Implikationen SoSe 2017: Unterschied zwischen den Versionen
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− | = | + | =Implikationen= |
− | == | + | ==Generelle Kennzeichnung von Implikationen== |
− | + | Implikationen sind spezielle mathematische Aussagen, deren Typ sich kurz wie folgt darstellen bzw. beschreiben lässt: | |
− | + | * Wenn <math>a</math> dann <math>b</math>. | |
− | + | * Aus <math>a</math> folgt <math>b</math>. | |
− | + | * <math>a</math> impliziert <math>b</math>. | |
− | + | * <math>b</math> ist eine Folgerung aus <math>a</math>. | |
− | + | * Unter der Voraussetzung, dass <math>a</math> gilt, gilt auch <math>b</math>. | |
− | + | * <math>a</math> ist hinreichend dafür, dass <math>b</math> gilt. | |
− | + | * <math>a \Rightarrow b</math> | |
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− | + | Die Aussage <math>a</math> heißt in der Implikation <math>a \Rightarrow b</math> Voraussetzung, die Aussage <math>b</math> wird Behauptung genannt. | |
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− | === | + | ==Beispiele== |
− | + | ===Implikation 1: Satz zur Teilbarkeit durch 3=== | |
− | + | :Wenn die Quersumme <math>\overline{a}</math>einer natürlichen Zahl <math>a</math> durch <math>3</math> teilbar ist, dann ist auch die Zahl <math>a</math> durch <math>3</math> teilbar.<br /> | |
− | + | :In Formelsprache: <math>\forall a \in \mathbb{N}: 3|\overline{a} \Rightarrow 3|a</math> | |
− | + | *Voraussetzung: <math>3|\overline{a}</math> | |
− | + | *Behauptung: <math>3|a</math> | |
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− | * | + | |
− | + | === Implikation 2: Satz zur Teilbarkeit von Summen=== | |
− | * | + | :Für alle natürlichen Zahlen <math>a,b,t</math> gilt:<br /> |
+ | ::Wenn <math>t</math> die Zahlen <math>a</math> und <math>b</math> teilt, dann teilt <math>t</math> auch die Summe <math>a+b</math>. | ||
+ | :In Formelsprache: | ||
+ | :<math>\forall a,b,t \in \mathbb{N}:</math><br /> | ||
+ | ::<math>t|a \land t|b \Rightarrow t|(a+b)</math> | ||
+ | *Voraussetzung: Wir haben zwei Voraussetzungen die durch das logische und zu einer Voraussetzung zusammengefasst werden: | ||
+ | ::V<sub>1</sub>: <math>t|a</math> | ||
+ | ::V<sub>2</sub>: <math>t|b</math> | ||
+ | ::V: <math>t|a \land t|b</math> | ||
+ | *Behauptung:<br /> | ||
+ | ::<math>t|(a+b)</math> | ||
+ | ===Implikation 3: Nebenwinkelsatz=== | ||
+ | :Wenn <math>\alpha</math> und <math>\beta</math> Nebenwinkel sind, dann ist die Summe ihrer Größen <math>180^\circ</math> | ||
+ | In anderer Formulierung ohne wenn-dann: | ||
+ | :Nebenwinkel ergänzen sich zu <math>180^\circ</math> | ||
+ | *Voraussetzung: | ||
+ | :: <math>\alpha</math> und <math>\beta</math> sind Nebenwinkel | ||
+ | *Behauptung: | ||
+ | ::<math>\alpha</math> und <math>\beta</math> sind supplementär. | ||
+ | ===Implikation 4: Scheitelwinkelsatz=== | ||
+ | :Wenn die beiden Winkel <math>\alpha</math> und <math>\beta</math> Scheitelwinkel sind, dann haben sie dieselbe Größe. | ||
+ | alternative Formulierung ohne wenn-dann: | ||
+ | :Scheitelwinkel haben dieselbe Größe. oder | ||
+ | :Scheitelwinkel sind kongruent zueinander. | ||
+ | *Voraussetzung | ||
+ | ::<math>\alpha</math> und <math>\beta</math> sind Scheitelwinkel | ||
+ | *Behauptung | ||
+ | ::<math>|\alpha|=|\beta|</math> bzw. <math>\alpha \cong \beta</math> | ||
+ | ===Implikation 5: Nonsens=== | ||
+ | :Wenn die Gerade <math>g</math> durch keinen der Eckpunkte des Dreiecks <math>\overline{ABC}</math> geht und jede der drei Seiten <math>\overline{AB}, \overline{BC}, \overline{AC}</math> geht, dann ist <math>\sqrt{2}</math> eine rationale Zahl. | ||
+ | *Voraussetzung: | ||
+ | :<math>\text{nkoll}(A,B,C) \land A,B,C \not\in g \land g \cap \overline{AB} \not= \empty \land g \cap \overline{BC} \not= \empty \land g \cap \overline{AC} \not= \empty</math> | ||
+ | *Behauptung: | ||
+ | :<math>\exist n,m \in \mathbb{N}: \frac{n}{m} = \sqrt{2}</math> | ||
+ | ===Implikation 6: Satz des Thales=== | ||
+ | {{#ev:youtube|yOgu9FAK5AM}} | ||
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Aktuelle Version vom 10. Mai 2017, 18:04 Uhr
ImplikationenGenerelle Kennzeichnung von ImplikationenImplikationen sind spezielle mathematische Aussagen, deren Typ sich kurz wie folgt darstellen bzw. beschreiben lässt:
Die Aussage BeispieleImplikation 1: Satz zur Teilbarkeit durch 3
Implikation 2: Satz zur Teilbarkeit von Summen
Implikation 3: Nebenwinkelsatz
In anderer Formulierung ohne wenn-dann:
Implikation 4: Scheitelwinkelsatz
alternative Formulierung ohne wenn-dann:
Implikation 5: Nonsens
Implikation 6: Satz des Thales |