Allgemeine lineare Gleichung mit drei Variablen: Unterschied zwischen den Versionen

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===Grafische Veranschaulichung der Lösungsmenge einer Gleichung vom Typ ax+by+cz=d===
 
===Grafische Veranschaulichung der Lösungsmenge einer Gleichung vom Typ ax+by+cz=d===
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====Gerade?====
 
Es seien <math>a, b, c, d \in \mathbb{R}</math> , beliebig aber fest, <math>a, b, c</math> nicht gleichzeitig <math>0</math>,<br />
 
Es seien <math>a, b, c, d \in \mathbb{R}</math> , beliebig aber fest, <math>a, b, c</math> nicht gleichzeitig <math>0</math>,<br />
 
<math>x,y,z \in \mathbb{R}</math>, variabel.<br /> Wir untersuchen die Gleichung<br />
 
<math>x,y,z \in \mathbb{R}</math>, variabel.<br /> Wir untersuchen die Gleichung<br />
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(I) <math>ax+by+cz=d</math>
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<math>ax+by+cz=d</math><br />
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Die Lösungsmenge einer Gleichung vom Typ <math>ax+by=c</math> ließ sich die Koordinaten der Punkte einer Geraden im <math>\mathbb{R}^2</math> interpretieren.
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Man mag schnell geneigt sein, die Lösungsmenge der Gleichung <math>ax+by+cz=d</math> alsdie Koordinaten einer Geraden im Raum <math>\mathbb{R}^3</math> zu interpretieren. Dem ist aber nicht so:<br />
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====Spezialfall: zwei der Koeffizieneten, a, b, c sind gleich 0====
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Sei etwa nur der Koeffizient <math>a</math> verschieden von <math>0</math>. In diesem Fall vereinfacht sich unsere Gleichung zu <math>ax=d</math>. Umgestellt nach <math>x</math> ergibt sich <math>x=\frac{d}{a}</math>. Alle geordneten Tripel <math>\left (\frac{d}{a}, y, z \right )</math> aus dem <math>\mathbb{R}^3</math> genügen damit unserer Gleichung.<br />
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Unklar? Wir können die Gleichung auch als <math>ax+0y+0z=d</math> bzw. <math>x + 0y + 0z = \frac{d}{a}</math> schreiben.<br />
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Die Lösungsmenge dieser Gleichung lässt sich als die Koordinatentripel der Punkte einer Ebene <math>\varepsilon</math> interpretieren, die parallel zu einer der Koordinatenebene ist:
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* Die Lösungsmenge der Gleichung <math>2x + 0y+ 0z = 3</math> sind die Koordinatentripel aller Punkte der Ebene, die parallel zur <math>y-z-</math>Ebene ist und durch den Punkt mit den Koordinaten <math>\left ( \frac{3}{2} \right )</math> geht.
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* Die Lösungsmenge der Gleichung <math>0x +\frac{3}{7}y + 0z= \frac{5}{3}</math> sind die Koordinatentripel aller Punkte der Ebene, die parallel zur <math>x-z-</math>Ebene ist und durch den Punkt mit den Koordinaten <math>\left ( 0, \frac{35}{9} \right )</math> geht.
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* Die Lösungsmenge der Gleichung <math>0x + 0y + \pi z = 0</math> ist die <math>x-y-</math>Ebene.
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====Spezialfall: einer der drei Koeffizienten a, b, c ist gleich 0====
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=====Beispiel 1=====
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<math>z=0</math>, <math>a=2</math>, <math>c=\frac{3}{5}</math>, <math>d=1</math><br />
  
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'''Satz 2:'''<br />
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Unsere Gleichung lautet für dieses Beispiel <math>2x+\frac{3}{5}y+0z=1</math><br />
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:Die Gleichung (II) <math>ax+by+cz=d</math> beschreibt die Menge aller Punkte einer Ebene im <math>\mathbb{R}^3</math>.<br />
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Die Bestimmung der Lösungsmenge dieser Gleichung vereinfacht sich zunächst zu einem ebenen Problem:<br />
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<math>2x+\frac{3}{5}y=1</math> Die Lösungsmenge dieser vereinfachten Gleichung ist eine Gerade in der <math>x-y-</math>Ebene. Im konkreten Fall handelt es sich um die Gerade mit der Gleichung <math>2x+\frac{3}{5}y=1</math> bzw. mit der Gleichung <math>y=-\frac{10}{3}x+\frac{5}{3}</math>. <br />
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Die Lösungsmenge unserer Ausgangsgleichung <math>2x+\frac{3}{5}y+0z=1</math> ist damit eine Ebene, die senkrecht auf der
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<math>x-y-</math>Ebene steht und mit der <math>x-y-</math>Ebene die Gerade <math>y=-\frac{10}{3}x+\frac{5}{3}</math> gemeinsam hat.
  
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====Allgemeiner Fall: jeder der Koeffizienten a, b, c ist verschieden von 0 ====
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====Ebene!====
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'''Satz:'''<br />
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:Die Gleichung (II) <math>ax+by+cz=d</math> beschreibt die Menge aller Punkte einer Ebene im <math>\mathbb{R}^3</math>.<br />
  
  

Aktuelle Version vom 9. Mai 2018, 13:00 Uhr

Inhaltsverzeichnis

Allgemeine lineare Gleichung ax + by + cz = d

\begin{align} ax+by+cz=d \\ a, b, c, d \in \mathbb{R} \\ x, y, z \in \mathbb{R}, \end{align}

Grafische Veranschaulichung der Lösungsmenge einer Gleichung vom Typ ax+by+cz=d

Gerade?

Es seien a, b, c, d \in \mathbb{R} , beliebig aber fest, a, b, c nicht gleichzeitig 0,
x,y,z \in \mathbb{R}, variabel.
Wir untersuchen die Gleichung
ax+by+cz=d
Die Lösungsmenge einer Gleichung vom Typ ax+by=c ließ sich die Koordinaten der Punkte einer Geraden im \mathbb{R}^2 interpretieren. Man mag schnell geneigt sein, die Lösungsmenge der Gleichung ax+by+cz=d alsdie Koordinaten einer Geraden im Raum \mathbb{R}^3 zu interpretieren. Dem ist aber nicht so:

Spezialfall: zwei der Koeffizieneten, a, b, c sind gleich 0

Sei etwa nur der Koeffizient a verschieden von 0. In diesem Fall vereinfacht sich unsere Gleichung zu ax=d. Umgestellt nach x ergibt sich x=\frac{d}{a}. Alle geordneten Tripel \left (\frac{d}{a}, y, z \right ) aus dem \mathbb{R}^3 genügen damit unserer Gleichung.
Unklar? Wir können die Gleichung auch als ax+0y+0z=d bzw. x + 0y + 0z = \frac{d}{a} schreiben.
Die Lösungsmenge dieser Gleichung lässt sich als die Koordinatentripel der Punkte einer Ebene \varepsilon interpretieren, die parallel zu einer der Koordinatenebene ist:

  • Die Lösungsmenge der Gleichung 2x + 0y+ 0z = 3 sind die Koordinatentripel aller Punkte der Ebene, die parallel zur y-z-Ebene ist und durch den Punkt mit den Koordinaten \left ( \frac{3}{2} \right ) geht.
  • Die Lösungsmenge der Gleichung 0x +\frac{3}{7}y + 0z= \frac{5}{3} sind die Koordinatentripel aller Punkte der Ebene, die parallel zur x-z-Ebene ist und durch den Punkt mit den Koordinaten \left ( 0, \frac{35}{9} \right ) geht.
  • Die Lösungsmenge der Gleichung 0x + 0y + \pi z = 0 ist die x-y-Ebene.

Spezialfall: einer der drei Koeffizienten a, b, c ist gleich 0

Beispiel 1

z=0, a=2, c=\frac{3}{5}, d=1

Unsere Gleichung lautet für dieses Beispiel 2x+\frac{3}{5}y+0z=1
Die Bestimmung der Lösungsmenge dieser Gleichung vereinfacht sich zunächst zu einem ebenen Problem:
2x+\frac{3}{5}y=1 Die Lösungsmenge dieser vereinfachten Gleichung ist eine Gerade in der x-y-Ebene. Im konkreten Fall handelt es sich um die Gerade mit der Gleichung 2x+\frac{3}{5}y=1 bzw. mit der Gleichung y=-\frac{10}{3}x+\frac{5}{3}.
Die Lösungsmenge unserer Ausgangsgleichung 2x+\frac{3}{5}y+0z=1 ist damit eine Ebene, die senkrecht auf der x-y-Ebene steht und mit der x-y-Ebene die Gerade y=-\frac{10}{3}x+\frac{5}{3} gemeinsam hat.

Allgemeiner Fall: jeder der Koeffizienten a, b, c ist verschieden von 0

Ebene!

Satz:

Die Gleichung (II) ax+by+cz=d beschreibt die Menge aller Punkte einer Ebene im \mathbb{R}^3.
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