Aktuelle Version vom 14. Mai 2017, 16:50 Uhr

Inhaltsverzeichnis

Die Gruppe der Deckdrehungen des Quadrates ist eine Untergruppe der Deckabbildungen des Quadrates.
Die Gruppe der Deckabbildungen des Rechtecks ist eine Untergruppe der Gruppe der Deckabbildungen des Quadrates.
$[\mathbb{Z}|_2, +]$ ist eine Untergruppe von $[\mathbb{Z}, +]$

Definition 6: (Untergruppe)

Es sei $[G,\odot]$ eine Gruppe und $U$ eine Teilmenge von $G$ .

Wenn $[U,\odot]$ selbst eine Gruppe ist, dann ist $[U, \odot]$ eine Untergruppe von $[G,\odot]$

Satz 2: (1. Untergruppenkriterium)

Es sei $[G,\odot]$ eine Gruppe und $U \subseteq G$ mit $G \not= \empty$ .

$[U,\odot]$ ist genau dann Untergruppe von $[G,\odot]$ , wenn

Beweis: Übungsaufgabe

Satz 3: (2. Untergruppenkriterium)

Es sei $[G,\odot]$ eine Gruppe und $U \subseteq G$ mit $G \not= \empty$ .

$[U,\odot]$ ist genau dann Untergruppe von $[G,\odot]$ , wenn

Beweis: Übungsaufgabe

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 # <math>[\mathbb{Z}|_2, +]</math> ist eine Untergruppe von <math>[\mathbb{Z}, +]</math>
 ==Definition==
-Es sei <math>[G,\odot]</math> eine Gruppe und <math>U</math> eine Teilmenge von <math>G</math>.<br />
+'''Definition 6: (Untergruppe)'''
-Wenn <math>[U,\odot]</math> selbst eine Gruppe ist, dann ist <math>[U, \odot]</math> eine Untergruppe von <math>[G,\odot]</math>
+-----
+:Es sei <math>[G,\odot]</math> eine Gruppe und <math>U</math> eine Teilmenge von <math>G</math>.<br />
+:Wenn <math>[U,\odot]</math> selbst eine Gruppe ist, dann ist <math>[U, \odot]</math> eine Untergruppe von <math>[G,\odot]</math>
 ==Untergruppenkriterium 1==
+'''Satz 2: (1. Untergruppenkriterium)'''
+-----
+:Es sei <math>[G,\odot]</math> eine Gruppe und <math>U \subseteq G</math> mit <math>G \not= \empty</math>.<br />
+:<math>[U,\odot]</math> ist genau dann Untergruppe von <math>[G,\odot]</math>, wenn
+# <math>\forall a,b \in U: a \odot b \in U</math>,
+# <math>\forall a \in U: a^{-1} \in U</math>.
+Beweis: Übungsaufgabe
+==Untergruppenkriterium 2==
+'''Satz 3: (2. Untergruppenkriterium)'''
+-----
+:Es sei <math>[G,\odot]</math> eine Gruppe und <math>U \subseteq G</math> mit <math>G \not= \empty</math>.<br />
+:<math>[U,\odot]</math> ist genau dann Untergruppe von <math>[G,\odot]</math>, wenn
+* <math>\forall a, b \in U: a \odot b^{-1} \in U </math>.
+Beweis: Übungsaufgabe
 <!--- Was hier drunter steht muss stehen bleiben --->
 |}
 </div>
 [[Kategorie:Algebra]]