Die Geradenspiegelung und ihre Eigenschaften WS 13/14: Unterschied zwischen den Versionen

Aktuelle Version vom 16. Dezember 2013, 19:42 Uhr

Im Folgenden werden wir uns mit Geometrie in der Ebene beschäftigen. Speziell betrachten wir so genannte Abbildungen der Ebene auf sich selbst und hier wiederum nur ganz bestimmte Abbildungen, die so genannten Kongruenzabbildungen.

Inhaltsverzeichnis

1 Definition V.1 : (Abbildung )
2 Definition V.2 : (involutorische Abbildung)
3 Definition V.3 : (Geraden- oder Achsenspiegelung )
4 Konstruktion der Geradenspiegelung mit Zirkel und Lineal
5 Definition V.4 : (Fixpunkte)
6 Definition V.5 : (Fixgerade)
7 Definition V.6 : (Fixpunktgerade)
8 Eigenschaften einer Geradenspiegelung

Definition V.1 : (Abbildung $\varphi$ )

Eine Zuordnung, die jedem Punkt P der Ebene eindeutig einen Bildpunkt P' zuordnet, nennt man Abbildung.

Schreibweise: $P'=\varphi (P)$

Definition V.2 : (involutorische Abbildung)

Eine Abbildung $\varphi$ , die bei zweifacher Ausführung ( $\varphi (\varphi )$ ) wieder zum Ursprungsbild führt (identische Abbildung), nennt man involutorisch oder involutorische Abbildung.

Definition V.3 : (Geraden- oder Achsenspiegelung $S_g$ )

Gegeben sei eine Gerade g in der Ebene. Die Geraden- oder Achsenspiegelung $S_g$ ist die Abbildung der Ebene auf sich selbst, die nach folgender Abbildungsvorschrift jeden Punkt P seinem Bildpunkt P' zuordnet.

$\forall P\in g\Rightarrow P=P'$
$\forall P\not\in g\Rightarrow PP'\perp \ g \wedge \left| PS \right|=\left| P'S \right|$ mit $\left\{ {S} \right\}=\ g \cap PP'$

Nutzen Sie die folgende GeoGebra-Applikation um den Punkt P an der Geraden g zu spiegeln. Verschieben den Punkt P bzw. die Gerade g um die Definition der Geradenspiegelung nachzuvollziehen.

Konstruktion der Geradenspiegelung mit Zirkel und Lineal

Erinnern Sie sich an Ihre Schulzeit zurück: Wie haben Sie in der Schule mit Zirkel und Lineal eine Geradenspiegelung angefertigt?
Ihre Beschreibung (gerne auch als Bild):

Man zeichne eine Gerade g und einen Punkt P, der nicht Element von g ist. Dann steche man mit dem Zirkel in Punkt P und ziehe einen Kreis mit beliebigem Radius (so groß, dass g geschnitten wird). Anschließend steche man hinterinander in die entstandenen Schnittpunkte auf g und ziehe je einen Kreis mit dem vorherigen Radius. An dem Punkt, wo sich diese beiden Kreise schneiden, liegt P´.--Shaun das Schaf (Diskussion) 09:49, 11. Dez. 2013 (CET)

Ich hab's auch so gelernt.--Tutorin Anne (Diskussion) 09:32, 12. Dez. 2013 (CET)

Definition V.4 : (Fixpunkte)

Wenn bei einer Abbildung $\varphi$ ein Bildpunkt P' mit seinem Urbild P zusammenfällt (P wird auf sich selbst abgebildet), dann heißt P Fixpunkt der Abbildung $\varphi$ .

formal: $P=\varphi (P)=P'$

Aufgabe: Welche Punkte sind bei der Geradenspiegelung Fixpunkte?

Alle Punkte, die bei einer Geradenspiegelung auf der Symmetrieachse liegen, sind Fixpunkte. --Simon-2206 (Diskussion) 09:21, 11. Dez. 2013 (CET)

So ist es.--Tutorin Anne (Diskussion) 09:29, 12. Dez. 2013 (CET)

Definition V.5 : (Fixgerade)

Wenn bei einer Abbildung $\varphi$ eine Bildgerade g' mit ihrem Urbild g zusammenfällt, dann heißt g Fixgerade der Abbildung $\varphi$ .

Aufgabe: Gibt es Fixgeraden bei der Geradenspiegelung und welche sind dies ggf.?

Alle Geraden, die senkrecht auf der Symmetrieachse liegen, sind Fixgeraden.--*Laura* (Diskussion) 14:38, 16. Dez. 2013 (CET)

Das ist korrekt. Genau genommen gehört auch die Symmetrieachse selbst dazu, denn jeder Fixpunktgerade ist auch eine Fixgerade.--Tutorin Anne (Diskussion) 19:42, 16. Dez. 2013 (CET)

Definition V.6 : (Fixpunktgerade)

Wenn jeder Punkt P einer Fixgeraden g auf sich selbst abgebildet wird, so ist die Fixgerade g auch Fixpunktgerade.

Aufgabe: Gibt es Fixpunktgeraden bei der Geradenspiegelung und welche sind dies ggf.?

Alle Geraden, die auf der Symmetrieachse liegen, sind Fixpunktgeraden.--Shaun das Schaf (Diskussion) 09:51, 11. Dez. 2013 (CET)

Richtig, das ist genau eine!

Eigenschaften einer Geradenspiegelung

abstandserhaltend: Der Abstand $\left| A'B' \right|$ zweier Bildpunkte $A'$ und $B'$ ist gleich dem Abstand $\left| AB \right|$ der beiden Urbilder A und B.
winkelmaßerhaltend: hier gilt analog: $\left| \angle ABC \right|= \left| \angle A'B'C' \right|$

diese beiden Eigenschaften lassen sich axiomatisch begründen, was wir hier aber nicht weiter vertiefen wollen. Alle weiteren Eigenschaften lassen sich aus der Abstands- und Winkelmaßerhaltung ableiten.

Satz V.1 :

Die Geradenspiegelung $S_g$ ist eine involutorische Abbildung, d. h. für alle Punkte A, B der Ebene gilt:

$B=S_g (A)\Rightarrow A=S_g (B)$

Beweis:

Satz V.2 (Streckentreue der Geradenspiegelung $S_g$ ):

Bei der Geradenspiegelung $S_g$ wird eine Strecke $\overline{AB}$ auf eine Strecke $\overline{A'B'}$ abgebildet. Dabei gilt: $S_g(A)=A'$ und $S_g(B)=B'$ .
Beweis:

Satz V.3 (Längentreue der Geradenspiegelung $S_g$ ):

Die Länge der Strecke $\overline{A'B'}$ , die bei der Geradenspiegelung $S_g(\overline{AB})$ entsteht ist gleich der Länge der Strecke $\overline{AB}$ .
Beweis:

Satz V.4 (Halbgeradentreue der Geradenspiegelung $S_g$ ):

Bei der Geradenspiegelung $S_g$ wird eine Halbgerade $\ AB^{+}$ auf eine Halbgerade $\ A'B'^{+}$ abgebildet. Dabei gilt: $S_g(A)=A'$ und $S_g(B)=B'$ .
Beweis:

Satz V.5 (Geradentreue der Geradenspiegelung $S_g$ ):

Bei der Geradenspiegelung $S_g$ wird eine Gerade $\ AB$ auf eine Gerade $\ A'B'$ abgebildet. Dabei gilt: $S_g(A)=A'$ und $S_g(B)=B'$ .
Beweis:

Satz V.6 (Winkeltreue der Geradenspiegelung $S_g$ ):

Bei der Geradenspiegelung $S_g$ wird ein Winkel $\angle ABC$ auf einen Winkel $\angle A'B'C'$ abgebildet. Dabei stimmen die Winkelmaße beider Winkel überein.
Beweis:

Satz V.7 (Parallelentreue der Geradenspiegelung $S_g$ ):

Bei der Geradenspiegelung $S_g$ werden zueinander parallele Geraden $f$ und $h$ auf zwei zueinander parallele Geraden $f'$ und $h'$ abgebildet.

Beweis:

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 Erinnern Sie sich an Ihre Schulzeit zurück: Wie haben Sie in der Schule mit Zirkel und Lineal eine Geradenspiegelung angefertigt? <br />
 Ihre Beschreibung (gerne auch als Bild):<br /><br />
+Man zeichne eine Gerade g und einen Punkt P, der nicht Element von g ist. Dann steche man mit dem Zirkel in Punkt P und ziehe einen Kreis mit beliebigem Radius (so groß, dass g geschnitten wird). Anschließend steche man hinterinander in die entstandenen Schnittpunkte auf g und ziehe je einen Kreis mit dem vorherigen Radius. An dem Punkt, wo sich diese beiden Kreise schneiden, liegt P´.--[[Benutzer:Shaun das Schaf|Shaun das Schaf]] ([[Benutzer Diskussion:Shaun das Schaf|Diskussion]]) 09:49, 11. Dez. 2013 (CET)
+* Ich hab's auch so gelernt.--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] ([[Benutzer Diskussion:Tutorin Anne|Diskussion]]) 09:32, 12. Dez. 2013 (CET)
 ==== Definition V.4 : (Fixpunkte)====
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 Aufgabe: Welche Punkte sind bei der Geradenspiegelung Fixpunkte?<br /><br />
-Alle Punkte die bei einer Geradenspiegelung auf der Symmetriegeraden liegen heißen Fixpunkte.
+Alle Punkte, die bei einer Geradenspiegelung auf der Symmetrieachse liegen, sind Fixpunkte. --[[Benutzer:Simon-2206|Simon-2206]] ([[Benutzer Diskussion:Simon-2206|Diskussion]]) 09:21, 11. Dez. 2013 (CET)
+*So ist es.--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] ([[Benutzer Diskussion:Tutorin Anne|Diskussion]]) 09:29, 12. Dez. 2013 (CET)
 ==== Definition V.5 : (Fixgerade)====
 ::Wenn bei einer Abbildung <math>\varphi</math> eine Bildgerade ''g''' mit ihrem Urbild ''g'' zusammenfällt, dann heißt ''g'' Fixgerade der Abbildung <math>\varphi</math>.<br /><br />
 Aufgabe: Gibt es Fixgeraden bei der Geradenspiegelung und welche sind dies ggf.?<br /><br />
+Alle Geraden, die senkrecht auf der Symmetrieachse liegen, sind Fixgeraden.--[[Benutzer:&#42;Laura*|&#42;Laura*]] ([[Benutzer Diskussion:&#42;Laura*|Diskussion]]) 14:38, 16. Dez. 2013 (CET)
+* Das ist korrekt. Genau genommen gehört auch die Symmetrieachse selbst dazu, denn jeder Fixpunktgerade ist auch eine Fixgerade.--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] ([[Benutzer Diskussion:Tutorin Anne|Diskussion]]) 19:42, 16. Dez. 2013 (CET)
 ==== Definition V.6 : (Fixpunktgerade)====
 ::Wenn jeder Punkt ''P'' einer Fixgeraden ''g'' auf sich selbst abgebildet wird, so ist die Fixgerade ''g'' auch Fixpunktgerade.<br /><br />
 Aufgabe: Gibt es Fixpunktgeraden bei der Geradenspiegelung und welche sind dies ggf.?<br /><br />
+Alle Geraden, die auf der Symmetrieachse liegen, sind Fixpunktgeraden.--[[Benutzer:Shaun das Schaf|Shaun das Schaf]] ([[Benutzer Diskussion:Shaun das Schaf|Diskussion]]) 09:51, 11. Dez. 2013 (CET)
+* Richtig, das ist genau eine!
 ===Eigenschaften einer Geradenspiegelung===
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+[[Category:Einführung_P]]
 Beweis: <br />

Die Geradenspiegelung und ihre Eigenschaften WS 13/14: Unterschied zwischen den Versionen

Aktuelle Version vom 16. Dezember 2013, 19:42 Uhr

Inhaltsverzeichnis

Definition V.1 : (Abbildung $\varphi$ )

Definition V.2 : (involutorische Abbildung)

Definition V.3 : (Geraden- oder Achsenspiegelung $S_g$ )

Konstruktion der Geradenspiegelung mit Zirkel und Lineal

Definition V.4 : (Fixpunkte)

Definition V.5 : (Fixgerade)

Definition V.6 : (Fixpunktgerade)

Eigenschaften einer Geradenspiegelung

Satz V.1 :

Satz V.2 (Streckentreue der Geradenspiegelung $S_g$ ):

Satz V.3 (Längentreue der Geradenspiegelung $S_g$ ):

Satz V.4 (Halbgeradentreue der Geradenspiegelung $S_g$ ):

Satz V.5 (Geradentreue der Geradenspiegelung $S_g$ ):

Satz V.6 (Winkeltreue der Geradenspiegelung $S_g$ ):

Satz V.7 (Parallelentreue der Geradenspiegelung $S_g$ ):

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Die Geradenspiegelung und ihre Eigenschaften WS 13/14: Unterschied zwischen den Versionen

Aktuelle Version vom 16. Dezember 2013, 19:42 Uhr

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Definition V.1 : (Abbildung )

Definition V.2 : (involutorische Abbildung)

Definition V.3 : (Geraden- oder Achsenspiegelung )

Konstruktion der Geradenspiegelung mit Zirkel und Lineal

Definition V.4 : (Fixpunkte)

Definition V.5 : (Fixgerade)

Definition V.6 : (Fixpunktgerade)

Eigenschaften einer Geradenspiegelung

Satz V.1 :

Satz V.2 (Streckentreue der Geradenspiegelung ):

Satz V.3 (Längentreue der Geradenspiegelung ):

Satz V.4 (Halbgeradentreue der Geradenspiegelung ):

Satz V.5 (Geradentreue der Geradenspiegelung ):

Satz V.6 (Winkeltreue der Geradenspiegelung ):

Satz V.7 (Parallelentreue der Geradenspiegelung ):

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Satz V.2 (Streckentreue der Geradenspiegelung $S_g$ ):

Satz V.3 (Längentreue der Geradenspiegelung $S_g$ ):

Satz V.4 (Halbgeradentreue der Geradenspiegelung $S_g$ ):

Satz V.5 (Geradentreue der Geradenspiegelung $S_g$ ):

Satz V.6 (Winkeltreue der Geradenspiegelung $S_g$ ):

Satz V.7 (Parallelentreue der Geradenspiegelung $S_g$ ):