Pfeilklassen: Unterschied zwischen den Versionen
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Die Relation parallelgleich ist eine Äquivalenzrelation auf der Menge der Pfeile des Raumes bzw. der Ebene.<br /><br /> | Die Relation parallelgleich ist eine Äquivalenzrelation auf der Menge der Pfeile des Raumes bzw. der Ebene.<br /><br /> | ||
D.h. <math> \vec{a}</math> ist parallelgleich(<math>\sim</math>) zu <math>\vec{b}</math>, wenb gilt: <br /> | D.h. <math> \vec{a}</math> ist parallelgleich(<math>\sim</math>) zu <math>\vec{b}</math>, wenb gilt: <br /> | ||
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iv) Zu jedem <math>\vec{u}</math> existiert ein <math> -\vec{u}</math> mit <math> \vec{u}+ (-\vec{u})= \vec{o}</math> (inverses Element) | iv) Zu jedem <math>\vec{u}</math> existiert ein <math> -\vec{u}</math> mit <math> \vec{u}+ (-\vec{u})= \vec{o}</math> (inverses Element) | ||
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| + | ==Rechenregeln der Multiplikation von Pfeilklassen mit Skalaren== | ||
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| + | Für beliebige Pfeilklassen <math>\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}</math> und beliebige <math>\lambda, \mu \in \mathbb{R}</math> gilt: | ||
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| + | i) <math>1\cdot\vec{u} =\vec{u}</math> (Neutrales Element bzgl. der Multiplikation) | ||
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| + | ii) <math>(\lambda \cdot \mu)\cdot \vec{u}= \lambda\cdot(\mu\cdot \vec{u})</math> (Assoziativität der Multiplikation von Vektoren mit reelen Zahlen) | ||
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| + | iii)<math>\lambda \cdot (\vec{u}+\vec{v})=\lambda \cdot \vec{u} +\lambda \cdot \vec{v} </math> (1.Distributivgesetz) | ||
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| + | iv) <math>(\lambda + \mu)\cdot \vec{u}=\lambda \cdot \vec{u} + \mu \cdot \vec{u}</math> (2.Distributivgesetz) | ||
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| + | [[Kategorie:Linalg]] | ||
Aktuelle Version vom 23. Mai 2013, 14:16 Uhr
Inhaltsverzeichnis |
Pfeilklassen
Definition
Pfeil 
Es seien 
und 
zwei (nicht notwendigerweise) verschiedene Punkte. Der Pfeil ist das geordnete Paar 
. heißt Anfangspunkt des Pfeils , heißt Endpunkt des Pfeils . Jedem Pfeil ist eine Punktmenge zugehörig, Es handelt sich dabei um die Menge der Punkte der Strecke 
. Sollte der Anfangspunkt eines Pfeils mit dem Endpunkt dieses Pfeils zusammenfallen spricht man vom Nullpfeil 
. Zwei Pfeile und 
haben einen Punkt gemeinsam falls ihre Punktmengen einen Punkt gemeinsam haben.
Definition
Zwei Pfeile und heißen parallelgleich, wenn gilt:
-
-
- und sind gleichorientiert.
Satz
Die Relation parallelgleich ist eine Äquivalenzrelation auf der Menge der Pfeile des Raumes bzw. der Ebene.
D.h. 
ist parallelgleich(
) zu 
, wenb gilt:
a) Reflexivität: 
b) Symmetrie: 
c) Transitivität: 
Definition
Eine Pfeilklasse ist eine Äquivalenzklasse bzgl der Äquivalenzrelation parallelgleich,
d.h, mit der Pfeilklasse 
bezeichnet man die Menge aller zu dem Pfeil parallelgleicen Pfeile der Ebene bzw. des Raumes:
Rechenregeln der Addition von Pfeilklassen
Für beliebige Pfeilklassen 
gilt:
i) 
gilt 
(Kommuntativität der Addition)
ii) 
gilt 
(Assoziativität der Addition)
iii) Es existiert eine Pfeilklasse 
, sodass gilt 
(neutrales Element bzgl. der Addition, Nullpfeilklasse)
iv) Zu jedem existiert ein 
mit 
(inverses Element)
Rechenregeln der Multiplikation von Pfeilklassen mit Skalaren
Für beliebige Pfeilklassen und beliebige 
gilt:
i) 
(Neutrales Element bzgl. der Multiplikation)
ii) 
(Assoziativität der Multiplikation von Vektoren mit reelen Zahlen)
iii)
(1.Distributivgesetz)
iv) 
(2.Distributivgesetz)
