Die Geradenspiegelung und ihre Eigenschaften SoSe 13: Unterschied zwischen den Versionen
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::formal: <math>P=\varphi (P)=P'</math><br /><br /> | ::formal: <math>P=\varphi (P)=P'</math><br /><br /> | ||
Aufgabe: Welche Punkte sind bei der Geradenspiegelung Fixpunkte?<br /><br /> | Aufgabe: Welche Punkte sind bei der Geradenspiegelung Fixpunkte?<br /><br /> | ||
+ | * Alle Punkte der Geraden P sind Fixpunkte | ||
==== Definition V.5 : (Fixgerade)==== | ==== Definition V.5 : (Fixgerade)==== | ||
::Wenn bei einer Abbildung <math>\varphi</math> eine Bildgerade ''g''' mit ihrem Urbild ''g'' zusammenfällt, dann heißt ''g'' Fixgerade der Abbildung <math>\varphi</math>.<br /><br /> | ::Wenn bei einer Abbildung <math>\varphi</math> eine Bildgerade ''g''' mit ihrem Urbild ''g'' zusammenfällt, dann heißt ''g'' Fixgerade der Abbildung <math>\varphi</math>.<br /><br /> | ||
Aufgabe: Gibt es Fixgeraden bei der Geradenspiegelung und welche sind dies ggf.?<br /><br /> | Aufgabe: Gibt es Fixgeraden bei der Geradenspiegelung und welche sind dies ggf.?<br /><br /> | ||
+ | * Die Fixgeraden sind senkrecht auf g bzw. parallel zur Gerade von P | ||
==== Definition V.6 : (Fixpunktgerade)==== | ==== Definition V.6 : (Fixpunktgerade)==== | ||
::Wenn jeder Punkt ''P'' einer Fixgeraden ''g'' auf sich selbst abgebildet wird, so ist die Fixgerade ''g'' auch Fixpunktgerade.<br /><br /> | ::Wenn jeder Punkt ''P'' einer Fixgeraden ''g'' auf sich selbst abgebildet wird, so ist die Fixgerade ''g'' auch Fixpunktgerade.<br /><br /> | ||
Aufgabe: Gibt es Fixpunktgeraden bei der Geradenspiegelung und welche sind dies ggf.?<br /><br /> | Aufgabe: Gibt es Fixpunktgeraden bei der Geradenspiegelung und welche sind dies ggf.?<br /><br /> | ||
+ | * Die Fixpunktgerade ist in diesem Fall die Spiegelachse | ||
===Eigenschaften einer Geradenspiegelung=== | ===Eigenschaften einer Geradenspiegelung=== | ||
− | *abstandserhaltend: Der Abstand <math>\left| A'B' \right|</math> zweier Bildpunkte | + | *abstandserhaltend: Der Abstand <math>\left| A'B' \right|</math> zweier Bildpunkte <math>A'</math> und <math>B'</math> ist gleich dem Abstand <math>\left| AB \right|</math> der beiden Urbilder ''A'' und ''B''. |
*winkelmaßerhaltend: hier gilt analog: <math>\left| \angle ABC \right|= \left| \angle A'B'C' \right|</math><br /><br /> | *winkelmaßerhaltend: hier gilt analog: <math>\left| \angle ABC \right|= \left| \angle A'B'C' \right|</math><br /><br /> | ||
diese beiden Eigenschaften lassen sich axiomatisch begründen, was wir hier aber nicht weiter vertiefen wollen. Alle weiteren Eigenschaften lassen sich aus der Abstands- und Winkelmaßerhaltung ableiten.<br /><br /> | diese beiden Eigenschaften lassen sich axiomatisch begründen, was wir hier aber nicht weiter vertiefen wollen. Alle weiteren Eigenschaften lassen sich aus der Abstands- und Winkelmaßerhaltung ableiten.<br /><br /> | ||
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==== Satz V.7 (Parallelentreue der Geradenspiegelung <math>S_g </math>): ==== | ==== Satz V.7 (Parallelentreue der Geradenspiegelung <math>S_g </math>): ==== | ||
− | Bei der Geradenspiegelung <math>S_g </math> werden zueinander parallele Geraden | + | Bei der Geradenspiegelung <math>S_g </math> werden zueinander parallele Geraden <math>f</math> und <math> h</math> auf zwei zueinander parallele Geraden <math>f'</math> und <math>h'</math> abgebildet.<br /> |
− | Beweis: | + | |
+ | [[Datei: Parallelentreue_Geradenspiegelung.PNG]] | ||
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+ | Beweis: siehe Zusatzaufgabe Übung 9<br /> |
Aktuelle Version vom 26. Juni 2013, 17:20 Uhr
Im Folgenden werden wir uns mit Geometrie in der Ebene beschäftigen. Speziell betrachten wir so genannte Abbildungen der Ebene auf sich selbst und hier wiederum nur ganz bestimmte Abbildungen, die so genannten Kongruenzabbildungen.
Definition V.1 : (Abbildung )
- Eine Zuordnung, die jedem Punkt P der Ebene eindeutig einen Bildpunkt P' zuordnet, nennt man Abbildung.
- Schreibweise: Fehler beim Parsen(Lexikalischer Fehler): P'=\varphi\(P)
- Eine Zuordnung, die jedem Punkt P der Ebene eindeutig einen Bildpunkt P' zuordnet, nennt man Abbildung.
Definition V.2 : (involutorische Abbildung)
- Eine Abbildung , die bei zweifacher Ausführung () wieder zum Ursprungsbild führt (identische Abbildung), nennt man involutorisch oder involutorische Abbildung.
Definition V.3 : (Geraden- oder Achsenspiegelung )
- Gegeben sei eine Gerade g in der Ebene. Die Geraden- oder Achsenspiegelung ist die Abbildung der Ebene auf sich selbst, die nach folgender Abbildungsvorschrift jeden Punkt P seinem Bildpunkt P' zuordnet.
- Gegeben sei eine Gerade g in der Ebene. Die Geraden- oder Achsenspiegelung ist die Abbildung der Ebene auf sich selbst, die nach folgender Abbildungsvorschrift jeden Punkt P seinem Bildpunkt P' zuordnet.
- mit
Nutzen Sie die folgende GeoGebra-Applikation um den Punkt P an der Geraden g zu spiegeln. Verschieben den Punkt P bzw. die Gerade g um die Definition der Geradenspiegelung nachzuvollziehen.
Konstruktion der Geradenspiegelung mit Zirkel und Lineal
Erinnern Sie sich an Ihre Schulzeit zurück: Wie haben Sie in der Schule mit Zirkel und Lineal eine Geradenspiegelung angefertigt?
Ihre Beschreibung (gerne auch als Bild):
Definition V.4 : (Fixpunkte)
- Wenn bei einer Abbildung ein Bildpunkt P' mit seinem Urbild P zusammenfällt (P wird auf sich selbst abgebildet), dann heißt P Fixpunkt der Abbildung .
- formal:
- Wenn bei einer Abbildung ein Bildpunkt P' mit seinem Urbild P zusammenfällt (P wird auf sich selbst abgebildet), dann heißt P Fixpunkt der Abbildung .
Aufgabe: Welche Punkte sind bei der Geradenspiegelung Fixpunkte?
- Alle Punkte der Geraden P sind Fixpunkte
Definition V.5 : (Fixgerade)
- Wenn bei einer Abbildung eine Bildgerade g' mit ihrem Urbild g zusammenfällt, dann heißt g Fixgerade der Abbildung .
- Wenn bei einer Abbildung eine Bildgerade g' mit ihrem Urbild g zusammenfällt, dann heißt g Fixgerade der Abbildung .
Aufgabe: Gibt es Fixgeraden bei der Geradenspiegelung und welche sind dies ggf.?
- Die Fixgeraden sind senkrecht auf g bzw. parallel zur Gerade von P
Definition V.6 : (Fixpunktgerade)
- Wenn jeder Punkt P einer Fixgeraden g auf sich selbst abgebildet wird, so ist die Fixgerade g auch Fixpunktgerade.
- Wenn jeder Punkt P einer Fixgeraden g auf sich selbst abgebildet wird, so ist die Fixgerade g auch Fixpunktgerade.
Aufgabe: Gibt es Fixpunktgeraden bei der Geradenspiegelung und welche sind dies ggf.?
- Die Fixpunktgerade ist in diesem Fall die Spiegelachse
Eigenschaften einer Geradenspiegelung
- abstandserhaltend: Der Abstand zweier Bildpunkte und ist gleich dem Abstand der beiden Urbilder A und B.
- winkelmaßerhaltend: hier gilt analog:
diese beiden Eigenschaften lassen sich axiomatisch begründen, was wir hier aber nicht weiter vertiefen wollen. Alle weiteren Eigenschaften lassen sich aus der Abstands- und Winkelmaßerhaltung ableiten.
Satz V.1 :
Die Geradenspiegelung ist eine involutorische Abbildung, d. h. für alle Punkte A, B der Ebene gilt:
Beweis:
Satz V.2 (Streckentreue der Geradenspiegelung ):
Bei der Geradenspiegelung wird eine Strecke auf eine Strecke abgebildet. Dabei gilt: und .
Beweis:
Satz V.3 (Längentreue der Geradenspiegelung ):
Die Länge der Strecke , die bei der Geradenspiegelung entsteht ist gleich der Länge der Strecke .
Beweis:
Satz V.4 (Halbgeradentreue der Geradenspiegelung ):
Bei der Geradenspiegelung wird eine Halbgerade auf eine Halbgerade abgebildet. Dabei gilt: und .
Beweis:
Satz V.5 (Geradentreue der Geradenspiegelung ):
Bei der Geradenspiegelung wird eine Gerade auf eine Gerade abgebildet. Dabei gilt: und .
Beweis:
Satz V.6 (Winkeltreue der Geradenspiegelung ):
Bei der Geradenspiegelung wird ein Winkel auf einen Winkel abgebildet. Dabei stimmen die Winkelmaße beider Winkel überein.
Beweis:
Satz V.7 (Parallelentreue der Geradenspiegelung ):
Bei der Geradenspiegelung werden zueinander parallele Geraden und auf zwei zueinander parallele Geraden und abgebildet.
Beweis: siehe Zusatzaufgabe Übung 9