Aufgabe 5.04 SoSe 2017

Satz I: Je drei nicht kollineare Punkte sind paarweise verschieden.

1. Wir formulieren Satz I neu und beginnen mit
   "`Es seien , und drei Punkte."' Ergänzen Sie:
   "`Wenn , und , dann ."'
2. Beweisen Sie Satz I indirekt mittels eines Widerspruchsbeweises.
3. Bilden Sie die Kontraposition von Satz I.
4. Beweisen Sie auch die Kontraposition von Satz I.
5. Formulieren Sie die Umkehrung von Satz I.
6. Gilt auch die Umkehrung von Satz I?

Lösung 1

1. Es seien , und drei Punkte. Wenn , und nicht auf einer Geraden liegen, also nicht kollinear sind, dann liegen nur jeweils zwei dieser Punkte auf einer verschiedenen Geraden.
2. Axiom I.3: Es gibt wenigstens 3 Punkte, die nicht kollinear sind.
Axiom I.4: Zu je drei kollinearen Punkten gibt es genau eine Ebene, die diese 3 Punkte enthält.
3. Wenn drei Punkte paarweise verschieden sind, so sind sie kollinear.
4.
5. Drei kollineare Punkte liegen auf einer geraden und sind somit paarweise gleich.
6. Axiom I.2: Zu jeder geraden gibt es wenigstens zwei Punkte, die dieser Geraden angehören.
Wenigstens bedeutet, dass es minimal zwei Punkte gibt, die einer Geraden angehören. Es kann noch unendlich viele mehr geben, also auch 3 Punkte, die kollinear sind.

Lösung 2

Lösung 3