Implikationen SoSe 2017: Unterschied zwischen den Versionen

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=Mathematische Aussagen=
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=Implikationen=
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==Beispiele==
+
==Generelle Kennzeichnung von Implikationen==
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===Primzahlen===
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Implikationen sind spezielle mathematische Aussagen, deren Typ sich kurz wie folgt darstellen bzw. beschreiben lässt:
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Es lassen sich z.B. die folgenden Aussagen zu Primzahlen machen:
+
* Wenn <math>a</math> dann <math>b</math>.
−
{| class="wikitable"
+
* Aus <math>a</math> folgt <math>b</math>.
−
|-
+
* <math>a</math> impliziert <math>b</math>.
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! Aussage!! Wahrheitswert
+
* <math>b</math> ist eine Folgerung aus <math>a</math>.
−
|-
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* Unter der Voraussetzung, dass <math>a</math> gilt, gilt auch <math>b</math>.
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| Die Zahl <math>3</math> ist eine Primzahl.|| wahr
+
* <math>a</math> ist hinreichend dafür, dass <math>b</math> gilt.
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|-
+
* <math>a \Rightarrow b</math>
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| Die Zahl <math>4</math> ist eine Primzahl.|| falsch
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|-
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| Es gibt unendlich viele Primzahlen.|| wahr
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|-
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| Es gibt genauso viele Primzahlen wie es natürliche Zahlen gibt.|| wahr.
+
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|}
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Keine Aussage zu Primzahlen ist:<br />
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: Jede natürlich Zahl, die nur durch sich selbst und durch 1 teilbar ist, heißt Primzahl.
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===Wichtige Sätze der Schulgeometrie===
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Die Aussage <math>a</math> heißt in der Implikation <math>a \Rightarrow b</math> Voraussetzung, die Aussage <math>b</math> wird Behauptung genannt.
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Sätze sind Aussagen, die wahr sind. Eine Aussage, die nicht wahr ist, kann demzufolge auch kein Satz sein.
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*Innenwinkelsatz für Dreiecke: Die Innenwinkelsumme eines jeden Dreiecks ist gleich der Größe eines gestreckten Winkels.
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*Satz des Pythagoras: In rechtwinkligen Dreiecken ist die Summe der Quadrate der Katheten gleich dem Quadrat der Hypotenuse.
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*Starker Außenwinkelsatz: Jeder Außenwinkel eines Dreiecks ist so groß wie die Summe der beiden nichtanliegenden Innenwinkel des Dreiecks.
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*Basiswinkelsatz: Wenn ein Dreieck gleichschenklig ist, dann sind seine Basiswinkel kongruent zueinander.
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Ergänzen Sie durch eigene Sätze, die Sie noch aus der Schule kennen:
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* .....
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* .....
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* .....
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==Begriff der Aussage==
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Ein sauber Definition des Begriffs mathematische Aussage bleibt uns hier versagt, es reichen intuitive Vorstellungen der folgenden Art:
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*Eine Aussage ist ein sprachliches Gebilde, welche zur Beschreibung und Mitteilung von Sachverhalten dienen. (Kleine Enzyklopädie Mathematik. VEB Bibliographisches Institut Leipzig)(1983).
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Bei einer mathematischen Aussage setzt man zwei Prinzipien voraus:
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*Das Prinzip vom ausgeschlossenen Dritten: Eine Aussage ist wahr (1) oder falsch (0).
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*Das Prinzip vom ausgeschlossenen Widerspruch: Eine Aussage kann nicht gleichzeitig wahr und falsch sein.
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Beide Prinzipien zusammengefasst:
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*Eine mathematische Aussage ist entweder wahr oder falsch.
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==Weitere Beispiele und Gegenbeispiele für Aussagen==
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Ergänzen Sie die folgende Tabelle:
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{| class="wikitable"
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|-
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! keine Aussage!! Aussage
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| Gründonnerstag|| Gründonnerstag regnet es immer.
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| Ab jetzt heißt Raider Twix.|| Im Januar hat man festgelegt, dass Raider Twix heißt.
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| Die Quadratwurzel aus einer negativen Zahl ziehen.|| Die Quadratwurzel aus einer nagativen Zahl in in <math>\mathbb{R}</math> nicht definiert.
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| Konstruiere einen Kreis.|| ihr Beispiel
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|-
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| ihr Beispiel || ihr Beispiel
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|}
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==Die Negation einer Aussage==
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===Beispiele===
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{| class="wikitable"
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|-
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! Aussage !! Negation der Aussage
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| <math>2</math> ist Primzahl|| <math>2</math> ist keine Primzahl
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| Die Eisernen steigen auf.|| Die Eisernen steigen nicht auf.
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|-
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| Die Hose ist grün.|| Die Hose ist nicht grün.
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|-
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| ihr Beispiel || ihr Beispiel
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|-
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| ihr Beispiel || ihr Beispiel
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|}
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===Wahrheitswerttabelle===
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Wenn <math>p</math> eine Aussage ist, dann ist es üblich, mit <math>\neg p</math> die Negation von <math>p</math> zu kennzeichnen.
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{| class="wikitable"
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|-
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! <math>p</math> !! <math>\neg p</math>
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|-
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| wahr || falsch
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|-
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| falsch|| wahr
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|}
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Hinweis: Die LaTex-Syntax für das Zeichen <math>\neg</math> ist \neg.
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==Verknüpfung zweier Aussagen==
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===Das logische und===
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==== Die Idee====
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Zwei Aussagen <math>a</math> und <math>b</math> lassen sich durch ein logisches und zu einer Aussage zusammenfassen.
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==== Beispiel Teilbarkeit von Summen====
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Wenn <math>t|a</math> und <math>t|b</math>, dann <math>t|(a+b)</math>.<br />
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Voraussetzung <math>1</math>: <math>t|a</math><br />
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Voraussetzung <math>2</math>: <math>t|b</math><br />
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Zusammenfassung zu einer Voraussetzung: <math>t|a \land t|b</math>.
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====Wahrheitswertabelle====
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{| class="wikitable"
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|-
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! <math>a</math> !! <math>b</math> !! <math>a \land b</math>
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|-
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| wahr || wahr || wahr
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| wahr || falsch|| falsch
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|-
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| falsch || wahr|| falsch
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| falsch || falsch || falsch
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Die Verknüpfung zweier Aussagen durch ein logisches und ist genau dann wahr, wenn beide Aussagen wahr sind.
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==Das logische oder==
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===Die Idee===
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Zwei Aussagen lassen sich durch ein logisches oder zu einer Aussage zusammenfassen.
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===Wahrheitswerttabelle===
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{| class="wikitable"
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|-
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! <math>a</math> !! <math>b</math> !! <math>a \lor b</math>
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| wahr || wahr || wahr
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| wahr || falsch|| wahr
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| falsch || wahr || wahr
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|-
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| falsch || falsch || falsch
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|}
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Die Verknüpfung zweier Aussagen ist genau dann falsch, wenn beide Aussagen falsch sind.<br />
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Hinweis: Das logische oder entspricht nicht dem allgemeinen Sprachgebrauch in der Umgangsprache. Umgangssprachlich ist das oder ein entweder oder (exklusives oder).
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===Wahrheitswerttabelle entweder oder===
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exklusives oder
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{| class="wikitable"
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|-
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! <math>a</math> !! <math>b</math> !! <math>a \dot\lor b</math>
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|-
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| wahr || wahr || falsch
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|-
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| wahr || falsch|| wahr
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|-
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| falsch || wahr || wahr
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| falsch || falsch || falsch
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|}
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==Beispiele==
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===Implikation 1: Satz zur Teilbarkeit durch 3===
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:Wenn die Quersumme <math>\overline{a}</math>einer natürlichen Zahl <math>a</math> durch <math>3</math> teilbar ist, dann ist auch die Zahl <math>a</math> durch <math>3</math> teilbar.<br />
 +
:In Formelsprache: <math>\forall a \in \mathbb{N}: 3|\overline{a} \Rightarrow 3|a</math>
 +
*Voraussetzung: <math>3|\overline{a}</math>
 +
*Behauptung: <math>3|a</math>
  
 +
=== Implikation 2: Satz zur Teilbarkeit von Summen===
 +
:Für alle natürlichen Zahlen <math>a,b,t</math> gilt:<br />
 +
::Wenn <math>t</math> die Zahlen <math>a</math> und <math>b</math> teilt, dann teilt <math>t</math> auch die Summe <math>a+b</math>.
 +
:In Formelsprache:
 +
:<math>\forall a,b,t \in \mathbb{N}:</math><br />
 +
::<math>t|a \land t|b \Rightarrow t|(a+b)</math>
 +
*Voraussetzung: Wir haben zwei Voraussetzungen die durch das logische und zu einer Voraussetzung zusammengefasst werden:
 +
::V<sub>1</sub>: <math>t|a</math>
 +
::V<sub>2</sub>: <math>t|b</math>
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::V: <math>t|a \land t|b</math>
 +
*Behauptung:<br />
 +
::<math>t|(a+b)</math>
 +
===Implikation 3: Nebenwinkelsatz===
 +
:Wenn <math>\alpha</math> und <math>\beta</math> Nebenwinkel sind, dann ist die Summe ihrer Größen <math>180^\circ</math>
 +
In anderer Formulierung ohne wenn-dann:
 +
:Nebenwinkel ergänzen sich zu <math>180^\circ</math>
 +
*Voraussetzung:
 +
:: <math>\alpha</math> und <math>\beta</math> sind Nebenwinkel
 +
*Behauptung:
 +
::<math>\alpha</math> und <math>\beta</math> sind supplementär.
 +
===Implikation 4: Scheitelwinkelsatz===
 +
:Wenn die beiden Winkel <math>\alpha</math> und <math>\beta</math> Scheitelwinkel sind, dann haben sie dieselbe Größe.
 +
alternative Formulierung ohne wenn-dann:
 +
:Scheitelwinkel haben dieselbe Größe. oder
 +
:Scheitelwinkel sind kongruent zueinander.
 +
*Voraussetzung
 +
::<math>\alpha</math> und <math>\beta</math> sind Scheitelwinkel
 +
*Behauptung
 +
::<math>|\alpha|=|\beta|</math> bzw. <math>\alpha \cong \beta</math>
 +
===Implikation 5: Nonsens===
 +
:Wenn die Gerade <math>g</math> durch keinen der Eckpunkte des Dreiecks <math>\overline{ABC}</math> geht und jede der drei Seiten <math>\overline{AB}, \overline{BC}, \overline{AC}</math> geht, dann ist <math>\sqrt{2}</math> eine rationale Zahl.
 +
*Voraussetzung:
 +
:<math>\text{nkoll}(A,B,C) \land A,B,C \not\in g \land g \cap \overline{AB} \not= \empty \land g \cap \overline{BC} \not= \empty \land g \cap \overline{AC} \not= \empty</math>
 +
*Behauptung:
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:<math>\exist n,m \in \mathbb{N}: \frac{n}{m} = \sqrt{2}</math>
 +
===Implikation 6: Satz des Thales===
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Aktuelle Version vom 10. Mai 2017, 17:04 Uhr

Inhaltsverzeichnis

Implikationen

Generelle Kennzeichnung von Implikationen

Implikationen sind spezielle mathematische Aussagen, deren Typ sich kurz wie folgt darstellen bzw. beschreiben lässt:

  • Wenn a dann b.
  • Aus a folgt b.
  • a impliziert b.
  • b ist eine Folgerung aus a.
  • Unter der Voraussetzung, dass a gilt, gilt auch b.
  • a ist hinreichend dafür, dass b gilt.
  • a \Rightarrow b

Die Aussage a heißt in der Implikation a \Rightarrow b Voraussetzung, die Aussage b wird Behauptung genannt.

Beispiele

Implikation 1: Satz zur Teilbarkeit durch 3

Wenn die Quersumme \overline{a}einer natürlichen Zahl a durch 3 teilbar ist, dann ist auch die Zahl a durch 3 teilbar.
In Formelsprache: \forall a \in \mathbb{N}: 3|\overline{a} \Rightarrow 3|a
  • Voraussetzung: 3|\overline{a}
  • Behauptung: 3|a

Implikation 2: Satz zur Teilbarkeit von Summen

Für alle natürlichen Zahlen a,b,t gilt:
Wenn t die Zahlen a und b teilt, dann teilt t auch die Summe a+b.
In Formelsprache:
\forall a,b,t \in \mathbb{N}:
t|a \land t|b \Rightarrow t|(a+b)
  • Voraussetzung: Wir haben zwei Voraussetzungen die durch das logische und zu einer Voraussetzung zusammengefasst werden:
V1: t|a
V2: t|b
V: t|a \land t|b
  • Behauptung:
t|(a+b)

Implikation 3: Nebenwinkelsatz

Wenn \alpha und \beta Nebenwinkel sind, dann ist die Summe ihrer Größen 180^\circ

In anderer Formulierung ohne wenn-dann:

Nebenwinkel ergänzen sich zu 180^\circ
  • Voraussetzung:
\alpha und \beta sind Nebenwinkel
  • Behauptung:
\alpha und \beta sind supplementär.

Implikation 4: Scheitelwinkelsatz

Wenn die beiden Winkel \alpha und \beta Scheitelwinkel sind, dann haben sie dieselbe Größe.

alternative Formulierung ohne wenn-dann:

Scheitelwinkel haben dieselbe Größe. oder
Scheitelwinkel sind kongruent zueinander.
  • Voraussetzung
\alpha und \beta sind Scheitelwinkel
  • Behauptung
|\alpha|=|\beta| bzw. \alpha \cong \beta

Implikation 5: Nonsens

Wenn die Gerade g durch keinen der Eckpunkte des Dreiecks \overline{ABC} geht und jede der drei Seiten \overline{AB}, \overline{BC}, \overline{AC} geht, dann ist \sqrt{2} eine rationale Zahl.
  • Voraussetzung:
\text{nkoll}(A,B,C) \land A,B,C \not\in g \land g \cap \overline{AB} \not= \empty \land g \cap \overline{BC} \not= \empty \land g \cap \overline{AC} \not= \empty
  • Behauptung:
\exist n,m \in \mathbb{N}: \frac{n}{m} = \sqrt{2}

Implikation 6: Satz des Thales

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