Implikationen SoSe 2017: Unterschied zwischen den Versionen

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==Generelle Kennzeichnung von Implikationen==
 
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* Wenn <math>a</math> dann <math>b</math>.
 
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* Aus <math>a</math> folgt <math>b</math>.
 
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Die Aussage <math>a</math> heißt in der Implikation <math>a \Rightarrow b</math> Voraussetzung, die Aussage <math>b</math> wird Behauptung genannt.
 
Die Aussage <math>a</math> heißt in der Implikation <math>a \Rightarrow b</math> Voraussetzung, die Aussage <math>b</math> wird Behauptung genannt.
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==Beispiele==
 
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===Teilbarkeit durch 3===
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===Implikation 1: Satz zur Teilbarkeit durch 3===
 
:Wenn die Quersumme <math>\overline{a}</math>einer natürlichen Zahl <math>a</math> durch <math>3</math> teilbar ist, dann ist auch die Zahl <math>a</math> durch <math>3</math> teilbar.<br />
 
:Wenn die Quersumme <math>\overline{a}</math>einer natürlichen Zahl <math>a</math> durch <math>3</math> teilbar ist, dann ist auch die Zahl <math>a</math> durch <math>3</math> teilbar.<br />
 
:In Formelsprache: <math>\forall a \in \mathbb{N}: 3|\overline{a} \Rightarrow 3|a</math>
 
:In Formelsprache: <math>\forall a \in \mathbb{N}: 3|\overline{a} \Rightarrow 3|a</math>
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*Voraussetzung: <math>3|\overline{a}</math>
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*Behauptung: <math>3|a</math>
  
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=== Implikation 2: Satz zur Teilbarkeit von Summen===
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:Für alle natürlichen Zahlen <math>a,b,t</math> gilt:<br />
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::Wenn <math>t</math> die Zahlen <math>a</math> und <math>b</math> teilt, dann teilt <math>t</math> auch die Summe <math>a+b</math>.
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:In Formelsprache:
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:<math>\forall a,b,t \in \mathbb{N}:</math><br />
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::<math>t|a \land t|b \Rightarrow t|(a+b)</math>
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*Voraussetzung: Wir haben zwei Voraussetzungen die durch das logische und zu einer Voraussetzung zusammengefasst werden:
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::V<sub>1</sub>: <math>t|a</math>
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::V<sub>2</sub>: <math>t|b</math>
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::V: <math>t|a \land t|b</math>
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*Behauptung:<br />
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===Implikation 3: Nebenwinkelsatz===
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:Wenn <math>\alpha</math> und <math>\beta</math> Nebenwinkel sind, dann ist die Summe ihrer Größen <math>180^\circ</math>
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In anderer Formulierung ohne wenn-dann:
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:Nebenwinkel ergänzen sich zu <math>180^\circ</math>
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*Voraussetzung:
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:: <math>\alpha</math> und <math>\beta</math> sind Nebenwinkel
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*Behauptung:
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::<math>\alpha</math> und <math>\beta</math> sind supplementär.
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===Implikation 4: Scheitelwinkelsatz===
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:Wenn die beiden Winkel <math>\alpha</math> und <math>\beta</math> Scheitelwinkel sind, dann haben sie dieselbe Größe.
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alternative Formulierung ohne wenn-dann:
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:Scheitelwinkel haben dieselbe Größe. oder
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:Scheitelwinkel sind kongruent zueinander.
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*Voraussetzung
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::<math>\alpha</math> und <math>\beta</math> sind Scheitelwinkel
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*Behauptung
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::<math>|\alpha|=|\beta|</math> bzw. <math>\alpha \cong \beta</math>
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===Implikation 5: Nonsens===
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:Wenn die Gerade <math>g</math> durch keinen der Eckpunkte des Dreiecks <math>\overline{ABC}</math> geht und jede der drei Seiten <math>\overline{AB}, \overline{BC}, \overline{AC}</math> geht, dann ist <math>\sqrt{2}</math> eine rationale Zahl.
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*Voraussetzung:
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*Behauptung:
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===Implikation 6: Satz des Thales===
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Aktuelle Version vom 10. Mai 2017, 17:04 Uhr

Inhaltsverzeichnis

Implikationen

Generelle Kennzeichnung von Implikationen

Implikationen sind spezielle mathematische Aussagen, deren Typ sich kurz wie folgt darstellen bzw. beschreiben lässt:

  • Wenn a dann b.
  • Aus a folgt b.
  • a impliziert b.
  • b ist eine Folgerung aus a.
  • Unter der Voraussetzung, dass a gilt, gilt auch b.
  • a ist hinreichend dafür, dass b gilt.
  • a \Rightarrow b

Die Aussage a heißt in der Implikation a \Rightarrow b Voraussetzung, die Aussage b wird Behauptung genannt.

Beispiele

Implikation 1: Satz zur Teilbarkeit durch 3

Wenn die Quersumme \overline{a}einer natürlichen Zahl a durch 3 teilbar ist, dann ist auch die Zahl a durch 3 teilbar.
In Formelsprache: \forall a \in \mathbb{N}: 3|\overline{a} \Rightarrow 3|a
  • Voraussetzung: 3|\overline{a}
  • Behauptung: 3|a

Implikation 2: Satz zur Teilbarkeit von Summen

Für alle natürlichen Zahlen a,b,t gilt:
Wenn t die Zahlen a und b teilt, dann teilt t auch die Summe a+b.
In Formelsprache:
\forall a,b,t \in \mathbb{N}:
t|a \land t|b \Rightarrow t|(a+b)
  • Voraussetzung: Wir haben zwei Voraussetzungen die durch das logische und zu einer Voraussetzung zusammengefasst werden:
V1: t|a
V2: t|b
V: t|a \land t|b
  • Behauptung:
t|(a+b)

Implikation 3: Nebenwinkelsatz

Wenn \alpha und \beta Nebenwinkel sind, dann ist die Summe ihrer Größen 180^\circ

In anderer Formulierung ohne wenn-dann:

Nebenwinkel ergänzen sich zu 180^\circ
  • Voraussetzung:
\alpha und \beta sind Nebenwinkel
  • Behauptung:
\alpha und \beta sind supplementär.

Implikation 4: Scheitelwinkelsatz

Wenn die beiden Winkel \alpha und \beta Scheitelwinkel sind, dann haben sie dieselbe Größe.

alternative Formulierung ohne wenn-dann:

Scheitelwinkel haben dieselbe Größe. oder
Scheitelwinkel sind kongruent zueinander.
  • Voraussetzung
\alpha und \beta sind Scheitelwinkel
  • Behauptung
|\alpha|=|\beta| bzw. \alpha \cong \beta

Implikation 5: Nonsens

Wenn die Gerade g durch keinen der Eckpunkte des Dreiecks \overline{ABC} geht und jede der drei Seiten \overline{AB}, \overline{BC}, \overline{AC} geht, dann ist \sqrt{2} eine rationale Zahl.
  • Voraussetzung:
\text{nkoll}(A,B,C) \land A,B,C \not\in g \land g \cap \overline{AB} \not= \empty \land g \cap \overline{BC} \not= \empty \land g \cap \overline{AC} \not= \empty
  • Behauptung:
\exist n,m \in \mathbb{N}: \frac{n}{m} = \sqrt{2}

Implikation 6: Satz des Thales

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