lösung von "Userin24" zu. Desweiteren habe ich mich gefragt, ob die Punkte A,D,C theoretisch nicht auf einer Geraden liegen könnten, weil die Gerade {C,D} nicht angegeben ist. Würde das dann nicht auch dem Axiom I/3 widersprechen?

--Illu13 16:36, 29. Mai 2013 (CEST)

Bemerkung m.g.

Es handelt sich um ein Modell und die Verhältnisse in einem Modell können anders sein als wir es uns gemeinhin vorstellen können. "Man muss jederzeit Bierseidel ... ."--*m.g.* 23:53, 30. Mai 2013 (CEST)

Die Geraden sind Punktmengen. Als solche wurden sie aufgezählt. Die Schreibweise \{A,B\} bedeutet, dass die Gerade aus genau den beiden Punkten A und B besteht. Würde etwa auch C auf dieser Geraden liegen, müstten wir \{A, B, C\} schreiben.--*m.g.* 23:27, 3. Jun. 2013 (CEST)

Lösung User ...

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